Kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2010 môn thi: Toán - Đề chính thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số 3 21 3 5.
4 2
y x x= − + 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt. 
Câu 2 (3,0 điểm). 
1) Giải phương trình 22 42log 14log 3 0.x x− + =
x2) Tính tích phân 
1
2 2
0
( 1)I x x d= −∫ . 
3) Cho hàm số 2( ) 2 12.f x x x= − + Giải bất phương trình '( ) 0.f x ≤
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA 
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60o. Tính thể 
tích khối chóp S.ABCD theo a. 
II. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2). 
1. Theo chương trình Chuẩn 
Câu 4.a (2,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và 
C(0; 0; 3). 
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. 
2) Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 
Câu 5.a (1,0 điểm). Cho hai số phức và Xác định phần thực và phần ảo 
của số phức 
1 1 2z i= + 2 2 3 .z = − i
1 22 .z z−
2. Theo chương trình Nâng cao 
Câu 4.b (2,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình 
1 1.
2 2 1
x y z+ −
= =
−
1) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ. 
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng Δ. 
Câu 5.b (1,0 điểm). Cho hai số phức và Xác định phần thực và phần ảo 
của số phức 
1 2 5z i= + 2 3 4 .z = − i
1 2. .z z
--------------------------------------------- Hết --------------------------------------------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: .. Số báo danh: ... 
Chữ kí của giám thị 1:  Chữ kí của giám thị 2:  
Page 1 of 83
 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
(Văn bản gồm 04 trang) 
I. Hướng dẫn chung 
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm 
từng phần như hướng dẫn quy định. 
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai 
lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi. 
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 
làm tròn thành 1,0 điểm). 
II. Đáp án và thang điểm 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
1. (2,0 điểm) 
a) Tập xác định: D = \ . 0,25 
b) Sự biến thiên: 
 • Chiều biến thiên: 'y = 23
4
x − 3x. Ta có: 
'y = 0 ⇔ 04xx =⎡ =⎢⎣ ; 'y > 0 ⇔ 
0
4
x
x
⎢⎣ và 'y < 0 ⇔ 0 < x < 4. 
 Do đó: 
 + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ;0)−∞ và (4; );+∞ 
 + Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4). 
0,50 
 • Cực trị: 
 + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yC§ = y(0) = 5; 
 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và yCT = y(4) = −3. 
0,25 
 • Giới hạn: lim ; lim
x x
y y→−∞ →+∞= −∞ = +∞ . 0,25 
Câu 1 
(3,0 điểm) 
 • Bảng biến thiên: 
0,25 
x − ∞ 0 4 +∞ 
 y’ + 0 − 0 +
 y 5 
 − 3 −∞ 
 +∞ 
Page 2 of 83
 2
c) Đồ thị (C): 
0,50 
2. (1,0 điểm) 
Xét phương trình: 3 26 0x x m− + = (∗). Ta có: 
(∗) ⇔ 3 21 3 5 5 .
4 2 4
mx x− + = − 0,25 
Do đó: 
(∗) có 3 nghiệm thực phân biệt ⇔ đường thẳng 5
4
my = − cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt 0,25 
 ⇔ −3 < 5 − 
4
m < 5 ⇔ 0 < m < 32. 0,50 
1. (1,0 điểm) 
Điều kiện xác định: x > 0. 
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình 
2
2 22 log 7 log 3 0x x− + = 
0,50 
 ⇔ 2
2
log 3
1log
2
x
x
=⎡⎢ =⎢⎣
 0,25 
 ⇔ 8 2.
x
x
=⎡⎢ =⎣ 0,25 
Lưu ý: Nếu thí sinh chỉ tìm được điều kiện xác định của phương trình thì cho 0,25 điểm. 
2. (1,0 điểm) 
( )1 4 3 2
0
2 dI x x x x= − +∫ 0,25 
= 
1
5 4 3
0
1 1 1
5 2 3
x x x⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,50 
= 1 .
