Kỳ thi olympic lớp 8 năm học 2013 – 2014 Môn: Toán Trường Thcs Bích Hòa

PHÒNG GD THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
KỲ THI OLYMPIC LỚP 8
Năm học 2013 – 2014
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 3 điểm ) Giải phương trình: 
a, x3 + 2x2 + 2x + 1 = 0
 b, ( x2 + 3x +2)( x2 + 11x + 30) – 60 = 0
 Câu 2. ( 3 điểm ) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Câu 3 ( 5 điểm ) 
	1. Tìm hằng số a để :
 x3 + y3 + z3 + axyz chia hết cho x + y + z với mọi x, y, z є Q.
 2. Biết đa thức f(x) chia cho x - 2013 thì dư 2012, chia cho x – 2014 thì dư 2013 và chia cho (x - 2013)(x – 2014) thì được thương là x2 - 1 và còn dư . 
 Tìm dư của phép chia f(x) cho (x - 2013)(x – 2014)
Câu 4 ( 2 điểm ) 
	Tìm x, y thỏa mãn 2x2+1x2+y24=4. Sao cho tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 ( 7 điểm )
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc BC, điểm F thuộc AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M và N.
Chứng minh rằng: CM.DN = a2
Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng:MKN=90°
Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất
---------- Hết --------
PHÒNG GD THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
ĐÁP ÁN OLYMPIC LỚP 8
Năm học 2013 – 2014
Môn: Toán
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(3 điểm)
a, x3 + 2x2 + 2x + 1 = 0
 ó( x +1)( x2 + x + 1) = 0
Vì x2 + x + 1 = ...> 0
 ó x = - 1
b, ( x2 + 3x +2)( x2 + 11x + 30) – 60 = 0
ó (x + 2)( x +1) (x +5)( x+ 6) – 60 = 0
ó[(x + 2)( x +5)][ (x +1)( x+ 6)] - 60 = 0
ó( x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 6) – 60 = 0
ó( x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 6) – 60 = 0
ó( x2 + 7x + 8 + 2)( x2 + 7x + 8 - 2) – 60 = 0
ó( x2 + 7x + 8)2- 4 – 60 = 0
ó( x2 + 7x + 8)2 - 64 = 0
ó( x2 + 7x + 8 – 8) ( x2 + 7x + 8 + 8) = 0
ó( x2 + 7x ) ( x2 + 7x + 16) = 0 
óx( x + 7 ) ( x2 + 7x + 16) = 0 
 Vì x2 + 7x + 16 > 0
=> …S = {0; -7} 
1,0đ.
0,5 đ
1,0 đ.
0,5đ.
.
Câu 2
(3 điểm)
 (1)
+ Vì => => 
=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0 đ.
.
Câu 3
(5 điểm)
1, Gọi thương của phép chia x3 + y3 + z3 + axyz cho x + y + z là P.
Ta có x3 + y3 + z3 + axyz = (x + y + z).P (1)
Vì (1) đúng với mọi x, y, x є Q nên:
Thay x = 1; y = 1; z = - 2 vào (1) ta được 
1 + 1 – 8 – 2a = 0 ó a = -3
2, Gọi thương của các phép chia f(x) cho x – 2013 và x – 2014 lần lượt là P và Q
Ta có: f(x) = (x – 2013).P + 2012 => f(2013) = 2012
 Và f(x) = (x – 2014).Q + 2013 => f(2014) = 2013
Vì đa thức chia (x - 2013)(x – 2014) có bậc là 2 nên dư có bậc < 2,do đó dư có dạng ax + b.Ta có:
 f(x) = (x – 2013)(x – 2014)(x2 - 1) + ax + b
f(2013) = 2013a + b = 2012
 f(2014) = 2014a + b = 2013
a = 1; b = -1
Vậy dư của f(x): (x – 2013)(x – 2014) là x - 1
0,5đ.
1,5đ.
1,0đ.
0,5đ. 
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
Câu 4
(2 điểm)
2x2 + 1x2 + y24 = 0
ó x2+1x2-2 + x2+y22+2xy2 – xy – 2 = 0
ó xy = ( x - 1x )2 + ( x + y2 )2 – 2
=> xy ≥ - 2
 => xy lớn nhất bằng – 2 ó x = 1; y = -2 hoặc x = - 1; y = 2
Vậy x = 1; y = -2 hoặc x = - 1; y = 2 thì tích xy đạt giá trị nhỏ nhất là -2
0,5 đ
0,75 đ
0,5 đ
0,25 đ
Câu 5
(7 điểm)
N
A
B
C
D
E
F
M
K
a, Ta có:
CMAB=CEBE; CEBE=AFFD;AFFD=ABDN
=>CMAB=ABDN=>CM.DN=AB2
b, CMAB=ABDN=> CMCB=ADDN; 
=>∆ADN~∆MCBc.g.c
CMB= DAN; AND+ DAN =90°=>AND+CMB=90°
=>NKM=90°
c, MN nhỏ nhất ó CM + ND nhỏ nhất
Ta có: (CM + DN)2 = (CM - DN)2 + 4CM.DN
 = (CM - DN)2 + 4a2≥ 4a2
(CM + ND)2 nhỏ nhất bằng 4a2 khi CM = DN = a ó E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD
=> Độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD
0,75 đ
0,75 đ
0,75 đ
1,25 đ
1,0 đ
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