Kỳ violimpic lớp 7 năm học 2012-2013 Môn: Toán - Lớp 7

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN
KỲ VIOLIMPIC LỚP 7
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 7
Thời gian làm bài: 1 20 phút (Không kể thời gian giao đề)


 
Bài 1: ( 4,0 điểm)
a. Tìm x, y biết: = và x + y = 23 
 b. Tìm x biết: 
 
Bài 2: ( 4,0 điểm)
	a. Cho . Chứng minh: . 
b. Thực hiện tính
 M = 
Bài 3: ( 5,0 điểm )
 a. Chứng tỏ rằng nếu đa thức M(x)= ax3 + bx2 + cx + d có giá trị nguyên với mọi x nguyên thì 6a, 2b, a+b+c, d là các số nguyên.
b.Tìm cặp số nguyên (x;y) thoã mãn: 
Bài 4: ( 7,0 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ d. Kẻ BH và CK cùng vuông góc với đường thẳng d ( H, K thuộc d). Chứng minh:
BH + CK = HK
BH2 + CK2 = AH2 + AK2 = AB2
Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho góc AMC bằng 1350.
Chứng minh: .


 


Họ và tên: .............................................................SBD ......................................

 ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm).
	
PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN
KỲ VIOLIMPIC LỚP 7
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 7
 HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
ý
Nội dung 
Điểm
1


4,0

a
 = suy ra 
Suy ra x = 10; y = 13
1,0

1,0

b









0,5

0,5

0,5

0,5
2


4,0

a
 suy ra = 
 
1,0

1,0



b
M = 
 
 
 


0,5

0,5

0,5

0,5
3


5,0 

a
Ta có: M(0) = d Z (1)
 M(1) = a+b+c+d Z (2)
 M(-1) = -a+b-c+d Z (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 2bZ, 2a+2cZ nên a+b+c Z
M(2) = 8a + 4b+ 2c+d = 6a +4b + 2a + 2c + d Z
Suy ra 6a Z

0,5

0,5
1,0

b
 Có: 
Do x nguyên nên nguyên
 nguyên Mà > 0
Hay là ước tự nhiên của 6
+ = 1 không có giá trị nào của x thoã mãn
+= 2 y = 2013

 x = 2012
+ = 3 
không có giá trị nào của x thoã mãn

+= 6 
không có giá trị nào của x thoã mãn 
Vậy x = 2012, y = 2013 








0,5

0,5



0,5
 
0,5



0,5

 0,5
4


7,0



0,5

a
 Ta có: ( cạnh huyền – góc nhọn)
Vì: ;( cùng phụ với góc BAH)
Nên BH = AK; CK = AH
Suy ra: BH + CK =AK + AH = HK
1,0

1,0
0,5



b
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác ABH vuông tại H có: BH2 + AH2 = AB2
Do AH = CK, BH=AK (Câu a) nên:
BH2 + CK2 = AB2 ; AK2 + AH2 = AB2
0,5

0,5
1,0

c

Vẽ tam giác AME vuông cân tại A( M và E nằm khác phía đối với AC). Ta có: ( cùng phụ với góc MAC)
 nên BM = EC

Áp dụng đ/l Pitago vào tam giác EMC vuông tại M ta có:
ME2+MC2=EC2
Suy ra: 2MA2+MC2=EC2 
suy ra 2MA2 = EC2 – MC2=MB2 – MC2
suy ra .










1,0


0,5



0,5
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.