30
 0,25 
3. (1,0 điểm) 
Câu 2 
(3,0 điểm) 
Trên tập xác định D = R của hàm số f(x), ta có: '( )f x = 
2
21
12
x
x
−
+
. 0,25 
5
− 3 
O x
y
6
4− 2
Page 3 of 83
 3
Do đó: '( )f x ≤ 0 ⇔ 2 12 2x x+ ≤ 0,25 
 ⇔ 2 04
x
x
≥⎧⎨ ≥⎩ 0,25 
 ⇔ x ≥ 2. 0,25 
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình 
vuông nên AO ⊥ BD. (1) 
Vì SA ⊥ mp(ABCD) nên: 
+ SA là đường cao của khối chóp S.ABCD; 
+ SA ⊥ BD. (2) 
Từ (1) và (2) suy ra BD ⊥ mp(SOA). 
Do đó SO ⊥ BD. (3) 
Từ (1) và (3) suy ra nSOA là góc giữa mp(SBD) và 
mp(ABCD). Do đó nSOA = 60o. 
0,50 
Xét tam giác vuông SAO, ta có: 
SA = OA. ntan SOA = 
2
AC .tan60o = 2 .
2
a 3 = 6 .
2
a 0,25 
Câu 3 
(1,0 điểm) 
Vì vậy VS.ABCD = 1
3
SA. ABCDS = 13 . 
6 .
2
a 2a = 
3 6
6
a . 0,25 
1. (1,0 điểm) 
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A(1; 0; 0) và vuông góc với BC. 
Vì BC ⊥ (P) nên BCJJJG là một vectơ pháp tuyến của (P). 0,25 
Ta có: BC
JJJG
 = (0; − 2; 3). 0,25 
Do đó, phương trình của (P) là: −2y + 3z = 0. 0,50 
 2. (1,0 điểm) 
Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 
Vì O(0; 0; 0) ∈ (S) nên phương trình của (S) có dạng: 
x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz = 0. (∗) 
0,25 
Vì A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) ∈ (S) nên từ (∗) ta được: 
1 2 0
4 4 0
9 6 0.
a
b
c
+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩
Suy ra: a = 1
2
− ; b = − 1; c = 3 .
2
− 
0,50 
Vì vậy, mặt cầu (S) có tâm 1 3; 1;
2 2
I ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25 
Câu 4.a 
(2,0 điểm) 
Lưu ý: 
Thí sinh có thể tìm toạ độ của tâm mặt cầu (S) bằng cách dựa vào các nhận xét về tính chất 
hình học của tứ diện OABC. Dưới đây là lời giải theo hướng này và thang điểm cho lời giải đó:
B
A
C
D
O
S
Page 4 of 83
 4
Tâm I của mặt cầu (S) là giao điểm của đường trục của đường tròn ngoại tiếp tam 
giác OAB và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng OC. 0,25 
Từ đó, vì tam giác OAB vuông tại O, các điểm A, B thuộc mp(Oxy) và điểm C thuộc 
trục Oz nên hoành độ, tung độ của I tương ứng bằng hoành độ, tung độ của trung 
điểm M của đoạn thẳng AB và cao độ của I bằng 1
2
 cao độ của C. 
0,50 
Ta có M = 1 ; 1; 0
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ và C = (0; 0; 3) (giả thiết). Vì vậy 
1 3; 1;
2 2
I ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25 
Ta có 1 22 3 8 .z z i− = − + 0,50 Câu 5.a 
(1,0 điểm) Do đó, số phức 1 22−z z có phần thực bằng −3 và phần ảo bằng 8. 0,50 
1. (1,0 điểm) 
Từ phương trình của ∆ suy ra ∆ đi qua điểm M(0; −1; 1) và có vectơ chỉ phương G
u = (2; −2; 1). 
Do đó d(O, ∆) = ,MO u
u
⎡ ⎤⎣ ⎦
JJJJG G
G . 
0,50 
Ta có MO
JJJJG
 = (0; 1; −1). Do đó ( ), 1; 2; 2MO u⎡ ⎤ = − − −⎣ ⎦
JJJJG G
. 0,25 
Vì vậy d(O, ∆) = 
2 2 2
2 2 2
( 1) ( 2) ( 2)
2 ( 2) 1
− + − + −
+ − +
 = 1. 0,25 
2. (1,0 điểm) 
Gọi (P) là mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng ∆. 
