Kỳ thi học sinh giỏi năm học 2006-2007 đề thi môn toán lớp 12 thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Sở giáo dục đào tạo thái bình
Trường THPT Bắc Đông Quan
Kỳ thi học sinh giỏi năm học 2006-2007
Đề thi môn Toán Lớp 12
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
	1) Không dùng máy tính, chứng minh: 
 2) Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m:
Bài 2: (5,0 điểm)
	1) Chứng minh hệ phương trình : 
	 Có 3 nghiệm phân biệt
 2) Giải phương trình :
Bài 3: (3,0 điểm)
	Cho hàm số:	 có đồ thị (c).
	Tìm một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (c) qua đường thẳng : 
Bài 4: (2,0 điểm)
	Xác định m để phương trình : có nhiều nghiệm nhất.
Bài 5: (6,0 điểm)
	Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (c) có tâm I ( 1;2 ) bán kính R=1 và hai điểm : A ( 2; 3 ) , B ( -1; 0 ).
	1) Lập phương trình đường tròn (c’) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc ngoài với đường tròn (c). 
	2) Tìm những điểm M (c) sao cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất. 
Hết
Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ....Số báo danh: ..
Đáp án và thang điểm:
Đáp án này gồm 4 trang
Đáp án 
Biểu điểm
Bài 1: 
4,0 điểm
 Câu 1) 
2,0 điểm
+ áp dụng định lý Lagrăng cho hàm số : trên đoạn sao cho 
1,0điểm
+ Vì 
1,0 điểm
 Câu 2)
2,0 điểm
Với 0 < m, phương trình đã cho (1)
0,25 điểm
a) Nếu m > 1 log
0,25 điểm
+ Với 0 < thì VT (1) < 0 < VP (1) không là nghiệm của (1)
0,25 điểm
+ Với thì (1) 
BPT (1) có tập nghiệm là 
0,25 điểm
b) Nếu 
0,25 điểm
+ Với thì >BPT nghiệm đúng 
0,25 điểm
+ Với thì (1)
Mà BPT (1) có tập nghiệm 
0,25 điểm
Trả lời Nếu BPT có tập nghiệm 
Nếu BPT có tập nghiệm 
0,25 điểm
Bài 2: 
5,0 điểm
 Câu 1) 
2,5 điểm
(1)
+ Hệ đã cho 
0,5 điểm
a) Với Khi đó phương trình (1) trở thành 
0,25 điểm
 hệ có 2 nghiệm (0;1), (1;0)
0,25 điểm
b) Với phương trình (1) trở thành 
 Xét hàm số có 
 đồng biến trên R.
 Mà liên tục trên [0;1] và 
Phương trình =0 có 1 nghiệm duy nhất (0,1)
 Hệ có 3 nghiệm phân biệt ( 0 ;1) , (; ), (1;0)
1,5 điểm
 Câu 2) 
2.5 điểm
+ Với hệ 0xy xét các điểm A( 2;1) B(5;5) và Mkhi đó phương trình đã cho có dạng :=AB
0.75điểm
+Với 3 điểm M, A, B ta luôn có AB. Đẳng thức xảy ra A, B, M thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB
0.75điểm
+ = k , với k >0 (-2;-1)= (k(-5); -5k)
 Vậy phương trình có nghiệm : 
1 điểm
Bài 3
3 điểm
+ Đặt 
+ Đường thẳng () đi qua M và đường thẳng (d): 
có phương trình: hay 
1 điểm
+ Giao điểm I của () và có hoành độ là nghiệm phương trình: điểm I có tung độ 
1 điểm
Điểm đối xứng với qua là trung điểm 
Vậy hàm số cần tìm là: 
1 điểm
Bài 4
2 điểm
+ Phương trình đã cho (1)
+ Số nghiệm của phương trình là số giao điểm đường thẳng y= m và đồ thị hàm số 
0,5 điểm
+ Vẽ đúng được đồ thị 
1 điểm
+ Với m>3 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt, tức là phương trình có nhiều nghiệm nhất.
0,5 điểm
Bài 5 
6 điểm
 Câu 1)
3 điểm
+ Đường tròn (c’) có tâm J bán kính R’ tiếp xúc với AB tại B nên J nằm trên đường thẳng (d) đi qua B và với AB (d) có véc tơ pháp tuyến (d) có phương trình.
Vì 
; 
1 điểm
+ (c’) tiếp xúc ngoài (c) 
1 điểm
+ Với ta có (c’): 
+ Với ta có (c’): 
1 điểm
 Câu 2
3 điểm
+ Khoảng cách từ đến đường thẳng AB: là 
; ; 
1 điểm
+ Diện tích tam giác MAB: 
.
 (1)
1 điểm
+ Đẳng thức (1) xảy ra khi: 
 , 
1 điểm
Hết