Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông năm học 2013 –2014 môn thi: toán -Chuyên (thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐĂK LĂK 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN 
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 25/6/2013 
Câu 1: (3,0 điểm) 
1) Giải phương trình:   2 22 3 10 21 25x x x x     
2) Giải hệ phương trình: 
4 410 5
4 410 5
yx
xy

  


   

Câu 2: (4,0 điểm) 
 1) Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 2015 viết được dưới dạng: 
 1 22015 na a a    , với các số 1 2, , , na a a đều là hợp số. 
2) Tìm số dư khi chia 2013 20142012 2015 cho 11 
3) Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn đẳng thức 2ab bc ca   . 
Chứng minh rằng: 1
1 1 1
a b c
b c a
a b c
  
  
Câu 3: (1,5 điểm) 
 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB, M 
là một điểm bất kỳ trên cung AC. Tia phân giác của COM cắt BM tại điểm D. Chứng 
minh rằng khi điểm M di động trên cung AC thì điểm D thuộc một đường tròn cố định. 
Câu 4: (1,5 điểm) 
 Cho tam giác đều ABC. Lấy điểm P tùy ý trong tam giác ABC. Từ điểm P hạ PD, 
PE, PF lần lượt vuông góc tới các cạnh BC, CA, AB. Tính tỉ số BD CE AF
PD PE PF
 
 
www.VNMATH.com
SƠ LƯỢC BÀI GIẢI 
Câu 1: (3,0 điểm) 
1)        2 22 3 10 21 25 1 3 3 7 25x x x x x x x x           
  
   
 
 
2 2
2 2
22
22
2 2
1 2
2 2
3
4 3 4 21 25
4 9 12 4 9 12 25
4 9 144 25
4 9 169
4 9 13 4 22 0 2 26, 2 26
4 9 13 4 4 0 2
x x x x
x x x x
x x
x x
x x x x x x
x x x x x
     
             
    
   
            
    
          
2) ĐK: 
2 2,
5 5
x y  . Đặt 1 1 5 5, 0 , 0
2 2
a b a b
x y
 
      
 
. Hệ trở thành: 
2 2
2 2
4 10 4 5 10 4 5 4
4 10 4 5 10 4 5 4
a b b a
b a a b
        
       
2 2
2 2
10 4 25 16 40 5 50 , 0
4 410 4 25 16 40
b a a
a b
a b b
                 
   
  
2 2 2 2
2 2
4 4 16 16 40 40
3 10 0
3 3 10 0
3 3 10
a b a b a b
a b a b
a b a b
a b
a b
     
    
    

   
+) a b , ta có: 
1
2 2 2
2
3
210 4 25 16 40 4 8 3 0
1
2
a
a a a a a
a
 
         
 

1
3
2
a  (không TMĐK), 2
1
2
a  (TMĐK) 
Với 1 4
2
a b x y     (TMĐK) 
+) 3 3 10a b  (không xảy ra). Vì 5 50 , 0
4 4
a b    15 153 3 2 10
4 2
a b      
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất 
4
4
x
y



Câu 2: (4,0 điểm) 
1) Ta có hợp số nhỏ nhất là 4 mà 2015 4 503 3 503n     
www.VNMATH.com
+) Nếu n = 503 thì 1 2 5032015 a a a     có ít nhất một  1, 2, ,503ia i   là số 
lẻ, giả sử là 1 1 1 2 5039 4 502 9 2017 2015a a a a a           (không thỏa 
mãn) 
+) Nếu n = 502, ta có: 2015 4 500 6 9    . Vậy n = 502 
2) Ta có:    20142013 2014 20132012 2015 2012 1 2013 2 1      
Mà      20132012 1 2012 1 2013 11B B B     
    2014 2014 20142013 2 1 2013 2 1 (11) 2 1B B        
       
2012014 10 2012 1 16 2 1 16 11 1 1 16 11 1 1 11 15 11 4B B B B                    
(Vì  102 1024 11 93 1 11 1B      ). 
Vậy số dư khi chia 2013 20142012 2015 cho 11 là 4 
3) Với a, b, x, y là các số dương ta chứng minh    
22 2
1
a ba b
x y x y

 

      22 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
2 0
2 0
a y b x x y xy a b
a xy a y b x b xy a xy b xy abxy
a y b x abxy
    
       
   
 2 0ay bx   (bất đẳng thức đúng). Dấu “=” xảy ra khi 0 a bay bx
x y
    
Áp dụng (1) ta chứng minh    
22 2 2
2
a b ca b c
x y z x y z
 
  
 
 với a, b, c, x, y, z là các số 
dương. 
Thật vậy    
2 22 2 2 2a b a b ca b c c
x y z x y z x y z
  
    
  
. Dấu “=” xảy ra khi a b c
x y z
  
Áp dụng (2), ta có  
 
22 2 2
2 21 1 1
a b ca b c a b c a b c
b c a a b b c c a a b c
a b c
   
      
      
Lại có      2 2 2 0 2a b b c c a a b c ab bc ca             
Do đó 
2 1
21 1 1
a b c
b c a
a b c
   
  
. Dấu “=” xảy ra khi 
2
3
2
a b c
a b b c c a
a b c a b c
ab bc ca
     

     

  

Câu 3: (1,5 điểm) 
www.VNMATH.com
Ta có   1
2
CBM COM COD  (góc nội tiếp và góc 
ở tâm, OD là phân giác COM ) 
Xét tứ giác BCDO, ta có:  CBD COD (cmt), O và 
B nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ CD  O, B 
cùng thuộc một cung chứa góc dựng trên đoạn 
thẳng OB. Do đó tứ giác BCDO nội tiếp 
Lại có  090BOC  (vì  CA CB OC AB   ) 
Vậy tứ giác BCDO nội tiếp đường tròn đường kính BC, mà BC cố định nên D thuộc 
đường tròn cố định đường kính BC (cung OC hình vẽ) 
Câu 4: (1,5 điểm) 
Đặt AB = BC = CA = a 
Qua P kẻ SL // AB (S  AC, L  BC), IK // BC (I  
AB, K  AC), MN // AC (M  AB, N  BC). Rõ ràng 
các tứ giác ABLS, BCKI, ACNM là các hình thang 
cân và các tam giác PMI, PLN, PKS là các tam giác 
đều có PF, PD, PE lần lượt là các đường cao 
 BL = AS, LD = ND, CK = BI, KE = SE, AM = NC, 
MF = IF 
 BL + LD + CK + KE + AM + MF = AS + ND + BI 
+ SE + NC + IF 
 BD + CE + AF = AE + BF + CD 
Mà (BD + CE + AF) + (AE + BF + CD) = BC + AC + AB = 3a 
3BD+CE+AF= a
2
 (*) 
Lại có  
2
ABC BPC APC APB
a 3 1 a 3S =S +S +S = a(PD+PE+PF) PD+PE+PF= **
4 2 2
  
Từ (*) và (**) có BD+CE+AF 3a a 3= : = 3
PD+PE+PF 2 2
N
M
KI
L
S
F
E
D
A
B C
P
www.VNMATH.com