Do vectơ ,n MO u⎡ ⎤= ⎣ ⎦
G JJJJG G
 có phương vuông góc với (P) nên n
G
 là một vectơ pháp 
tuyến của (P). 
0,50 
Câu 4.b 
(2,0 điểm) 
Suy ra phương trình của (P) là: −x − 2y − 2z = 0, hay x + 2y + 2z = 0. 0,50 
Ta có: 1 2.z z = 26 + 7i. 0,50 Câu 5.b 
(1,0 điểm) Do đó, số phức 1 2.z z có phần thực bằng 26 và phần ảo bằng 7. 0,50 
--------------- Hết --------------- 
Page 5 of 83
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009 
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số 2 1
2
xy
x
+= − . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5. 
Câu 2 (3,0 điểm) 
 1) Giải phương trình . 25 6.5 5 0x x− + =
 2) Tính tích phân 
0
(1 cos ) d .I x x
π= +∫ x 
 3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2( ) ln(1 2 )f x x x= − − trên đoạn [– 2 ; 0]. 
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA 
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. n 0120BAC =
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn phần dành riêng cho chương trình đó 
(phần 1 hoặc phần 2). 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu 4a (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: 
(S): và (P): 2 2 2( 1) ( 2) ( 2) 3x y z− + − + − = 6 02 2 18x y z+ + + = . 
 1) Xác định toạ độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt 
phẳng (P). 
 2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm toạ độ giao 
điểm của d và (P). 
Câu 5a (1,0 điểm). Giải phương trình 8 42 1 0z z− + = trên tập số phức. 
2. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu 4b (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 3) và đường thẳng d có phương trình 
1 2
2 1
x y z 3
1
+ − += = − . 
 1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d. 
 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp 
xúc với d. 
Câu 5b (1,0 điểm). Giải phương trình 22 1z iz 0− + = trên tập số phức. 
......... Hết ......... 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh:........................... 
Chữ kí của giám thị 1: ................................ Chữ kí của giám thị 2: ................................ Page 6 of 83
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009 
Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
Bản hướng dẫn gồm 05 trang 
I. Hướng dẫn chung 
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm 
từng phần như hướng dẫn quy định. 
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai 
lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi. 
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 
làm tròn thành 1,0 điểm). 
II. Đáp án và thang điểm 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
1. (2,0 điểm) 
 a) Tập xác định: { }\ 2D = \ 0,25 
 b) Sự biến thiên: 
 • Chiều biến thiên: y' = 2
5
( 2)x
− − < 0 ∀x ∈ D. 
 Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ); 2−∞ và . ( )2;+∞
 • Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị. 
0,50 
Lưu ý: Ở ý b), cho phép thí sinh không nêu kết luận về cực trị của hàm số. 
 • Giới hạn và tiệm cận: 
2
lim
x
y+→ = + ∞ , 2limx y−→ = −∞ ; lim lim 2x xy y→−∞ →+∞= = . 
 Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng 2x = và 
một tiệm cận ngang là đường thẳng 2y = . 
0,50 
Câu 1 
(3,0 điểm) 
 • Bảng biến thiên: 
x – ∞ 2 + ∞ 
y' – – 
y 2 + ∞ – ∞ 2 
0,25 
Page 7 of 83
 c) Đồ thị (C): 
(C) cắt trục tung tại điểm 10;
2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
và cắt trục hoành tại điểm 1 ;0
2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
0,50 
Lưu ý: - Cho phép thí sinh thể hiện toạ độ giao điểm của (C) và các trục toạ độ chỉ 
 trên hình vẽ. 
 - Nếu thí sinh chỉ vẽ đúng dạng của đồ thị (C) thì cho 0,25 điểm. 
2. (1,0 điểm) 
Kí hiệu d là tiếp tuyến của (C) và (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: 
Hệ số góc của d bằng – 5 ⇔ y'(x0) = – 5 0,25 
 ⇔ 2
0
5 5
( 2)x
− = −− ⇔ 
0
0
1
3
x
x
=⎡ =⎢⎣
0 0 0 01 3; 3x y x y= ⇒ = − = ⇒ = 7 . 
