Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên nguyễn trãi - Năm học 2009-2010 môn thi : toán thời gian làm bài: 150 phút

 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
H¶I d­¬ng
 §Ò thi chÝnh thøc
Kú thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn
nguyÔn tr·i - N¨m häc 2009-2010
M«n thi : to¸n 
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
Ngµy thi 08 th¸ng 7 n¨m 2009
(§Ò thi gåm: 01 trang) 
C©u I (2.5 ®iÓm): 
	1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
	2) T×m m nguyªn ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm nguyªn:
C©u II (2.5 ®iÓm): 
	1) Rót gän biÓu thøc: 
	 víi 
	2) Cho tr­íc sè h÷u tØ m sao cho lµ sè v« tØ. T×m c¸c sè h÷u tØ a, b, c ®Ó: 
C©u III (2.0 ®iÓm): 
1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) víi hÖ sè cña x3 lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ biÕt . Chøng minh r»ng: lµ hîp sè.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 
C©u IV (2.0 ®iÓm):
Cho tam gi¸c MNP cã ba gãc nhän vµ c¸c ®iÓm A, B, C lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M, N, P trªn NP, MP, MN. Trªn c¸c ®o¹n th¼ng AC, AB lÇn l­ît lÊy D, E sao cho DE song song víi NP. Trªn tia AB lÊy ®iÓm K sao cho . Chøng minh r»ng: 
MD = ME
2) Tø gi¸c MDEK néi tiÕp. Tõ ®ã suy ra ®iÓm M lµ t©m cña ®­êng trßn bµng tiÕp gãc DAK cña tam gi¸c DAK.
C©u V (1.0 ®iÓm):
Trªn ®­êng trßn (O) lÊy hai ®iÓm cè ®Þnh A vµ C ph©n biÖt. T×m vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm B vµ D thuéc ®­êng trßn ®ã ®Ó chu vi tø gi¸c ABCD cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
-----------------------HÕt-----------------------
H­íng dÉn chÊm
C©u
PhÇn
néi dung
§iÓm
c©u I
2,5 ®iÓm
1)
1,5®iÓm
Tõ (2) x 0. Tõ ®ã , thay vµo (1) ta cã:
0.25
0.25
0.25
Gi¶i ra ta ®­îc 
0.25
Tõ ; 
0.25
VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1);; 
0.25
2)
1,0®iÓm
§iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: 
0.25
 . V× (m - 2) > (m - 3) nªn: 
 m = 2 hoÆc m = 3.
0.25
 Khi m = 2 = 0x = -1 (tháa m·n)
 Khi m = 3 = 0 x = - 1,5 (lo¹i). 
0.25
 VËy m = 2.
0.25
c©u II
2,5 ®iÓm
1)
1,5®iÓm
§Æt 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
1,0®iÓm
 (1)
Gi¶ sö cã (1)
Tõ (1), (2) 
 0.25
NÕu lµ sè h÷u tØ. Tr¸i víi gi¶ thiÕt!
 0.25
. NÕu b0 th×lµ sè h÷u tØ. Tr¸i víi gi¶ thiÕt! . Tõ ®ã ta t×m ®­îc c = 0.
 0.25
Ng­îc l¹i nÕu a = b = c = 0 th× (1) lu«n ®óng. VËy: a = b = c = 0
 0.25
c©u III
2 ®iÓm
1)
1,0®iÓm
Theo bµi ra f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d víi a nguyªn d­¬ng. 
0.25
Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c 
 = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a)
0.25
Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c 
 = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) 
 = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 
0.25
V× a nguyªn d­¬ng nªn 16a + 2010>1 . VËy f(7)-f(1) lµ hîp sè
0.25
2)
1,0®iÓm
Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy lÊy c¸c ®iÓm A(x-2; 1), B(x+3; 2)
0.25
Ta chøng minh ®­îc: 
 , 
0.25
MÆt kh¸c ta cã: 
0.25
DÊu “=” x¶y ra khi A thuéc ®o¹n OB hoÆc B thuéc ®o¹n OA
.Thö l¹i x = 7 th× A(5; 1); B(10; 2) nªn A thuéc ®o¹n OB. VËy Maxkhi x = 7.
