Luận văn Phép nghịch đảo và ứng dụng giải một số bài toán hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————————
NGUYỄN CHÍ THANH
PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
1Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch
đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
2Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành trong khóa 3 đào tạo Thạc sĩ của trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Văn Minh, Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới
thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học
đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công
sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy
và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Đặc biệt
tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên đã cho chúng tôi được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầy
giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay như GS.TSKH
Nguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khoái, ...
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân đã động viên,
ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học
của mình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
3Mở đầu
Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảng
dạy như phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép
đồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo không được đề cập đến. Hầu như các
bài toán áp dụng phép nghịch đảo là những bài toán hay, bài toán kinh điển,
các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Việc sử dụng phép nghịch
đảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết. Đặc biệt
trong nhiều bài toán, nếu không sử dụng phép nghịch đảo thì việc tìm một lời
giải trở nên rất khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép nghịch
đảo sẽ giúp cho bài giải trở nên xúc tích và đẹp đẽ hơn.
Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện
như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình.
Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải thì phép toán này
là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư
duy. Ngoài ra, phép nghịch đảo còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát
triển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó
khiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình học
của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán. Với
những lý do đó chúng tôi đã chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu.
Bố cục luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức
cơ bản về phép nghịch đảo, những tính chất mà chúng tôi sẽ áp dụng vào
một số bài toán ở chương 2. Tính chất quan trọng và cũng là tính chất đặc
trưng của phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất của các phép biến hình
khác, đó là qua phép nghịch đảo: một đường thẳng không đi qua cực nghịch
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
4đảo biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a),
một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng không
đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo với
tâm đường đường tròn đã cho (tính chất 1.2.7-a), một đường tròn không đi
qua cực nghịch đảo biến thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo
(tính chất 1.2.7-b).
Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận
dụng định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứng
minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng. Qua đó làm nổi bật ưu việt
của phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài toán đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
5Chương 1
Kiến thức cơ bản
1.1. Định nghĩa
Đôi nét về định nghĩa:
Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài toán sau: "Cho đường tròn (O)
và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến AK đến (O) (K ∈ (O)).
Một cát tuyến bất kỳ từ A đến (O) cắt (O) lần lượt tại hai điểm M,N . Khi
đó, ta luôn có AK2 = AM.AN ". Như vậy ta để ý rằng với một điểm M0
bất kỳ nằm trên đường tròn (O) thì luôn tồn tại một điểm N0 khác cũng
nằm trên (O) và nằm trên AM0 sao cho AM0.AN0 = AK
2.
Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho một điểm O cố định và một
số thực k khác không.
Cho tương ứng mỗi điểm M khác O với một điểm M ′ thuộc đường thẳng
OM sao cho OM.OM ′ = k. Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảo
cực O, phương tích k (hay tỉ số k).
Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k được ký hiệu là I(O,k) hay
IkO, ta có I
k
O(M) = M
′ hoặc IkO : M 7→ M ′, hay một số sách đưa ra ký hiệu
f(O, k), trong luận văn này chúng tôi dùng ký hiệu IkO hoặc f(M) = M
′ sẽ
chỉ M ′ là ảnh của M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k.
Ta có
−−→
OM.
−−→
OM ′ = OM.OM ′ vì O,M,M ′ thẳng hàng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
61.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo
Tính chất 1.2.1. Cực nghịch đảo O không có điểm tương ứng qua phép
nghịch đảo.
Vì thế phép nghịch đảo không phải là một phép biến hình của mặt phẳng
Euclide.
Nếu bổ sung vào mặt phẳng Euclide một điểm duy nhất gọi là "điểm vô
tận" và quy ước xem điểm đó là ảnh đồng thời là tạo ảnh của điểm O qua
phép nghịch đảo f(O, k). Mặt phẳng được bổ sung điểm vô tận được gọi là
mặt phẳng mở rộng. Phép nghịch đảo trên mặt phẳng mở rộng là một song
ánh, tức là một phép biến hình. KhiM càng tiến lại gần O là cực nghịch đảo
thì ảnh của f(M) sẽ càng tiến ra xa O, tức là nếu M → O thì f(M)→∞.
Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận là đường thẳng bổ sung và các đường
tròn trong mặt phẳng được gọi là tập hợp các đường tròn nghĩa rộng.
Cho đường thẳng bổ sung d, hai điểm M1,M2 gọi là đối xứng với nhau
qua d nếu chúng là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục d. (Ta quy ước:
điểm vô tận đối xứng với điểm vô tận).
Cho đường tròn (O,R), hai điểm M1,M2 gọi là đối xứng với nhau qua
(O,R) nếu chúng là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực O, phương tích
k = R2.
Qua phép nghịch đảo này điểm O biến thành điểm vô tận và điểm vô tận
biến thành cực O, nên O và điểm vô tận là đối xứng với nhau qua (O,R).
Tính chất 1.2.2. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp:
Qua phép nghịch đảo, nếu điểmM biến thành điểmM ′ thì ngược lại, điểm
M ′ biến thành điểm M (hay nếu IkO(M) = M
′ thì ta cũng có IkO(M
′) = M ,
vì OM.OM ′ = k = OM ′.OM).
Như vậy IkO ◦ IkO(M) = M hay (IkO)2 là một phép đồng nhất.
Tính chất 1.2.3. Đường tròn nghịch đảo:
Xét phép nghịch đảo IkO : M 7→M ′.
Nếu tỷ số k > 0 thì M và M ′ nằm cùng một phía đối với O. Khi đó tập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
7hợp những điểm bất động của phép nghịch đảo là đường tròn tâm O, bán
kính
√
k, đường tròn này được gọi là đường tròn nghịch đảo. Khi đó các điểm
M mà thỏa mãn f(M) = M được gọi là các điểm kép (điểm bất động) của
phép nghịch đảo f(O, k). Nếu điểm M nằm ở bên trong của đường tròn thì
M ′ nằm ở bên ngoài của đường tròn nghịch đảo và ngược lại.
Nếu k < 0 thì hai điểm M và M ′ nằm về hai phía đối với O. Khi đó
không có điểm kép, cũng không có đường tròn nghịch đảo (trong trường hợp
này đường tròn nghịch đảo của f(O, k) sẽ được gọi là đường tròn bán thực,
trong đó tâm của đường tròn là thực và bán kính của đường tròn là ảo).
Tính chất 1.2.4. a) Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0
và M,M ′ là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f(O, k), thì mọi đường tròn
qua hai điểm M,M ′ đều trực giao với (O,
√
k) (hai đường tròn (O), (O′)
được gọi là trực giao với nhau nếu hai tiếp tuyến tại một giao điểm của (O)
và (O′) cùng vuông góc với nhau). Hơn nữa mọi đường tròn (C) qua M,M ′
đều biến thành chính nó qua f(O, k) với k > 0.
b) Nếu (O1) và (O2) lần lượt trực giao với (O,
√
k), k > 0 và (O1), (O2)
lần lượt cắt nhau tại hai điểm thì hai điểm này sẽ là ảnh của nhau qua phép
nghịch đảo f(O, k).
Chứng minh:
a) Gọi (O′) là đường tròn đi qua hai điểm M,M ′ và I = (O) ∩ (O′).
Hình 1.1:
Giả sử OI cắt đường tròn O′ tại điểm thứ hai I ′ khác I , ta có OM.OM ′ =
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
8OI.OI ′.
Mặt khác từ giả thiết: OM.OM ′ = OI.OI ′ = k = OI
2
. Do đó I ≡ I ′,
hay OI là tiếp tuyến của đường tròn (O′)⇔ OI⊥O′I , chứng tỏ đường tròn
(O′) trực giao với đường tròn (O). Vậy ta có với mọi đường tròn đi qua hai
điểm M,M ′ đều trực giao với đường tròn (O,
√
k).