0,50 
Từ đó, ta được các phương trình tiếp tuyến theo yêu cầu của đề bài là: 
5y x= − + 2 2 và 5 2y x= − + . 0,25 
1. (1,0 điểm) 
Đặt 5x = t, t > 0, từ phương trình đã cho ta có phương trình 
t2 – 6t + 5 = 0 (*) 0,50 
Giải (*), ta được t và t1= 5= . 0,25 
Với t , ta được: 51= 1x = ⇔ 0x = 
Với t , ta được: 55= 5x = ⇔ 1x = 
Vậy, phương trình đã cho có tất cả 2 nghiệm là 2 giá trị x vừa nêu trên. 
0,25 
2. (1,0 điểm) 
Đặt u và , ta có dx= d (1 cos )dv x= + x xdu = và v x sin x= + . 0,50 
Do đó: 0
0
( sin ) ( sin )dI x x x x x
ππ= + − +∫ x 0,25 
Câu 2 
(3,0 điểm) 
 = 
2 2
2
0
4cos
2 2
x x
π ππ ⎛ ⎞ −− − =⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25 
 y 
2
 x 2 O 
 1
2
−
1
2
−
Page 8 of 83
Lưu ý: 
• Thí sinh được phép trình bày lời giải vừa nêu trên như sau: 
2 2
2
0
0 0 0
4d( sin ) ( sin ) ( sin )d cos
2 2
xI x x x x x x x x x x
ππ ππ ππ ⎛ ⎞ −= + = + − + = − − =∫ ∫ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
• Ngoài cách 1 nêu trên, còn có thể tính I theo cách sau: 
 Cách 2: 
0 0
2 2
0
0 00
2 2
0
d cos d (*)
d(sin ) sin sin d (**)
2 2
4cos .
2 2
I x x x x x
x x x x x x x
x
π π
π π ππ
π
π
π π
= +∫ ∫
= + = + −∫ ∫
−= + =
Trong trường hợp thí sinh tính I theo cách 2, việc cho điểm được thực hiện như 
sau: 
- Biến đổi về (*): 0,25 điểm; 
- Biến đổi từ (*) về (**): 0,50 điểm; 
- Biến đổi tiếp từ (**) đến kết quả: 0,25 điểm. 
3. (1,0 điểm) 
Ta có: 2 2(2 1)( 1)
2 1
x x
x x
'( ) 2
1 2
f x x + −−= + =− ∀x ∈(– 2; 0). 
Suy ra, trên khoảng (– 2; 0): 1'( ) 0
2
f x x= ⇔ = − . 
0,50 
Ta có: , , (0) 0f = ( 2) 4 ln 5f − = − 1 1 ln 2
2 4
f ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25 
Vì 
4
44 ln 5 ln 0 (do 5)
5
e e− = > > và 
4
41 ln 2 ln 0 (do 2 )
4 2
e e− = < < 
Nên [ ]2;0
1min ( ) ln 2
4x
f x∈ − = − và [ ]2;0max ( ) 4 ln 5x f x∈ − = − . 
0,25 
Lưu ý: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 0] còn 
được kí hiệu tương ứng bởi 
[ 2;0]
min ( )f x
− và ma[ 2;0]x ( )f x− . 
Câu 3 
(1,0 điểm) 
Vì SA ⊥ mp(ABC) nên 
SA ⊥ AB và SA ⊥ AC. 
Xét hai tam giác vuông SAB và SAC, ta có 
}chungSA SAB SACSB SC ⇒ Δ = Δ= 
AB AC⇒ = 
0,25 
S 
 C 
 B 
a 
A 
Page 9 of 83
Áp dụng định lí côsin cho tam giác cân BAC, ta được 
n2 2 2 2 2 02 . .cos 2 (1 cos120 ) 3a BC AB AC AB AC BAC AB AB= = + − = − = 2 
Suy ra 3
3
aAB = . 
Do đó 2 2 6
3
aSA SB AB= − = và SABC = n
2
21 3.sin
2 1
aAB BAC =
2
. 
0,50 
Vì vậy VS.ABC = 
1
3
SABC.SA = 
3 2
36
a . 0,25 
Lưu ý: Ở câu này, không cho điểm hình vẽ. 
1. (0,75 điểm) 
• Tâm T và bán kính R của (S): (1;2;2)T = và 6R = . 0,25 
• Khoảng cách h từ T đến (P): 
2 2 2
|1.1 2.2 2.2 18 | 9
1 2 2
h + + += =+ + 0,50 
2. (1,25 điểm) 
• Phương trình tham số của d: 
Vì d ⊥ (P) nên vectơ pháp tuyến nG của (P) là vectơ chỉ phương của d. 
Từ phương trình của (P), ta có ( )1;2;2n =G . 
0,25 
Do đó, phương trình tham số của d là: 
1
2 2
2 2
x t
y t
z t
= +⎧⎪ = +⎨ = +⎪⎩
 0,25 
• Toạ độ giao điểm H của d và (P): 
Do H∈ d nên toạ độ của H có dạng (1 + t ; 2 + 2t ; 2 + 2t). 0,25 
Vì H ∈ (P) nên 1 + t + 2(2 + 2t) + 2(2 + 2t) + 18 = 0, hay . 3t = − 0,25 
Câu 4a 
(2,0 điểm) 
Do đó ( 2; 4; 4)H = − − − . 0,25 
Ta có: . 216 32 16 (4 )iΔ = − = − = 0,50 
Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là: 
1
4 4 1 1
16 4 4
iz i+= = + và 2 4 4 1 116 4 4
iz i−= = − . 0,50 
Câu 5a 
(1,0 điểm) 
Lưu ý: Cho phép thí sinh viết nghiệm ở dạng 1, 2
1
4
iz ±= hoặc 1, 2 4 416
iz ±= . 
1. (0,75 điểm) 
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. 
Vì d ⊥ (P) nên vectơ chỉ phương uG của d là vectơ pháp tuyến của (P). 
Từ phương trình của d, ta có ( )2;1; 1u = −G . 
0,25 
Câu 4b 
(2,0 điểm) 
Do đó, phương trình tổng quát của mp(P) là: 
2.( 1) 1.( 2) ( 1)( 3) 0x y z− + + + − − = hay 2 3 0x y z+ − + = . 0,50 
Page 10 of 83
2. (1,25 điểm) 
• Khoảng cách h từ A đến d: 
Từ phương trình của d suy ra điểm B(–1; 2; –3) thuộc d. 
Do đó 
,
| |
BA u
h
u
⎡ ⎤⎣ ⎦=
JJJG G
G . 
0,50 
Ta có . Do đó: (2; 4;6)BA = −JJJG
( )1 1 1 2 2 1, ; ; (2; 14; 10)4 6 6 2 2 4BA u − −⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ − − − −JJJG G 0,25 
Vì vậy 
2 2 2
2 2 2
2 ( 14) ( 10) 5 2
2 1 ( 1)
h + − + −= =+ + − . 0,25 
• Phương trình mặt cầu (S) tâm A(1; –2; 3), tiếp xúc với d: 
Vì (S) tiếp xúc với d nên có bán kính bằng h. Do đó, phương trình của (S) là: 
2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 5x y z− + + + − = 0 
0,25 
Lưu ý: 
Có thể sử dụng kết quả phần 1) để tính khoảng cách h từ A đến d. Dưới đây là 
lời giải tóm tắt theo hướng này và thang điểm cho lời giải đó: 
Gọi H là giao điểm của d và mặt phẳng (P), ta có H là hình chiếu vuông 
góc của A trên (P). Do đó h AH= . 0,25 
Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình 
1 2
2 1
2 3
x y z
x y z
3
1
0
+ − +⎧⎪ = =⎨ −⎪ + − + =⎩
Từ kết quả giải hệ trên ta được ( )3 ; 1 ; 2H = − − . 
0,50 
Vì vậy ( ) ( ) ( )2 2 21 3 2 1 3 2 5 2h AH= = + + − − + + = . 0,25 
Ta có: . ( )22 8 9 3i iΔ = − = − = 0,50 Câu 5b 
(1,0 điểm) 
Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là: 
1
3
4
i iz i+= = và 2 3 14 2
i iz i−= = − . 0,50 
- Hết - 
Page 11 of 83
Bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o 
§Ò thi chÝnh thøc 
kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 
M«n thi: to¸n - Trung häc phæ th«ng kh«ng ph©n ban 
Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò 
C©u 1 (3,5 ®iÓm) 
Cho hµm sè 24 x2xy −= . 
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. 
2) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é 2x −= . 
C©u 2 (2,0 ®iÓm) 
1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: 
x
9x)x(f += trªn ®o¹n [ ]4;2 . 
2) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ +1
0
x xdx)e1( . 
C©u 3 (1,5 ®iÓm) 
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai ®iÓm A(0; 8) vµ B(−6; 0). Gäi (T) lµ 
®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB. 
1) ViÕt ph−¬ng tr×nh cña (T). 
2) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (T) t¹i ®iÓm A. TÝnh cosin cña gãc gi÷a tiÕp 
tuyÕn ®ã víi ®−êng th¼ng 01y =− . 
C©u 4 (2,0 ®iÓm) 
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm M(1; 2; 3) vµ mÆt ph¼ng (α) cã 
ph−¬ng tr×nh 035z6y3x2 =++− . 
1) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm M vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (α). 
2) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn mÆt ph¼ng (α). T×m to¹ ®é ®iÓm N thuéc trôc 
Ox sao cho ®é dµi ®o¹n th¼ng NM b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn mÆt ph¼ng (α). 
C©u 5 (1,0 ®iÓm) 
Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 3n
3
n
4
n
2 A2C2C)5n( ≤+− . 
 (Trong ®ã knC lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö vµ 
k
nA lµ sè chØnh hîp chËp k cña n 
phÇn tö). 
.........HÕt......... 
ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu. Gi¸m thÞ kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. 
Hä vµ tªn thÝ sinh: ..................................................................... Sè b¸o danh:.............................................................................. 
Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1: ....................................................... Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: .................................................. 
Page 12 of 83
Bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o 
§Ò thi chÝnh thøc 
kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 
M«n thi: to¸n - Trung häc phæ th«ng ph©n ban 
Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò 
I. PhÇn chung cho thÝ sinh c¶ 2 ban (8 ®iÓm) 
C©u 1 (3,5 ®iÓm) 
Cho hµm sè 1x3x2y 23 −+= . 
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. 
2) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm thùc cña ph−¬ng tr×nh 3 22x 3x 1 m.+ − = 
C©u 2 (1,5 ®iÓm) 
Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2x 1 x3 9.3 6 0+ − + = . 
C©u 3 (1,0 ®iÓm) 
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 22 )i31()i31(P −++= . 
C©u 4 (2,0 ®iÓm) 
Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã c¹nh ®¸y b»ng a, c¹nh bªn b»ng 2a. Gäi I lµ trung ®iÓm 
cña c¹nh BC. 
1) Chøng minh SA vu«ng gãc víi BC. 
2) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABI theo a. 
II. PHÇN dμnh cho thÝ sinh tõng ban (2 ®iÓm) 
A. ThÝ sinh Ban KHTN chän c©u 5a hoÆc c©u 5b 
C©u 5a (2,0 ®iÓm) 
1) TÝnh tÝch ph©n dx)x1(xI 43
1
1
2
−= ∫
−
. 
2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f (x) x 2 cos x= + trªn ®o¹n ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π
2
;0 . 
C©u 5b (2,0 ®iÓm) 
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm )2;2;3(A −− vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh 
01zy2x2 =−+− . 
1) ViÕt ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P). 
2) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn mÆt ph¼ng (P). ViÕt ph−¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (Q) sao cho 
(Q) song song víi (P) vµ kho¶ng c¸ch gi÷a (P) vµ (Q) b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn (P). 
B. ThÝ sinh Ban KHXH-NV chän c©u 6a hoÆc c©u 6b 
C©u 6a (2,0 ®iÓm) 
1) TÝnh tÝch ph©n 
2
0
J (2x 1)cos xdx
π
= −∫ . 
2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè 1x2x)x(f 24 +−= trªn ®o¹n [ ]2;0 . 
C©u 6b (2,0 ®iÓm) 
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho tam gi¸c ABC víi A(1;4; 1),− )3;4;2(B vµ C(2;2; 1)− . 
1) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng BC. 
2) T×m to¹ ®é ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. 
.........HÕt......... 
 ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu. Gi¸m thÞ kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. 
Hä vµ tªn thÝ sinh: ..................................................................... Sè b¸o danh:.............................................................................. 
Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1: ....................................................... Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: .................................................. 
Page 13 of 83
 1
bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o 
®Ò thi chÝnh thøc 
kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 
 M«n thi: to¸n – Trung häc phæ th«ng kh«ng ph©n ban 
H−íng dÉn chÊm thi 
B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 03 trang 
I. H−íng dÉn chung 
1) NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn 
®óng th× cho ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− h−íng dÉn quy ®Þnh. 
2) ViÖc chi tiÕt ho¸ thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm trong 
h−íng dÉn chÊm ph¶i ®¶m b¶o kh«ng sai lÖch víi h−íng dÉn chÊm 
vµ ®−îc thèng nhÊt thùc hiÖn trong Héi ®ång chÊm thi. 
3) Sau khi céng ®iÓm toµn bµi, lµm trßn ®Õn 0,5 ®iÓm (lÎ 0,25 lµm trßn 
thµnh 0,5; lÎ 0,75 lµm trßn thµnh 1,0 ®iÓm). 
II. §¸p ¸n vµ thang ®iÓm 
 c©u §¸p ¸n §iÓm
1. (2,5 ®iÓm) 
a) TËp x¸c ®Þnh: R, hµm sè lµ hµm ch½n. 
0,25 
b) Sù biÕn thiªn: 
• ChiÒu biÕn thiªn: 3 2y = 4x -4x = 4x(x -1),′ nghiÖm ph−¬ng tr×nh y’ = 0 lµ: 
 x = 0, x = -1, x = 1. 
y’ > 0 trªn c¸c kho¶ng (- 1; 0) vµ );1( ∞+ 
y’ < 0 trªn c¸c kho¶ng )1;( −−∞ vµ (0; 1). 
Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (- 1; 0) vµ ,);1( ∞+ nghÞch biÕn trªn c¸c 
kho¶ng )1;( −−∞ vµ (0; 1). 
• Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0; yC§ = 0, 
®¹t cùc tiÓu t¹i x = - 1 vµ x = 1; yCT = - 1. 
 0,75 
C©u 1 
(3,5 ®iÓm) 
• Giíi h¹n: +∞=
−∞→
ylim
x
; 
x
lim y
→+∞
= +∞ 
• TÝnh låi lâm, ®iÓm uèn: y” = 12x2 – 4 ; y” = 0 
1x = ± .
3
⇔ 
 y’’< 0 khi x∈ )
3
1;
3
1(− , y’’> 0 khi x∈ );
3
1()
3
1;( ∞+∪−−∞ 
⇒®å thÞ hµm sè låi trªn kho¶ng 1 1(- ; ),
3 3
 lâm trªn c¸c kho¶ng 
);
3
1(),
3
1;( ∞+−−∞ vµ cã hai ®iÓm uèn: 
U1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
9
5;
3
1
 vµ U2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
9
5;
3
1
 0,50 
Page 14 of 83
 2
• B¶ng biÕn thiªn: 
 0,50 
c) §å thÞ: 
- Giao ®iÓm víi Ox: (0; 0), ( )0;2(),0;2 − víi Oy: (0; 0). 
- §å thÞ hµm sè nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng. 
0,50 
2. (1,0 ®iÓm) 
§iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè cã hoµnh ®é x = - 2, cã tung ®é y = 8; 
)2('y − = - 24. 
0,50 
Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ: y – 8 = )2('y − (x + 2) hay y = -24x – 40. 0,50 
1. (1,0 ®iÓm) 
XÐt trªn ®o¹n [ ]4;2 , hµm sè ®· cho cã: ( ) 2x
91xf −=′ ; ( ) 0xf =′ 3x =⇔ 0,50 
4
25)4(f;6)3(f;
2
13)2(f === . 
 KÕt luËn: [ ] [ ]2;42;4
13max f(x)= ; min f(x)=6.
2
0,50 
2. (1,0 ®iÓm) §Æt u = x vµ dv = (1 + ex)dx ⇒ du = dx vµ v = x + ex 
I = ∫ +−+
1
0
x1
0
x dx)ex()]ex(x[ 0,50 
 C©u 2 
 (2,0 ®iÓm) 
I = 
1
0
x
2
)e
2
x(e1 +−+ = )1e
2
1(e1 −+−+ = 3 .
2
 0,50 
C©u 3 
(1,5 ®iÓm) 
1. (0,75 ®iÓm) §−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB nhËn AB lµm ®−êng 
kÝnh. T©m cña ®−êng trßn lµ trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB. 
 I = (- 3; 4); b¸n kÝnh b»ng .5AB
2
1
= 
Ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn cÇn t×m lµ: 25)4y()3x( 22 =−++ . 
0,75 
1
x 
y
-1
-1
- 2 2 
O
x
y
y’
-∞
+∞
0- 1 1 
 0 0 0 + + --
+∞
+∞0
- 1 - 1 
- 
9
5 - 9
5 
1
3
 - 
1
3
Page 15 of 83
 3
2. (0,75 ®iÓm) 
TiÕp tuyÕn cÇn t×m nhËn vect¬ )4;3(IA = lµ mét vect¬ ph¸p tuyÕn. 
Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: 0)8y(4)0x(3 =−+− 3x + 4y-32= 0.⇔ 
0,50 
Gäi α lµ gãc gi÷a tiÕp tuyÕn vµ ®−êng th¼ng y – 2 = 0 
5
4
43
1.43.0
cos
22
=
+
+
=α⇒ . 0,25 
1. (1,0 ®iÓm) 
§−êng th¼ng cÇn t×m vu«ng gãc víi mp( ),α nhËn )6;3;2(n −= lµ mét 
vect¬ chØ ph−¬ng. 
Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng th¼ng cÇn t×m lµ: 
6
3z
3
2y
2
1x −
=
−
−
=
−
. 
1,0 
2. (1,0 ®iÓm) d(M,( ))α = 
2 2 2
2.1-3.2+6.3+35
= 7
2 +(-3) + 6
 0,50 
C©u 4 
(2,0 ®iÓm) 
§iÓm N thuéc Ox ⇒ N(a; 0; 0) 2 2 2NM = (a -1) + 2 +3 .⇒ 
d(M,( ))α = NM ⇔ 732)1a( 222 =++− 
a 7
(a 1) 36
a 5
=⎡
⇔ − = ⇔ ⎢
= −⎣
2 
Cã hai ®iÓm N tho¶ m·n yªu cÇu ®Ò bµi víi to¹ ®é lµ: (7; 0; 0), (- 5; 0; 0). 
0,50 
§K: n N∈ vµ n 4≥ . 
BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng: 
)!3n(
!n2
!3)!3n(
!n2
!4)!4n(
!n)5n( 2
−
≤
−
+
−
−
0,50 
C©u 5 
(1,0 ®iÓm) 
0)5n2n)(5n( 2 ≤++−⇔ 
05n ≤−⇔ (v× n,05n2n 2 ∀>++ ) 5n ≤⇔ . 
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, ®−îc nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ: 
 n = 4 vµ n = 5. 
0,50 
.HÕt. 
Page 16 of 83
 1
Bé gi¸o dôc vμ ®μo t¹o 
 ®Ò thi chÝnh thøc 
kú thi tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng n¨m 2008 
 M«n thi: to¸n – Trung häc phæ th«ng ph©n ban 
H−íng dÉn chÊm thi 
B¶n h−íng dÉn chÊm gåm 04 trang 
I. H−íng dÉn chung 
1) NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× 
cho ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− h−íng dÉn quy ®Þnh. 
2) ViÖc chi tiÕt ho¸ thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm trong h−íng 
dÉn chÊm ph¶i ®¶m b¶o kh«ng sai lÖch víi h−íng dÉn chÊm vµ ®−îc 
thèng nhÊt thùc hiÖn trong Héi