0.25
c©uIV
2 ®iÓm
1)
0,75®iÓm
 Ta dÔ dµng chøng minh tø gi¸c MBAN néi tiÕp , MCAP néi tiÕp .
0.25
L¹i cã 
(cïng phô gãc NMP)
 (1)
0.25
Do DE // NP mÆt kh¸c 
 MANP (2)
Tõ (1), (2) c©n t¹i A
 MA lµ trung trùc cña DE
 MD = ME
0.25
2)
1,25®iÓm
 Do DE//NP nªn , mÆt kh¸c tø gi¸c MNAB néi tiÕp nªn:
0.25
Theo gi¶ thiÕt 
Tø gi¸c MDEK néi tiÕp
0.25
Do MA lµ trung trùc cña DE
0.25
 .
0.25
V× DM lµ ph©n gi¸c cña gãc CDK, kÕt hîp víi AM lµ ph©n gi¸c DABM lµ t©m cña ®­êng trßn bµng tiÕp gãc DAK cña tam gi¸c DAK.
0.25
c©u V
1 ®iÓm
Kh«ng mÊt tæng qu¸t gi¶ sö:ABAC. Gäi B’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung 
Trªn tia ®èi cña BC lÊy ®iÓm A’ sao cho BA’ = BA
0.25
Ta cã: (1) ; (2)
 (3);Tõ (1), (2), (3) 
0.25
Hai tam gi¸c A’BB’ vµ ABB’ b»ng nhau 
Ta cã = AB + BC ( B’A + B’C kh«ng ®æi v× B’, A, C cè ®Þnh). DÊu “=” x¶y ra khi B trïng víi B’.
0.25
Hoµn toµn t­¬ng tù nÕu gäi D’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung th× ta còng cã AD’ + CD’ AD + CD. DÊu “=” x¶y ra khi D trïng víi D’.
 Chu vi tø gi¸c ABCD lín nhÊt khi B, D lµ c¸c ®iÓm chÝnh gi÷a c¸c cung cña ®­êng trßn (O)
0.25
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
 H­ng yªn
®Ò chÝnh thøc
kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt chuyªn
N¨m häc 2009 – 2010
M«n thi: To¸n
(Dµnh cho thÝ sinh thi vµo c¸c líp chuyªn To¸n, Tin)
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
Bµi 1: (1,5 ®iÓm)
	Cho 
	H·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn nhËn a - 1 lµ mét nghiÖm.
Bµi 2: (2,5 ®iÓm)
	a) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
	b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 3: (2,0 ®iÓm)
	a) Chøng minh r»ng nÕu sè nguyªn k lín h¬n 1 tho¶ m·n vµ lµ c¸c sè nguyªn tè th× k chia hÕt cho 5.
	b) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c cã p lµ nöa chu vi th× 
Bµi 4: (3,0 ®iÓm)
	Cho ®­êng trßn t©m O vµ d©y AB kh«ng ®i qua O. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB nhá. D lµ mét ®iÓm thay ®æi trªn cung AB lín (D kh¸c A vµ B). DM c¾t AB t¹i C. Chøng minh r»ng:
	a) 
	b) MB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD.
	c) Tæng b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD vµ ACD kh«ng ®æi. 
Bµi 5: (1,0 ®iÓm)
	Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. LÊy E, F thuéc c¹nh AB; G, H thuéc c¹nh BC; I, J thuéc c¹nh CD; K, M thuéc c¹nh DA sao cho h×nh 8 - gi¸c EFGHIJKM cã c¸c gãc b»ng nhau. Chøng minh r»ng nÕu ®é dµi c¸c c¹nh cña h×nh 8 - gi¸c EFGHIJKM lµ c¸c sè h÷u tØ th× EF = IJ. 
