Kỳ thi học sinh giỏi trường – năm học 2011-2012 môn thi: toán 10 thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG – NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Toán 10
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C). 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
	b) Tìm m để phương trình: có đúng 2 nghiệm.
Câu 2. (6 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau
	a) 
	b) 
	c) 
Câu 3. (4 điểm) Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức . Độ dài các cạnh BC, CA, AB tương ứng là a, b, c.
	a) Với chứng minh rằng .
	b) Tìm giá trị lớn nhất của góc A khi .
Câu 4. (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho .
a) Tìm tọa độ điểm sao cho .
b) Tam giác nhọn ABC có chân các đường cao hạ từ A, B, C theo thứ tự là . Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC.
Câu 5. (2 điểm) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
----------------------HẾT----------------------
Câu
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
1a) 
2đ
TXĐ: 
; ; a = 1 > 0
Hàm số đồng biến trên ; nghịch biến trên .
Bảng biến thiên
Hình 2
Hình 1
Đồ thị có TĐX là x = 3/2, Đồ thị cắt Ox tại điểm (1;0) và (2; 0), cắt Oy tại (0; 2).
Đồ thị (hình vẽ 1)
0.5
0.5
BBT
0.5
ĐT
0.5
1b)
2đ
Từ đồ thị trên suy ra đồ thị hàm số như hình vẽ 2:
Từ đó, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt điều kiện là: 
1
1
2a)
2đ
Điều kiện .
Đặt (t > 0), 
Phương trình đã cho trở thành: 
Với t = 2, hoặc x = 8.
0.5
0.5
0.5
0.5
2b) 
2đ
Điều kiện: . Bất phương trình đã cho tương đương với
TH1: (t/m điều kiện)
TH2: (t/m điều kiện)
Vậy, bất phương trình đã cho có tập nghiệm .
0.5
0.5
0.5
0.5
2c)
2đ
Do x < 0; y < 0 nên x + y < 0
Ta có: 
 hoặc (thỏa mãn)
Vậy, hệ đã cho có nghiệm (-1; -2) và (-2; -1).
0.25
0.5
1
0.25
3a)
2đ
. 
Tương tự: 
 (*)
Với ta có 
0.5
0.5
0.5
0.5
3b)
2đ
Từ (*)
Suy ra, . Vậy GTLN của góc A là 450 khi .
0.5
0.5
0.5
0.5
4a)
Gọi .. Ta có: 
. Vậy, hoặc 
0.5
0.5
0.5
0.5
4b)
H
Chứng minh được trực tâm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
G/s , 
. Ta có 
. .
BC qua , nhận làm vecto pháp tuyến nên có phương trình
.
0.5
0.5
0.5
0.5
5)
BĐT
.
Đặt , do nên 
Ta chứng minh , với mọi 	(*)
 là hàm bậc nhất đối với t nên đạt được GTNN tại hoặc 
+ 
+ 
Vậy, (*) đúng, ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z= 1.
0.5
0.25
0.5
0.5
0.25