Kỳ thi học sinh giỏi toán THCS giải thưởng Lương Thế Vinh năm học: 2012-2013 Môn Toán: Lớp 8

PHÒNG GD – ĐT TP. THỦ DẦU MỘT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS
GIẢI THƯỞNG LƯƠNG THẾ VINH
NĂM HỌC: 2012-2013
MÔN TOÁN: LỚP 8
Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 30/3/2013

Bài 1: (3d)
Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24
Cho a,b,c thoả mãn: 
	Tính A = a4 + b4 + c4

Bài 2: (3đ)
Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz
Cho Phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
Cho a,b,c có tổng bằng 1 (a,b,c > 0). Chứng minh rằng : 

Bài 3(2đ)
Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn DB, DC lần lượt lấy điểm E và F sao cho . Chứng minh rằng .

Bài 4(2đ)
Cho tam giác ABC, các điểm D và M di động trên AB sao cho AD = BM. Qua M vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC lần lượt tại E và N. Chứng minh rằng : tổng DE + MN không đổi.

------------Hết------------
Giải

Bài 1: (3d)
Cho a,b,c thoả mãn: 
	Tính A = a4 + b4 + c4
Cách 1:
Ta có: a+b+c=0 
Þ a+b = -c 
Þ (a+b)2 – 2ab = c2
Þ (a+b)2 – c2 = 2ab
Þ (a+b+c)(a+b-c) = 2ab
Þ 0 = 2ab
Þ a=0 hoặc b=0
Nếu a=0 Þ b = -c và b2 + c2 = 2009
Þ b2 + b2 = 2009
Þ 2b2 = 2009
Þ b= và c = -
Do đó: A = a4 + b4 + c4 = (1)
Nếu b=0 Þ a = -c và a2 + c2 = 2009
Þ a2 + a2 = 2009
Þ 2a2 = 2009
Þ a= và c = -
Do đó: A = a4 + b4 + c4 = (2)
Từ (1) và (2) Þ A = a4 + b4 + c4 
Cách 2:
Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009 
Û (a2 + b2 + c2 )2 = 20092 
Û a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 20092 
Û a4 +b4 +c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 20092 
Û a4 +b4 +c4 = 20092 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) (1)
Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009 
Û (a+b+c)2 - 2ab - 2ac - 2bc = 2009
Û ab+ac+bc ( do a+b+c = 0)
Û (ab+ac+bc )2
Û a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2a2bc + 2b2ac + 2c2ab 
Û a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a+b+c) 
Û a2b2 + b2c2 + c2a2 ( do a+b+c = 0)
(1) Þ a4 +b4 +c4 = 20092 -2. 
Û a4 +b4 +c4 

Bài 2: (3đ)
Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz
Cách 1: 
Ta có: (x-y)2 ≥ 0 với mọi x,y Î R
Tương tự : (y-z)2 ≥ 0 , (z-x)2 ≥ 0 với mọi x,y,z Î R
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được: 
x2 – 2xy + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥ 0 
Û 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy+yz+xy) ≥ 0 
Û (x2 + y2 + z2 ) - (xy+yz+xy) ≥ 0 
Û (xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) 
Û 3(xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) + 2(xy+yz+xy) 
3(xy+yz+xy) ≤ (x + y + z)2 = 9
Û (xy+yz+xy) ≤ 3
Vậy B = 3 thì đạt giá trị lớn nhất
Dấu “=” xảy ra khi x=y=x =1

Cách 2: 
Ta có: B = xy + yz + xz và x + y + z = 3
B = xy + z(x+y) = xy + [3-(x+y)](x+y)
=xy + 3(x+y) – (x+y)2 
= -x2 – y2 – xy + 3x + 3y 
= 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x=y=z=1

Cho Phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
Đk: x ≠ ± 2
Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2)
Û 2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12
Û (1-m)x = 2m – 14
Û 
Đề phương trình có nghiệm dương x > 0 khi (1)

+Với Đk x ≠ 2 Û ≠ 2 Û m ≠ 4 (2)
Từ (1), (2) 
Vậy 1< m < 7 và m ≠ 4 thì phương trình trên có nghiệm dương .