------------ HÕt ------------
H­íng dÉn chÊm thi
Bµi 1: (1,5 ®iÓm)
0,5 ®
a = 
0,25 ®
§Æt 
0,5 ®
VËy ph­¬ng tr×nh nhËn lµm nghiÖm
0,25 ®
Bµi 2: (2,5 ®iÓm)
a) §K: 
0,25 ®
Gi¶i (2) 
0,25 ®
* NÕu . 
Thay vµo (1) ta ®­îc 
0,25 ®
 (ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm)
0,25 ®
* NÕu . 
Thay vµo (1) ta ®­îc 
0,25 ®
- Víi (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
- Víi (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
VËy hÖ ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
0,25 ®
b) §Æt (*)
Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: 
 (1)
0,25 ®
Tõ (*) ta thÊy, ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ph©n biÖt th× ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt
0,25 ®
0,25 ®
VËy víi th× ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
0,25 ®
Bµi 3: (2,0 ®iÓm)
a) V× k > 1 suy ra 
- XÐt 
 kh«ng lµ sè nguyªn tè. 
0,25 ®
- XÐt 
 kh«ng lµ sè nguyªn tè. 
0,25 ®
- XÐt 
 kh«ng lµ sè nguyªn tè. 
0,25 ®
- XÐt 
 kh«ng lµ sè nguyªn tè. 
Do vËy 
0,25 ®
b) Ta chøng minh: Víi th× (*)
ThËt vËy 
 (lu«n ®óng)
0,5 ®
¸p dông (*) ta cã:
Suy ra (®pcm)
0,5 ®
Bµi 4: (3,0 ®iÓm)
a) XÐt vµ cã:
0,5 ®
 Do vËy vµ ®ång d¹ng
 Suy ra 
0,5 ®
b) Gäi (J) lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp 
hay 
0,5 ®
Suy ra 
Suy ra MB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (J), suy ra J thuéc NB
0,5 ®
c) KÎ ®­êng kÝnh MN cña (O) Þ NB ^ MB 
Mµ MB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (J), suy ra J thuéc NB
Gäi (I) lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp 
Chøng minh t­¬ng tù I thuéc AN
Ta cã CJ // IN
Chøng minh t­¬ng tù: CI // JN
0,5 ®
Do ®ã tø gi¸c CINJ lµ h×nh b×nh hµnh CI = NJ
Suy ra tæng b¸n kÝnh cña hai ®­êng trßn (I) vµ (J) lµ:
 IC + JB = BN (kh«ng ®æi)
0,5 ®
Bµi 5: (1,0 ®iÓm)
Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h lµ c¸c sè h÷u tØ d­¬ng)
Do c¸c gãc cña h×nh 8 c¹nh b»ng nhau nªn mçi gãc trong cña h×nh 8 c¹nh cã sè ®o lµ: 
0,25 ®
Suy ra mçi gãc ngoµi cña h×nh 8 c¹nh ®ã lµ: 180O - 135O = 45O
Do ®ã c¸c tam gi¸c MAE ; FBG ; CIH ; DKJ lµ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n.
Þ MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 
Ta cã AB = CD nªn: 
Û (e - a) = h + b - f - d
0,5 ®
NÕu e - a ≠ 0 th× (®iÒu nµy v« lý do lµ sè v« tØ)
VËy e - a = 0 Û e = a hay EF = IJ (®pcm).
0,25 ®
SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH 
 KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 
 NĂM HỌC 2009-2010
Đề chính thức Môn thi:Toán (chuyên)
 Ngày thi:19/06/2009
 Thời gian:150 phút
Bài 1(1.5điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
Bài 2(2điểm)
Cho 3 số phân biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3(2điểm)
Với số tự nhiên n,.Đặt 
Chúng minhSn<
Bài 4(3điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D.
a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC
b.Tính độ dài AD theo a,b,c
Bài 5(1.5điểm)
Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên m,n.