Hơn nữa với mọi đường tròn (C) đi qua hai điểmM,M ′, theo chứng minh
trên ta có (C) trực giao với (O). Từ O ta kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt (C)
tại hai điểm N,N ′, ta có ON.ON ′ = k, suy ra mọi điểm N thuộc đường
tròn (C) qua phép nghịch đảo f(O, k) đều có ảnh là N ′ cũng thuộc đường
tròn (C). Vậy chứng tỏ mọi đường tròn (C) quaM,M ′ đều biến thành chính
nó qua phép nghịch đảo f(O, k).
b) Gọi (O1) ∩ (O2) = {M,M ′}. Giả sử OM ∩ (O2) = M1, ta có
OM.OM1 = k và O,M,M1 thẳng hàng. (1)
Hình 1.2:
Mặt khác giả sử OM ∩ (O1) = M2, ta có OM.OM2 = k và O,M,M2
thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M2 ≡ M1 ≡ M ′, hay chứng tỏ M,M ′ là ảnh của
nhau qua phép nghịch đảo f(O, k).
Tính chất 1.2.5. Phép nghịch đảo f(O, k), k 6= 0. Thì với hai điểm A,B
không thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta luôn có A,B, f(A), f(B) là các điểm
đồng viên (tức là cùng thuộc một đường tròn). Hơn nữa nếu đặt A′ = f(A)
và B′ = f(B) thì A′B′ = |k| . AB
OA.OB
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
9Chứng minh:
Giả sử O,A,B không thẳng hàng và k > 0, khi đó các điểm A′, B′ tương
ứng nằm trên các tia OA,OB và
OA.OA′ = OB.OB′ = k
suy ra
OA′
OB
=
OB′
OA
⇒ ∆OAB v ∆OB′A′ ⇒ A,B,A′, B′ cùng thuộc
một đường tròn,
⇒ A
′B′
AB
=
OA′
OB
=
OA′.OA
OB.OA
=
OA.OA′
OA.OB
=
k
OA.OB
=
|k|
OA.OB
⇔ A′B′ = |k| .AB
OA.OB
(∗)
Hình 1.3:
Biểu thức (∗) đúng với cả O,A,B thẳng hàng và k < 0.
Chú ý: Khẳng định f(O, k) : AB 7→ A′B′ là sai! Tính chất ảnh của một
đường thẳng hay một đường tròn qua một phép nghịch đảo được nhắc đến
ngay sau đây.
Tính chất 1.2.6. Ảnh của một đường thẳng qua phép nghịch đảo:
a) Qua phép nghịch đảo, một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo
biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Từ cực nghịch đảo O ta hạ OA vuông góc với đường thẳng ∆ đã cho. Gọi
B là ảnh của A qua phép nghịch đảo IkO và A là một điểm của ∆ (hình 1.4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
10
tương ứng với k > 0; k < 0).
Muốn cho điểm N của đường thẳng OM là ảnh củaM trong phép nghịch
đảo IkO điểu kiện cần và đủ là:
ON.OM = k = OB.OA
tức là bốn điểm N,M,B,A ở trên cùng một đường tròn, tức là ÔNB =
ÔAM = 90o.
Hình 1.4:
Vậy quỹ tích của N là đường tròn đường kính OB.
b) Qua phép nghịch đảo, một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo biến
thành chính nó.
Chứng minh:
Giả sử d là đường thẳng đi qua cực O của phép nghịch đảo f(O, k). Khi
đó với mọi điểm ∀M ∈ d ta có f(O, k) : M 7→ M ′, theo định nghĩa phép
nghịch đảo suy ra O,M,M ′ thẳng hàng, chứng tỏ f(O, k) : d 7→ d.
Tính chất 1.2.7. Ảnh của một đường tròn qua phép nghịch đảo:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
11
a) Qua phép nghịch đảo, một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành
một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng
nối cực nghịch đảo với tâm đường đường tròn đã cho.
Chứng minh:
Giả sử O là cực nghịch đảo, A là một điểm của đường tròn đã cho đối
xứng với O qua tâm của đường tròn, B là ảnh của A trong phép nghịch đảo
IkO.
Gọi M là một điểm bất kì của đường tròn. Muốn cho điểm N của đường
thẳng OM là ảnh của M trong phép nghịch đảo IkO điều kiện cần và đủ là:
ON.OM = k = OB.OA, tức là bốn điểm N,M,A,B ở trên cùng một
đường tròn, suy ra ÔBN = ÔMA = 90o. Vậy quỹ tích của N là đường
thẳng đi qua B và vuông góc với đường kính OBA.
Hình 1.5:
b) Qua một phép nghịch đảo, một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo
biến thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Giả sử O là tâm nghịch đảo, M là một điểm bất kì của đường tròn (C),
p = OM.ON là phương tích của điểm O đối với đường tròn (C): ảnh của
đường tròn (C) trong phép nghịch đảo IpO chính là đường tròn (C).
NếuM ′ là ảnh củaM trong phép nghịch đảo IkO thì ta có: OM ′.OM = k.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
12
Ta suy ra:
OM ′
ON
=
k
p
tức là M ′ là ảnh của N trong phép vị tự tâm O, tỉ số
k
p
. Đảo lại, nếu M ′
là ảnh của N trong phép vị tự tâm O, tỉ số
k
p
thì ta có:
OM ′
ON
=
k
p
Hình 1.6:
do đó:
OM ′.OM
ON.OM
=
k
p
Vậy
OM ′.OM = k
tức là M ′ là ảnh của M trong phép nghịch đảo IkO. Vậy ảnh (C
′) của đường
tròn (C) trong phép nghịch đảo IkO là ảnh của đường tròn (C) trong phép vị
tự tâm O, tỉ số
k
p
, tức là một đường tròn.
Lưu ý: Chúng tôi xin nhắc qua về kiến thức phép vị tự:
Cho O là một điểm cố định, k là một số không đổi, nếuM,N thẳng hàng
với O và
ON
OM
= k thì N được gọi là điểm ảnh của điểm M trong phép vị
tự tâm O, tỉ số k.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
13
"Qua phép vị tự:
1) Một đường thẳng đi qua tâm biến thành chính nó.
2) Một đường thẳng không đi qua tâm biến thành một đường thẳng song
song với nó.
3) Một đường tròn biến thành một đường tròn."
Tính chất 1.2.8. Tính bảo giác của phép nghịch đảo
Trước hết ta định nghĩa thế nào là góc giữa đường thẳng và đường tròn,
góc giữa đường tròn và đường tròn. Góc giữa đường thẳng d và đường tròn
(C) là góc giữa d và tiếp tuyến tại giao điểm của d với (C). Khi d là tiếp
tuyến của (C) thì góc giữa d và (C) bằng 0. Xét (C1) và (C2) thì góc giữa
(C1), (C2) là góc giữa hai tiếp tuyến tại giao điểm của (C1) và (C2). Nếu
(C1), (C2) tiếp xúc với nhau thì góc giữa (C1) và (C2) bằng 0.
Giả sử d1, d2 là hai tiếp tuyến tương ứng với mỗi đường cong (C1) và (C2)
tại giao điểm A của chúng. Góc định hướng giữa hai đường thẳng d1 và d2
được gọi là góc định hướng giữa hai đường cong (C1) và (C2).
Ký hiệu: ((C1), (C2)) = (d1, d2).
Tính chất: Qua phép nghịch đảo, góc định hướng giữa hai đường cong
tại mỗi giao điểm của chúng không thay đổi về độ lớn nhưng thay đổi về
hướng.
Chứng minh:
Trước tiên, ta xét bổ đề sau:
Bổ đề: Cho f(O, k) biến đường cong (C) thành đường cong (C ′). Nếu
A,A′ là hai điểm tương ứng trên (C), (C ′) và tại đó chúng có các tíếp tuyến
thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực cuả đoạn AA′.
Thật vậy, ta gọi M là một điểm nằm trên (C) và M ′ là ảnh của M qua
f(O, k), suy raM ′ nằm trên (C ′). Ta lại có OM.OM ′ = OA.OA′ = k , suy
ra M,M ′, A′, A nội tiếp. Gọi (C1) là đường tròn đi qua M,M ′, A′, A. Cho
M → A, khi ấy M ′ → A′. Do đó MA,M ′A′ lần lượt biến thành tiếp tuyến
t và t′ tại A,A′ của các đường cong (C), (C ′) tương ứng và (C1) biến thành
đường tròn (C ′1) tiếp xúc với đường cong (C) và (C ′) lần lượt tại A và A′.
Rõ ràng lúc này t và t′ sẽ là tiếp tuyến tại A và A′ của (C ′1) tương ứng. Từ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
14
đó suy ra t và t′ đối xứng nhau qua đường trung trực của AA′.
Chứng minh tính chất: Giả sử qua phép nghịch đảo f , hai đường cong
(C1) và (C2) cắt nhau tại một điểm A biến thành đường cong (C
′
1) và (C
′
2)
cắt nhau tại A′ = f(A). Biến hai tiếp tuyến d1, d2 tại A với (C1) và (C2)
tương ứng thành hai tiếp tuyến d′1, d
′
2 tại A
′. Theo bổ đề các tiếp tuyến d1, d2
của (C1) và (C2) tại A và các tiếp tuyến d
′
1, d
′
2 của (C
′
1) và (C
′
2) tại A
′
tương ứng đối xứng với nhau qua trung trực cuả AA′. Từ đó suy ra:
(d′1, d
′
2) = −(d1, d2) + kpi(k ∈ Z),
((C ′1), (C
′
2)) = −((C1), (C2)) + kpi(k ∈ Z).
Hình 1.7:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
15
Chương 2
Một số bài toán hình học phẳng sử
dụng phép nghịch đảo
Với định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo đã được giới thiệu
ở chương 1. Chương 2 chúng tôi muốn giới thiệu với các bạn ứng dụng của
phép nghịch đảo qua một số bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình trong
hình học phẳng.
2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học
Ta mở đầu bằng một bài toán quen thuộc sau đây. Bài toán này là một
dạng quen thuộc trong nhiều kỳ thi trong nước.
Bài toán 2.1.1. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi B0, C0 lần
lượt là hình chiếu của B,C trên AC,AB. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại
A của đường tròn (O) song song với B0C0, từ đó suy ra AO⊥B0C0.
Lời giải: (Hình 2.1)
Trước tiên ta dễ thấyB,C0, B0, C đồng viên. Do đóAB.AC0 = AC.AB0 =
k. Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích k, ta được IkA : B0 7→ C,C0 7→ B.
Vì vậy IkA : B0C0 7→ (O). Gọi ta là tiếp tuyến tại A của (O) thì ta có
IkA : ta 7→ ta. Mặt khác ta tiếp xúc với (O) do đó ta//B0C0 (phép nghịch đảo
bảo tồn góc). Khi ấy, ta có ngay AO⊥B0C0 (vì ta⊥AO).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
16
Hình 2.1:
Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán thuộc dạng kinh điển và quen
thuộc. Nhiều bạn, thậm chí là các bạn THCS không gặp nhiều khó khăn khi
chứng minh bài toán trên. Bài toán này trên mathlinks đưa ra và có đến
"hàng tá" cách giải. Và một trong các cách chỉ là biến đổi góc thuần nhất.
Riêng ý sau của bài toán trên vẫn có thể chứng minh được mà không cần
dùng đến ý đầu.
Thật vậy, ta đã biết qua phép nghịch đảo cực A, phương tích k, IkA :
B0C0 7→ (O). Do đó O sẽ là ảnh của điểm đối xứng với A qua B0C0. Rõ
ràng ta có ngay AO⊥B0C0.
Phép nghịch đảo đã gánh vác cho ta phần nào khó khăn của các biến đổi
góc cồng kềnh, có khi rất phức tạp. Ta sẽ thấy vẻ đẹp khác của phép nghịch
đảo qua bài toán tiếp theo sau đây.
Bài toán 2.1.2. (Định lý Ptolemy)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp được là
AC.BD = AB.CD +BC.AD.
Lời giải: (Hình 2.2)
Trường hợp 1: Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp, Gọi (C) là đường tròn
ngoại tiếp của nó, ta sẽ chứng minh: AC.BD = AB.CD +BC.AD.
Thật vậy: Ta xét phép nghịch đảo f(A, 1), khi đó vòng tròn (C) biến thành
đường thẳng d, các điểm B,C,D biến thành các điểm B′, C ′, D′ thẳng hàng.
Điểm C ′ nằm giữa B′ và D′ nên ta có: B′C ′ + C ′D′ = B′D′.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
17
Áp dụng tính chất phép nghịch đảo: A′B′ =
|k| .AB
OA.OB
ta có:
BC
AB.AC
+
CD
AC.AD
=
BD
AB.AD
⇒ AC.BD = AB.CD +BC.AD.
Hình 2.2:
Trường hợp 2: Giả sử tứ giác ABCD có: AC.BD = AB.CD+BC.AD,
ta sẽ chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
Thật vậy: Ta xét phép nghịch đảo f(A, 1) và giả sử B′, C ′, D′ là ảnh của
B,C,D qua phép nghịch đảo f(A, 1).
Từ AC.BD = AB.CD + BC.AD ta suy ra
BC
AB.AC
+
CD
AC.AD
=
BD
AB.AD
⇒ AC.BD = AB.CD +BC.AD.
Áp dụng tính chất phép nghịch đảo:A′B′ =
|k| .AB
OA.OB
ta có:B′C ′+C ′D′ =
B′D′ điều đó có nghĩa B′, C ′, D′ nằm trên đường thẳng d, hơn nữa C ′ xen
giữa B′ và D′.
Suy ra B,C,D nằm trên đường tròn qua A hay tứ giác ABCD nội tiếp.
Nhận xét: Ta có thể tham khảo cách chứng minh sau.
Xét tứ giác ABCD và xét phép nghịch đảo cực D, phương tích k bất
kỳ thì IkD : A 7→ A′, B 7→ B′, C 7→ C ′. Như vậy ABCD là tứ giác nội
tiếp khi và chỉ khi A′, B′, C ′ thẳng hàng. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
A′C ′ = A′B′ +B′C ′ hay nói cách khác là
|k| . AC
DA.DC
= |k| . AB
DA.DB
+ |k| . BC
DB.DC
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
18
Nhân cả hai vế của đẳng thức này với
DA.DB.DC
|k| , ta thu được
AC.BD = AD.BC + AB.CD.
Định lý Ptolemy: là một bài toán quen thuộc đối với các em chuyên sâu về
toán ở THCS và cách giải phổ biến của định lý này là cách gọi thêm điểm
D0 thỏa mãn D̂0DC = B̂AC, D̂0CD = B̂CA để tạo cặp tam giác CD0D
và CBA đồng dạng với nhau và một cặp đồng dạng khác, xuất hiện một mâu
thuẫn biến đổi góc. Rõ ràng dưới quan điểm của phép nghịch đảo, định lý
Ptolemy trở nên nhẹ tênh không hề có một chút khó khăn biến đổi hay gọi
thêm yếu tố phụ gì! Lưu ý rằng bằng phương pháp dùng phép nghịch đảo,
tương tự ta chứng minh được định lý mở rộng của định lý Ptolemy:
"Điều kiện cần và đủ để một đa giác lồi trên mặt phẳng A1A2....An, n ≥ 4
nội tiếp được trong một đường tròn là
n−1∑
i=2
AiAi+1(
∏
k 6=1
A1Ak) = A2An.A1A3...A1An−1”.
Tiếp theo là một ứng dụng khác của phép nghịch đảo trong một bài toán
của Nga (Liên Xô trước đây) đề nghị trong kỳ thi IMO 1985.
Bài toán 2.1.3. Cho tam giác ABC. Một đường tròn tâm O đi qua hai điểm
A,C và cắt các đoạn AB, BC theo thứ tự tại hai điểm phân biệt K,N . Giả
sử các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đúng hai
điểm phân biệt B,M . Chứng minh rằng ÔMB = 90o.
Lời giải: (Hình 2.3)
GọiR là bán kính của đường tròn tâmO nói trên. Gọi P = KN∩AC, S =
KC ∩ AN . Theo một kết quả quen thuộc thì B sẽ là đối cực của PS qua
O và ngược lại P sẽ là đối cực của BS qua (O). Do đó S sẽ là đối cực của
BP qua (O). Gọi M ′ = OS ∩ BP , ta có ngay OM ′⊥BP . Mặt khác ta lại
có BS⊥OP (do BS là đường đối cực của P qua (O)), tương tự PS⊥OB.
Ta suy ra được S là trực tâm của ∆BOP . Do đó nếu gọi B′ = BS ∩ OP ,
ta có ngay B′ là ảnh của P qua IR
2
O . Ta lại có I
R
O : A 7→ A,C 7→ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
19
Hình 2.3:
Do vậy AC 7→ (OAC), P ∈ AC, từ đó suy ra B′ 7→ (OAC) và ta thu
được PO.PB′ = PA.PC. Mặt khác, dễ thấy B,M ′, B′, O đồng viên, do đó
PM ′.PB = PO.PB′, dẫn đến PM ′.PB = PA.PC, tức là M ′ ∈ (ABC).
Để ý rằng PA.PC = PK.PN = PM ′.PB, do đó M ′ ∈ (BKN). Hay nói
cách khác M ′ ≡ (BKN) ∩ (ABC) ≡M . Suy ra ÔMB = 90o.
Nhận xét: Bài toán trên cũng là một dạng bài kinh điển. Có tới ít nhất
ba cách chứng minh cho bài toán trên, trong đó có một cách biến đổi góc và
độ dài các cạnh khá cầu kỳ. Có một cách dùng phép vị tự và cách còn lại là
vẽ thêm yếu tố phụ song cũng qua một hay hai bước biến đổi góc. Một lần
nữa, với quan điểm phép nghịch đảo lại cho ta một lời giải đẹp "thuần" tính
lý thuyết, không hề một chút tính toán cho bài toán cũ mà đẹp bên trên.
Cũng xin nói thêm, điểm M trong bài toán có tên là điểm Miquel đối với tứ
giác toàn phần BA,BC, PK, PA.
Ta tiếp tục xem xét một ứng dụng khác của phép nghịch đảo qua bài toán
IMO của Bulgaria năm 1995.
Bài toán 2.1.4. Cho A,B,C,D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đường
thẳng và được sắp theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính AC,BD cắt
nhau tại các điểm X, Y . Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Cho P là một
điểm trên đường thẳng XY khác Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường
kính AC tại C và M , đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại
B và N . Chứng minh rằng AM,DN,XY đồng quy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
20
Lời giải: (Hình 2.4)
Gọi (C1) là đường tròn đường kính AC, (C2) là đường tròn đường kính
BD. P nằm trênXY là trục đẳng phương của (C1) và (C2), do đó P(P/(C1)) =
P(P/(C2)), nói cách khác ta có PC.PM = PB.PC = k.
Hình 2.4:
Xét phép nghịch đảo cực P , phương tích k, ta có IkP : M 7→ C,A 7→ A′,
suy ra AM 7→ (PA′C). Tương tự, ta cũng có được ND 7→ (PBD′), trong đó
D′ là ảnh của D qua phép nghịch đảo (IkP ), ta có (I
k
P ) : XY 7→ XY . Do đó
để chứng minh AM,DN,XY đồng quy, ta sẽ chứng minh XY là trục đẳng
phương của (PA′C) và (PBD′). Thật vậy, ta có P̂ZC = P̂A′C = 90o, suy
ra Z ∈ (PA′C). