Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Năm học 2009-2010 Môn Thi : Toán

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI - NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi : TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009
(Đề thi gồm: 01 trang) 
Câu I (2.5 điểm): 
	1) Giải hệ phương trình:
	 
	2) Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
	 
Câu II (2.5 điểm): 
	1) Rút gọn biểu thức: 
	 với 
	2) Cho trước số hữu tỉ m sao cho là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: 
Câu III (2.0 điểm): 
1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết . Chứng minh rằng: là hợp số.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu IV (2.0 điểm):
Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lượt lấy D, E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng: 
MD = ME
2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.
Câu V (1.0 điểm):
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.
-----------------------Hết-----------------------

Họ và tên thí sinh : ......................................................Số báo danh :.......................
Chữ kí của giám thị 1 : .............................Chữ kí của giám thị 2:............................




HƯỚNG DẪN CHẤM

CÂU
PHẦN
NỘI DUNG
ĐIỂM
CÂU I
2,5 ĐIỂM
1)
1,5ĐIỂM

TỪ (2) X 0. TỪ ĐÓ , THAY VÀO (1) TA CÓ:
0.25



0.25



0.25


Giải ra ta được 
0.25


TỪ ; 
0.25


Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1);; 
0.25

2)
1,0ĐIỂM
ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM: 
0.25


 . Vì (m - 2) > (m - 3) nên: 
 m = 2 hoặc m = 3.
0.25


 KHI M = 2 = 0X = -1 (THỎA MÃN)
 KHI M = 3 = 0 X = - 1,5 (LOẠI). 
0.25


 Vậy m = 2.
0.25
CÂU II
2,5 ĐIỂM
1)
1,5ĐIỂM
ĐẶT 

0.25



0.25



0.25



0.25



0.25



0.25

2)
1,0ĐIỂM
 (1)
GIẢ SỬ CÓ (1)

TỪ (1), (2) 
 0.25


Nếu là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!

 0.25


. NẾU B0 THÌLÀ SỐ HỮU TỈ. TRÁI VỚI GIẢ THIẾT! . TỪ ĐÓ TA TÌM ĐƯỢC C = 0.
 0.25


Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0
 0.25
CÂU III
2 ĐIỂM
1)
1,0ĐIỂM
THEO BÀI RA F(X) CÓ DẠNG: F(X) = AX3 + BX2 + CX + D VỚI A NGUYÊN DƯƠNG. 
0.25


Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c 
 = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a)
0.25


TA CÓ F(7) - F(1) = (73 - 13)A + (72 - 12)B + (7 - 1)C 
 = 342A + 48B + 6C = 342A + 3(16B + 2C) 
 = 342A + 3(2010- 98A)= 48A + 6030 = 3.(16A + 2010) 
0.25


Vì a nguyên dương nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) là hợp số
0.25

2)
1,0ĐIỂM

TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY LẤY CÁC ĐIỂM A(X-2; 1), B(X+3; 2)
0.25


Ta chứng minh được: 
 , 
0.25


MẶT KHÁC TA CÓ: 
0.25


Dấu “=” xảy ra khi A thuộc đoạn OB hoặc B thuộc đoạn OA
.Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn OB. Vậy Maxkhi x = 7.
0.25
CÂUIV
2 ĐIỂM
1)
0,75ĐIỂM


















 TA DỄ DÀNG CHỨNG MINH TỨ GIÁC MBAN NỘI TIẾP , MCAP NỘI TIẾP .
0.25



Lại có 
(cùng phụ góc NMP)
 (1)
0.25



DO DE // NP MẶT KHÁC  MANP (2)
TỪ (1), (2) CÂN TẠI A
 MA LÀ TRUNG TRỰC CỦA DE
 MD = ME



0.25

2)
1,25điểm


 Do DE//NP nên , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên:

0.25


THEO GIẢ THIẾT 
TỨ GIÁC MDEK NỘI TIẾP
0.25


Do MA là trung trực của DE
0.25


 .
0.25


Vì DM là phân giác của góc CDK, kết hợp với AM là phân giác DABM là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.
0.25
CÂU V
1 ĐIỂM



Không mất tổng quát giả sử:ABAC. Gọi B’ là điểm chính giữa cung 
Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA
0.25

Ta có: (1) ; (2)
 (3);Từ (1), (2), (3) 
0.25

Hai tam giác A’BB’ và ABB’ bằng nhau 
Ta có = AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì B’, A, C cố định). Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’.
0.25

Hoàn toàn tương tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung thì ta cũng có AD’ + CD’ AD + CD. Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’.
 Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung của đường tròn (O)
0.25
CHÚ Ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng vẫn cho điểm tối đa.




SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HƯNG YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút






Bài 1: (1,5 điểm)
	Cho 
	Hãy lập một phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - 1 là một nghiệm.

Bài 2: (2,5 điểm)
	a) Giải hệ phương trình: 
	b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3: (2,0 điểm)
	a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
	b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì 

Bài 4: (3,0 điểm)
	Cho đường tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại C. Chứng minh rằng:
	a) 
	b) MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
	c) Tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi. 

Bài 5: (1,0 điểm)
	Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ. 
------------ HẾT ------------

Họ và tên thí sinh:…………………….....……….……...

Chữ ký của giám thị ……………..............….……...…...
Số báo danh:....….….………Phòng thi số:...…...…




HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bài 1: (1,5 điểm)

 
0,5 đ
a = 
0,25 đ
Đặt 
0,5 đ

Vậy phương trình nhận lµm nghiÖm
0,25 ®

Bài 2: (2,5 điểm)

a) ĐK: 
0,25 đ
Giải (2) 
0,25 đ
* Nếu . 
Thay vào (1) ta được 
0,25 đ
 (ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm)
0,25 ®
* NÕu . 
Thay vµo (1) ta ®­îc 
0,25 ®
- Với (thoả mãn điều kiện)
- Với (thoả mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
0,25 đ
b) Đặt (*)
Phương trình đã cho trở thành: 
 (1)
0,25 ®
Tõ (*) ta thÊy, ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ph©n biÖt th× ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt
0,25 ®

0,25 ®

Vậy với thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
0,25 đ

Bài 3: (2,0 điểm)

a) Vì k > 1 suy ra 
- Xét 
 kh«ng lµ sè nguyªn tè. 
0,25 ®
- XÐt 
 kh«ng lµ sè nguyªn tè. 
0,25 ®
- Xét 
 không là số nguyên tố. 
0,25 đ
- Xét 
 không là số nguyên tố. 
Do vậy 
0,25 ®
b) Ta chøng minh: Víi th× (*)
ThËt vËy 
 (lu«n ®óng)
0,5 ®
Áp dụng (*) ta có:

Suy ra (®pcm)
0,5 ®

Bài 4: (3,0 điểm)
 
a) Xét và có:
 
 
0,5 đ
 Do vậy và đồng dạng
 Suy ra 
0,5 đ
b) Gọi (J) là đường tròn ngoại tiếp 
hay 

0,5 đ
Suy ra 
Suy ra MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB
0,5 đ
c) Kẻ đường kính MN của (O) Þ NB ^ MB 
Mà MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB
Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp 
Chứng minh tương tự I thuộc AN
Ta có CJ // IN
Chøng minh t­¬ng tù: CI // JN
0,5 ®
Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành CI = NJ
Suy ra tổng bán kính của hai đường tròn (I) và (J) là:
 IC + JB = BN (không đổi)
0,5 đ
Bài 5: (1,0 điểm)
 
Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dương)
Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8 cạnh có số đo là: 
0,25 đ
Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O
Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.
Þ MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 
Ta có AB = CD nên: 
Û (e - a) = h + b - f - d
0,5 ®
NÕu e - a ≠ 0 th× (®iÒu nµy v« lý do lµ sè v« tØ)
VËy e - a = 0 Û e = a hay EF = IJ (®pcm).

0,25 ®



------------ HẾT ------------

















SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10
 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 
 NĂM HỌC 2009-2010
Đề chính thức Môn thi:Toán (chuyên)
 Ngày thi:19/06/2009
 Thời gian:150 phút
Bài 1(1.5điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
 
Bài 2(2điểm)
Cho 3 số phân biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3(2điểm)
Với số tự nhiên n,.Đặt 
Chúng minhSn<
Bài 4(3điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D.
a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC
b.Tính độ dài AD theo a,b,c
Bài 5(1.5điểm)
Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên m,n.
**********************************************





ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO 10 
TRƯỜNG CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM 2009
Bài 1:
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b
Nên ta có 
Mặt khác 
Vậy ta có 
Tương tự 
Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
Bài 2:
ĐK: PT đã cho (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 0
3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1)
Ta có = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp-3np = m2+n2+p2 –mn-mp-np =[(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0
Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np
Ta có f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) 0
= >m,n,p không phải là nghiệm của pt(1)
Vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài 3 
 
Do đó 
Bài 3:
Ta có ( Do cung EB = cung EC)
Và ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên 

Ta có 
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CE) nên 
 
AD(AE-AD) = DB.DC 
Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))
4b)Theo tính chất đường phân giác ta có
vậy 
theo câu a ta có AD2 = AB.AC – DB.DC = 

Bài 5:
Vì 
Ta xet hai trường hợp:
a) 
Từ đó suy ra :


b) 
Từ đó suy ra :

 

************************************************


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
	
(Đề có 01 trang)
Câu 1: (3,0 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
b) Giải và biện luận phương trình: (p là tham số có giá trị thực).
Câu 2: (1,5 điểm)	
 	Cho ba số thực đôi một phân biệt.
Chứng minh 
Câu 3: (1,5 điểm)
 Cho và 
 Tìm tất cả các giá trị nguyên của sao cho là một số nguyên.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh:
 a) KM // AB.
 b) QD = QC.
Câu 5: (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4.

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh ..................................................................... SBD .......................


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho lớp chuyên Toán.
—————————
Câu 1 (3,0 điểm). 
a) 1,75 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Điều kiện 
0,25
Hệ đã cho 
0,25
Giải PT(2) ta được: 
0,50
Từ (1)&(3) có:
0,25
Từ (1)&(4) có:
0,25
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: 
0,25
b) 1,25 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Xét 3 trường hợp:
TH1. Nếu thì PT trở thành: (1)
TH2. Nếu thì PT trở thành: (2)
TH3. Nếu thì PT trở thành: (3)
0,25
Nếu thì (1) có nghiệm ; (2) vô nghiệm; (3) có nghiệm x nếu thoả mãn: 
.
0,25
Nếu thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm.
0,25
Nếu thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn ; (1) có nghiệm x=2; (3)VN
0,25
Kết luận:
+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và 
+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 
+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm 
+ Nếu thì phương trình có nghiệm x = 2.
0,25
Câu 2 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
+ Phát hiện và chứng minh

1,0
+ Từ đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng:
 
0,5
Câu 3 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
Điều kiện xác định: x1 (do x nguyên).
0,25
Dễ thấy , suy ra: 
0,25
Nếu . Khi đó 
Suy ra , hay không thể là số nguyên với . 
0,5
Nếu . Khi đó: (vì x nguyên) và . Vậy là một giá trị cần tìm.
0,25
Nếu . Khi đó (do x nguyên). Ta có:
 và , suy ra hay và .
Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: .
0,25
Câu 4 (3,0 điểm):
a) 2,0 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
A
I
B
K
M
D
E
H
R
C
Q

Gọi I là trung điểm AB, . Xét hai tam giác KIB và KED có: 
0,25

KB = KD (K là trung điểm BD)
0,25


0,25

Suy ra .
0,25

Chứng minh tương tự có: 
0,25

Suy ra: MI = MR
0,25

Trong tam giác IER có IK = KE và MI = MR nên KM là đường trung bình KM // CD
0,25

Do CD // AB (gt) do đó KM // AB (đpcm)
0,25
b) 1,0 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD IK//AD hay IE//AD
chứng minh tương tự trong ABC có IM//BC hay IR//BC
0,25
Có: (gt), IE//AD (CM trên) . Tương tự có 
0,25
Từ trên có: IK=KE, là trung trực ứng với cạnh IE của . Tương tự QM là trung trực thứ hai của 
0,25
Hạ suy ra QH là trung trực thứ ba của hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD Q cách đều C và D hay QD=QC (đpcm).
0,25
Câu 5 (1,0 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm


Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S). Khi đó .
0.25
Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác (hình vẽ). Khi đó . Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác .
0.25
Giả sử trái lại, có một điểm nằm ngoài tam giác chẳng hạn như trên hình vẽ . Khi đó , suy ra , mâu thuẫn với giả thiết tam giác có diện tích lớn nhất.
0.25
Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác có diện tích không lớn hơn 4.
0.25


ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG
NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1 : ( 1 điểm ) 
Cho tính 
Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = 0 ( 1 ) 
và x2 - b2 x + bc = 0 (2 ) 
biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm thoả mãn điều kiện . xác định b và c 
Bài 3 : ( 2 điểm ) 
Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng 
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c . Chứng ming rằng 
 
Bài 4 : ( 3, 5 điểm ) 
Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC . Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC 
Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp 
Chứng minh Q; E; F thẳng hàng 
Chứng minh 
Bài 5 : ( 2 điểm ) 
Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1 
Cho bảng ô vuông kích thước 2009 . 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi . Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) . Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không 
Lời giải 
Bài 1 : 

vậy P = 1
Bài 2 : vì => 
Theo hệ thức Vi ét ta có 
Từ (1 ) và ( 3 ) => b2 + b - 2 = 0 ó b = 1 ; b = -2 
từ ( 4 ) => => c - b + 1 = bc ( 5 ) 
+) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x2 + +b x + c = 0 trở thành 
X2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu 
+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c = 0 trở thành x2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 
vậy b= 1; c ; 
b = -2 ; c = -1 
Bài 3 : 
1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 
 
=> 
dấu “=” sảy ra ó a = b = c 
2. ta có 

Áp dụng câu 1 ta có 
=> 
vậy . dấu “=” sảy ra ó a = b = c = 1 
Bài 4 : a) ta có 
=> tứ giác BOPN nội tiếp 
+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp 
+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> 
tứ giác BOPN nội tiếp => 
=> => tứ giác AQPB nội tiếp 
b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA 
=> => QE //BC 
Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC 
Q; E; F thẳng hàng 
c) 

Bài 5 :
1) 3x - y3 = 1 
 => tồn tại m; n sao cho 
+) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0 
+) nếu m > 0 thì 
=> => m = 1 => y = 2 ; x = 2 
vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 ) 
2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua 
Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 . 2009 là một số lẻ 
sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ 
vậy không thể chuyển tất cả viên sỏi trên bẳng ô vuông về cùng một ô sau một số hữu hạn các phép thưc hiện thao tác T 













SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
HÀ NAM
Năm học 2009-2010

Môn thi : toán(đề chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thêi gian lµm bµi: 120 phót(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

Bµi 1.(2,5 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
Giải hệ phương trình: 

Bài 2.(2,0 điểm)
 Cho phương trình: 
Tìm m để x = là nghiệm của phương trình.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x=x1; x=x2 thoả mãn:
 

Bài 3.(2,0 điểm)
Cho phương trình: ( với m là tham số, x là ẩn số). Tìm giá trị của m là số nguyên để phwowng trình có nghiệm là số hữu tỷ.
Tìm số thoả mãn:.
 Bài 4.(3,5 điểm)
 Cho ∆ABC nhọn có Đường tròn tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE.
Chứng minh:.
Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn.
Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET.
Gọi Bt là tia của đường thẳng BC và chứa điểm C. Khi 2 điểm A, B và tia Bt cố định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh rằng các đường thẳng NE tương ứng luôn đi qua một điểm cố định.

----------- HẾT----------

 Họ và tên thí sinh:…………………………..Số báo danh:…………………
Chữ ký giám thị số 1:……………………….Chữ ký giám thị số 2………..
GỢI Ý MỘT SỐ CÂU KHÓ TRONG ĐỀ THI:
Bài 3:
Ta có =
Để phương trình có nghiệm hữu tỷ thì phải là số chính phương. Giả sử 
= n2( trong đó n là số tự nhiên).
Khi đó ta có 
Do nN nên 2m-3+n>2m-3-n
Và do mZ, nN và 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11)
Từ đó xét 4 trường hợp ta sẽ tìm được giá trị của m.
 2)Từ giả thiết bài toán ta có:
 
 Ta có là số lẻ và do nên 5.
Mà là số chẵn nên phải có tận cùng là 6phải có tận cùng là 4 hoặc 9. (*)
Mặt khác và 
 là số lẻ<500(**)
Kết hợp (*) và (**) ta có {4; 9; 49; 64} 
a+b {2; 3; 7; 8}

+ Nếu a+b{2; 7; 8} thì a+b có dạng 3k ± 1(kN) khi đó chia hết cho 3 mà (a+b) + 9a= 3k ± 1+9a không chia hết cho 3 không 3 c N 
 + Nếu a+b =3 ta có . Vì 0<a<4 và 1+3a71+3a=7a=2, khi đó c=6 và b=1.Ta có số 216 thoả mãn.
Kết luận số 216 là số cần tìm.






Bài 4:














* Ý c : Chứng minh KT.BN=KB.ET
Cách 1:C/m AKTIET
 C/m AKBINB
 Do IE=IN từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
Cách 2:
 C/m TKETAI
 C/m BIMBAK
 Theo tính chất tia phân giác của ABT ta có 
 Và do BM=BN từ đó suy ra điều phải c/m 

*Ý d:Chứng minh NE đi qua một điểm cố định:
Do A, B và tia Bt cố định nên ta có tia Bx cố định và không đổi (tia Bx là tia phân giác của )
Xét ABK vuông tại K ta có KB = AB.cos ABI=AB.cos không đổi
Như vậy điểm K thuộc tia Bx cố định và cách gốc B một khoảng không đổi do đó K cố định đpcm.













GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN THPT HUỲNH MẪN ĐẠT – KIÊN GIANG, NĂM 2009 – 2010

Đề, lời giải Cách khác, nhận xét
Bài 1: (1 điểm) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Đặt S2 = x12 + x22 ; S1 = x1.x2 Chứng minh rằng: a.S2 + b.S1 + 2c = 0
Theo Vi-ét ta có: x1+ x2 = ; x1.x2 = 


Bài 2: (2 điểm) 
Cho phương trình: 2x - 7+ 3m – 4 = 0 (1)
a/ Định m để phương trình có một nghiệm bằng 9 và tìm tất cả nghiệm còn lại của phương trình.
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
a/ Phương trình có 1 nghiệm x = 9 thay vào pt ta có:
2.9 - 7 +3m – 4 = 0
 3m = 7
 m = 7/3 
Từ (1) ta có x thế vào (1) ta được pt:

Đặt ta có pt: 2t2 – 7t + 3 = 0
Giải tìm được t1 = 3 ; t2 = ½ 
Suy ra x1 = 9 ; x2 = ¼ 
b/ Từ (1) coi phương trình với ẩn là 
Lập 
Để pt (1) có nghiệm thì: 









Cách khác:

x1 = 9 
mà 
Câu b:
Có thể yêu cầu tìm số nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm.
Chú ý: nếu thay bởi ta có bài toán tương tự.

Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình: (I)
Nhân (1) (2) và (3) ta có:
[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36(x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hoặc (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6
Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hệ (I) là: 

Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 hệ (I) là: 

Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) và (-2 ; -4 ; -6)



Nếu x, y, z đều là các số dương thì hệ chỉ có 1 nghiệm
Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): , điểm I(0 ; 3) và điểm M(m ; 0)
Với m là tham số khác 0.
a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, I
b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với AB > 6

a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b
Khi đi qua I(0 ; 3) và M(m ; 0) ta có:

b/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Chứng minh AB > 6
Vì A, B là giao điểm của (d) và (P) nên hoành độ xA, xB phải thỏa mãn pt: mx2 + 9x – 9m = 0
Theo Vi-ét ta có: xA+ xB = ; xA. xB = -9 
Do A, B 
Theo công thức tính khoảng cách:
















Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B (R > R’). Tiếp tuyến tại B của
(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến tại B của (O ; R) cắt (O’ ; R’) tại D.
a/ Chứng minh rằng: AB2 = AC.AD và 
b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A. Chứng minh bốn điểm B, C, E, D thuộc một đường tròn có tâm là K. Xác định tâm K của đường tròn. 

a/ Xét (O) ta có (chắn cung AnB)
Xét (O’) ta có (chắn cung AmB)

b/ Từ (1) thay AE = AB ta có
 (*) mặt khác: 

Từ (*) và (**) suy ra:

Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K. Với K là gaio điểm 3 đường trực của hoặc 

































Sở GD&ĐT Nghệ An


Đề thi chính thức
 KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
 năm học 2009 - 2010

Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (3.5 điểm)
a) Giải phương trình
 
b) Giải hệ phương trình

Bài 2: (1.0 điểm)
Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên
 .
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
 a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.
 b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

----------------------------------------Hết----------------------------------------
Họ và tên thí sinh …………………………………..……….. SBD……………..
* Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích gì thêm.

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN


§Ò thi chÝnh thøc

 KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN
H­íng dÉn chÊm thi
Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang


Nội dung đáp án
Điểm
Bài 1

3,5 đ
a

2,0đ

 



0.50đ


0.25đ


0.25đ


0.25đ


0.25đ

 ( thỏa mãn )
0.50đ
b

1,50đ

Đặt 
0.25đ

 Hệ đã cho trở thành 
0.25đ


0,25đ

 
0,25đ

 (vì ).
0,25đ

Từ đó ta có phương trình: 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 
0,25đ
Bài 2:

1,0 đ

Điều kiện để phương trình có nghiệm: (*).
0,25đ

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2).
Theo định lý Viet: 
0,25đ


 hoặc (do x1 - 1 ≥ x2 -1)
 hoặc 
Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )



0,25đ

Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ
Bài 3:
	
2,0 đ
 
Vì BE là phân giác góc nên 
0,25đ


	 (1)
0,50đ

	Vì M, N thuộc đường tròn đường 	kính AB nên 
0,25đ

	 , kết hợp 	với (1) ta có tam giác AME đồng 	dạng với tam giác ANK
0,50đ

	
0,25đ

	Þ AN.AE = AM.AK (đpcm)
0,25đ
Bài 4:

1,5 đ


	Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên 
	Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên 
	.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp
0,25đ

	Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI 
	đồng dạng với tam giác AOB
	 (1)
0,25đ

	Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng AO