**********************************************
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO 10 
TRƯỜNG CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM 2009
Bài 1:
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b
Nên ta có 
Mặt khác 
Vậy ta có 
Tương tự 
Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
Bài 2:
ĐK: PT đã cho (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 0
3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1)
Ta có = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp-3np = m2+n2+p2 –mn-mp-np =[(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0
Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np
Ta có f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) 0
= >m,n,p không phải là nghiệm của pt(1)
Vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài 3 
Do đó 
Bài 3:
Ta có ( Do cung EB = cung EC)
Và ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên 
Ta có 
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CE) nên 
AD(AE-AD) = DB.DC 
Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))
4b)Theo tính chất đường phân giác ta có
vậy 
theo câu a ta có AD2 = AB.AC – DB.DC = 
Bài 5:
Vì 
Ta xet hai trường hợp:
a) 
Từ đó suy ra :
b) 
Từ đó suy ra :
************************************************
Equation Chapter 1 Section 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
(Đề có 01 trang)
Câu 1: (3,0 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
b) Giải và biện luận phương trình: (p là tham số có giá trị thực).
Câu 2: (1,5 điểm)	
 	Cho ba số thực đôi một phân biệt.
Chứng minh 
Câu 3: (1,5 điểm)
 Cho và 
 Tìm tất cả các giá trị nguyên của sao cho là một số nguyên.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh:
 a) KM // AB.
 b) QD = QC.
Câu 5: (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4.
—Hết—
Câu 1 (3,0 điểm). 
a) 1,75 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Điều kiện 
0,25
Hệ đã cho 
0,25
Giải PT(2) ta được: 
0,50
Từ (1)&(3) có:
0,25
Từ (1)&(4) có:
0,25
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: 
0,25
b) 1,25 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Xét 3 trường hợp:
TH1. Nếu thì PT trở thành: (1)
TH2. Nếu thì PT trở thành: (2)
TH3. Nếu thì PT trở thành: (3)
0,25
Nếu thì (1) có nghiệm ; (2) vô nghiệm; (3) có nghiệm x nếu thoả mãn: 
.
0,25
Nếu thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm.
0,25
Nếu thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn ; (1) có nghiệm x=2; (3)VN
0,25
Kết luận:
+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và 
+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 
+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm 
+ Nếu thì phương trình có nghiệm x = 2.
0,25
Câu 2 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
+ Phát hiện và chứng minh
1,0
+ Từ đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng:
0,5
Câu 3 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
Điều kiện xác định: x1 (do x nguyên).
0,25
Dễ thấy , suy ra: 
0,25
Nếu . Khi đó 
Suy ra , hay không thể là số nguyên với . 
0,5
Nếu . Khi đó: (vì x nguyên) và . Vậy là một giá trị cần tìm.
0,25
Nếu . Khi đó (do x nguyên). Ta có:
 và , suy ra hay và .
Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: .
0,25
Câu 4 (3,0 điểm):
A
I
B
K
M
D
E
H
R
C
Q
a) 2,0 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Gọi I là trung điểm AB, . Xét hai tam giác KIB và KED có: 
0,25
KB = KD (K là trung điểm BD)
0,25
0,25
Suy ra .
0,25
Chứng minh tương tự có: 
0,25
Suy ra: MI = MR
0,25
Trong tam giác IER có IK = KE và MI = MR nên KM là đường trung bình KM // CD
0,25
Do CD // AB (gt) do đó KM // AB (đpcm)
0,25
b) 1,0 điểm:
Nội dung trình bày
Điểm
Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD IK//AD hay IE//AD
chứng minh tương tự trong ABC có IM//BC hay IR//BC
0,25
Có: (gt), IE//AD (CM trên) . Tương tự có 
0,25
Từ trên có: IK=KE, là trung trực ứng với cạnh IE của . Tương tự QM là trung trực thứ hai của 
0,25
Hạ suy ra QH là trung trực thứ ba của hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD Q cách đều C và D hay QD=QC (đpcm).
0,25
Câu 5 (1,0 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S). Khi đó .
0.25
Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác (hình vẽ). Khi đó . Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác .
0.25
Giả sử trái lại, có một điểm nằm ngoài tam giác chẳng hạn như trên hình vẽ . Khi đó , suy ra , mâu thuẫn với giả thiết tam giác có diện tích lớn nhất.
0.25
Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác có diện tích không lớn hơn 4.
0.25
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG
NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1 : ( 1 điểm ) 
Cho tính 
Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = 0 ( 1 ) 
và x2 - b2 x + bc = 0 (2 ) 
biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm thoả mãn điều kiện . xác định b và c 
Bài 3 : ( 2 điểm ) 
Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng 
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c . Chứng ming rằng 
Bài 4 : ( 3, 5 điểm ) 
Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC . Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC 
Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp 
Chứng minh Q; E; F thẳng hàng 
Chứng minh 
Bài 5 : ( 2 điểm ) 
Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1 
Cho bảng ô vuông kích thước 2009 . 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi . Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) . Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không 
Lời giải 
Bài 1 : 
vậy P = 1
Bài 2 : vì => 
Theo hệ thức Vi ét ta có 
Từ (1 ) và ( 3 ) => b2 + b - 2 = 0 ó b = 1 ; b = -2 
từ ( 4 ) => => c - b + 1 = bc ( 5 ) 
+) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x2 + +b x + c = 0 trở thành 
X2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu 
+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c = 0 trở thành x2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 
vậy b= 1; c ; 
b = -2 ; c = -1 
Bài 3 : 
1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 
=> 
dấu “=” sảy ra ó a = b = c 
2. ta có 
Áp dụng câu 1 ta có 
=> 
vậy . dấu “=” sảy ra ó a = b = c = 1 
Bài 4 : a) ta có 
=> tứ giác BOPN nội tiếp 
+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp 
+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> 
tứ giác BOPN nội tiếp => 
=> => tứ giác AQPB nội tiếp 
b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA 
=> => QE //BC 
Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC 
Q; E; F thẳng hàng 
c) 
Bài 5 :
1) 3x - y3 = 1 
 => tồn tại m; n sao cho 
+) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0 
+) nếu m > 0 thì 
=> => m = 1 => y = 2 ; x = 2 
vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 ) 
2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua 
Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 . 2009 là một số lẻ 
sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ 
vậy không thể chuyển tất cả viên sỏi trên bẳng ô vuông về cùng một ô sau một số hữu hạn các phép thưc hiện thao tác T 
Së gi¸o dôc-®µo t¹o
Kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT chuyªn
Hµ nam
N¨m häc 2009-2010
M«n thi : to¸n(®Ò chuyªn)
®Ò chÝnh thøc
Thêi gian lµm bµi: 120 phót(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1.(2,5 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 2.(2,0 ®iÓm)
 Cho ph­¬ng tr×nh: 
T×m m ®Ó x = lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x=x1; x=x2 tho¶ m·n:
Bµi 3.(2,0 ®iÓm)
Cho ph­¬ng tr×nh: ( víi m lµ tham sè, x lµ Èn sè). T×m gi¸ trÞ cña m lµ sè nguyªn ®Ó phwowng tr×nh cã nghiÖm lµ sè h÷u tû.
T×m sè tho¶ m·n:.
 Bµi 4.(3,5 ®iÓm)
 Cho ∆ABC nhän cã §­êng trßn t©m I néi tiÕp ABC tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, BC, CA lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm M, N, E; gäi K lµ giao ®iÓm cña BI vµ NE.
Chøng minh:.
Chøng minh 5 ®iÓm A, M, I, K, E cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Gäi T lµ giao ®iÓm cña BI víi AC, chøng minh: KT.BN=KB.ET.
Gäi Bt lµ tia cña ®­êng th¼ng BC vµ chøa ®iÓm C. Khi 2 ®iÓm A, B vµ tia Bt cè ®Þnh; ®iÓm C chuyÓn ®éng trªn tia Bt vµ tho¶ m·n gi¶ thiÕt, chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng NE t­¬ng øng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
----------- HÕt----------
Gîi ý mét sè c©u khã trong ®Ò thi:
Bµi 3:
Ta cã =
§Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tû th× ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng. Gi¶ sö 
= n2( trong ®ã n lµ sè tù nhiªn).
Khi ®ã ta cã 
Do nN nªn 2m-3+n>2m-3-n
Vµ do mZ, nN vµ 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11)
Tõ ®ã xÐt 4 tr­êng hîp ta sÏ t×m ®­îc gi¸ trÞ cña m.
 2)Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta cã:
 Ta cã lµ sè lÎ vµ do nªn 5.
Mµ lµ sè ch½n nªn ph¶i cã tËn cïng lµ 6ph¶i cã tËn cïng lµ 4 hoÆc 9. (*)
MÆt kh¸c vµ 
 lµ sè lÎ<500(**)
KÕt hîp (*) vµ (**) ta cã {4; 9; 49; 64} 
a+b {2; 3; 7; 8}
+ NÕu a+b{2; 7; 8} th× a+b cã d¹ng 3k ± 1(kN) khi ®ã chia hÕt cho 3 mµ (a+b) + 9a= 3k ± 1+9a kh«ng chia hÕt cho 3 kh«ng 3 c N 
 + NÕu a+b =3 ta cã . V× 0<a<4 vµ 1+3a71+3a=7a=2, khi ®ã c=6 vµ b=1.Ta cã sè 216 tho¶ m·n.
KÕt luËn sè 216 lµ sè cÇn t×m.
Bµi 4:
* ý c : Chøng minh KT.BN=KB.ET
C¸ch 1:C/m AKTIET
 C/m AKBINB
 Do IE=IN tõ ®ã ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh
C¸ch 2:
 C/m TKETAI
 C/m BIMBAK
 Theo tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña ABT ta cã 
 Vµ do BM=BN tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i c/m 
*ý d:Chøng minh NE ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh:
Do A, B vµ tia Bt cè ®Þnh nªn ta cã tia Bx cè ®Þnh vµ kh«ng ®æi (tia Bx lµ tia ph©n gi¸c cña )
XÐt ABK vu«ng t¹i K ta cã KB = AB.cos ABI=AB.cos kh«ng ®æi
Nh­ vËy ®iÓm K thuéc tia Bx cè ®Þnh vµ c¸ch gèc B mét kho¶ng kh«ng ®æi do ®ã K cè ®Þnh ®pcm.
GIAÛI ÑEÀ CHUYEÂN TOAÙN THPT HUYØNH MAÃN ÑAÏT – KIEÂN GIANG, NAÊM 2009 – 2010
Ñeà, lôøi giaûi Caùch khaùc, nhaän xeùt
Baøi 1: (1 ñieåm) Cho phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2. Ñaët S2 = x12 + x22 ; S1 = x1.x2 Chöùng minh raèng: a.S2 + b.S1 + 2c = 0
Theo Vi-eùt ta coù: x1+ x2 = ; x1.x2 = 
Baøi 2: (2 ñieåm) 
Cho phöông trình: 2x - 7+ 3m – 4 = 0 (1)
a/ Ñònh m ñeå phöông trình coù moät nghieäm baèng 9 vaø tìm taát caû nghieäm coøn laïi cuûa phöông trình.
b/ Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình (1) coù nghieäm.
a/ Phöông trình coù 1 nghieäm x = 9 thay vaøo pt ta coù:
2.9 - 7 +3m – 4 = 0
 3m = 7
 m = 7/3 
Töø (1) ta coù x theá vaøo (1) ta ñöôïc pt:
Ñaët ta coù pt: 2t2 – 7t + 3 = 0
Giaûi tìm ñöôïc t1 = 3 ; t2 = ½ 
Suy ra x1 = 9 ; x2 = ¼ 
b/ Töø (1) coi phöông trình vôùi aån laø 
Laäp 
Ñeå pt (1) coù nghieäm thì: 
Caùch khaùc:
x1 = 9 
maø 
Caâu b:
Coù theå yeâu caàu tìm soá nguyeân lôùn nhaát cuûa m ñeå phöông trình (1) coù nghieäm.
Chuù yù: neáu thay bôûi ta coù baøi toaùn töông töï.
Baøi 3: (2 ñieåm) Giaûi heä phöông trình: (I)
Nhaân (1) (2) vaø (3) ta coù:
[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36
(x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hoaëc (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6
Vôùi (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 heä (I) laø: 
Vôùi (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 heä (I) laø: 
Vaäy nghieäm cuûa heä laø (0 ; 0 ; 0) vaø (-2 ; -4 ; -6)
Neáu x, y, z ñeàu laø caùc soá döông thì heä chæ coù 1 nghieäm
Baøi 4: (2 ñieåm) Trong maët phaúng toïa ñoä cho parabol (P): , ñieåm I(0 ; 3) vaø ñieåm M(m ; 0)
Vôùi m laø tham soá khaùc 0.
a/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua hai ñieåm M, I
b/ Chöùng minh raèng (d) luoân luoân caét (P) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B vôùi AB > 6
a/ Goïi pt cuûa (d) laø y = ax + b
Khi ñi qua I(0 ; 3) vaø M(m ; 0) ta coù:
b/ Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (P):
Vaäy (d) luoân caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät.
Chöùng minh AB > 6
Vì A, B laø giao ñieåm cuûa (d) vaø (P) neân hoaønh ñoä xA, xB phaûi thoûa maõn pt: mx2 + 9x – 9m = 0
Theo Vi-eùt ta coù: xA+ xB = ; xA. xB = -9 
Do A, B 
Theo coâng thöùc tính khoaûng caùch:
Baøi 5: (3 ñieåm) Cho hai ñöôøng troøn (O ; R) vaø (O’ ; R’) caét nhau taïi A vaø B (R > R’). Tieáp tuyeán taïi B cuûa
(O’ ; R’) caét (O ; R) taïi C vaø tieáp tuyeán taïi B cuûa (O ; R) caét (O’ ; R’) taïi D.
a/ Chöùng minh raèng: AB2 = AC.AD vaø 
b/ Laáy ñieåm E ñoái xöùng cuûa B qua A. Chöùng minh boán ñieåm B, C, E, D thuoäc moät ñöôøng troøn coù taâm laø K. Xaùc ñònh taâm K cuûa ñöôøng troøn. 
a/ Xeùt (O) ta coù (chaén cung AnB)
Xeùt (O’) ta coù (chaén cung AmB)
b/ Töø (1) thay AE = AB ta coù
 (*) maët khaùc: 
Töø (*) vaø (**) suy ra:
Vaäy töù giaùc BCED noäi tieáp ñöôøng troøn taâm K. Vôùi K laø gaio ñieåm 3 ñöôøng tröïc cuûa hoaëc 
Së GD&§T NghÖ An
§Ò thi chÝnh thøc
 K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10
tr­êng thpt chuyªn phan béi ch©u
 n¨m häc 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1: (3.5 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình
Bài 2: (1.0 điểm)
Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên
 .
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
 a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.
 b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
----------------------------------------Hết----------------------------------------
Së GD&§T NghÖ An
§Ò thi chÝnh thøc
 K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 tr­êng thpt chuyªn
phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010
M«n thi: To¸n
H­íng dÉn chÊm thi
B¶n h­íng dÉn chÊm gåm 03 trang
Néi dung ®¸p ¸n
§iÓm
Bµi 1
3,5 ®
a
2,0®
0.50®
0.25®
0.25®
0.25®
0.25®
 ( tháa m·n )
0.50®
b
1,50®
§Æt 
0.25®
 HÖ ®· cho trë thµnh 
0.25®
0,25®
0,25®
 (v× ).
0,25®
Tõ ®ã ta cã ph­¬ng tr×nh: 
VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm: 
0,25®
Bµi 2:
1,0 ®
§iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: (*).
0,25®
Gäi x1, x2 lµ 2 nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh ®· cho ( gi¶ sö x1 ≥ x2).
Theo ®Þnh lý Viet: 
0,25®
 hoÆc (do x1 - 1 ≥ x2 -1)
 hoÆc 
Suy ra a = 6 hoÆc a = -2 (tháa m·n (*) )
0,25®
Thö l¹i ta thÊy a = 6, a = -2 tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n.
0,25®
Bµi 3:
2,0 ®
V× BE lµ ph©n gi¸c gãc nªn 
0,25®
	 (1)
0,50®
	V× M, N thuéc ®­êng trßn ®­êng 	kÝnh AB nªn 
0,25®
	 , kÕt hîp 	víi (1) ta cã tam gi¸c AME ®ång 	d¹ng víi tam gi¸c ANK
0,50®
0,25®
	Þ AN.AE = AM.AK (®pcm)
0,25®
Bµi 4:
1,5 ®
	V× tø gi¸c AMIN néi tiÕp nªn 
	V× tø gi¸c BMNC néi tiÕp nªn 
	.Suy ra tø gi¸c BOIM néi tiÕp
0,25®
	Tõ chøng minh trªn suy ra tam gi¸c AMI 
	®ång d¹ng víi tam gi¸c AOB
	 (1)
0,25®
	Gäi E, F lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng AO
	víi (O) (E n»m gi÷a A, O).
K
	Chøng minh t­¬ng tù (1) ta ®­îc:
	AM.AB = AE.AF 
 = (AO - R)(AO + R) (víi BC = 2R)
	 = AO2 - R2 = 3R2
0,25®
	 Þ AI.AO = 3R2 (2)
0,25®
Tam gi¸c AOB vµ tam gi¸c COK ®ång d¹ng nªn
	OA.OK = OB.OC = R2
	 (3)
0,25®
Tõ (2), (3) suy ra OI = OK
Suy ra O lµ trung ®iÓm IK, mµ O lµ trung ®iÓm cña BC
V× vËy BICK lµ h×nh b×nh hµnh
0,25®
Bµi 5:
2,0 ®
a,
1,0 ®
	Gi¶ sö O n»m ngoµi miÒn tam gi¸c ABC.
	Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö A vµ O
	n»m vÒ 2 phÝa cña ®­êng th¼ng BC 
0,25®
	Suy ra ®o¹n AO c¾t ®­êng th¼ng BC t¹i K.
 KÎ AH vu«ng gãc víi BC t¹i H.
0,25®
	Suy ra AH £ AK < AO <1 suy ra AH < 1	
0,25®
	Suy ra (m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt). Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
0,25®
b,
1,0®
Ta cã: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)
	 = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2	 
0,25®
mµ	a3 + ab2 ³ 2a2b (¸p dông B§T C«si )
	b3 + bc2 ³ 2b2c
	c3 + ca2 ³ 2c2a
Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ³ 3(a2b + b2c + c2a) > 0
0,25®
Suy ra 
0,25®
§Æt t = a2 + b2 + c2, ta chøng minh ®­îc t ³ 3.
Suy ra Þ P ³ 4
DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 4
0,25®
NÕu thÝ sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng cña mçi c©u th× vÉn cho tèi ®a ®iÓm cña c©u ®ã
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC: 2009-2010
Đề chính thức
	 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
	Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm) 
Cho số x () thoả mãn điều kiện : . Tính giá trị các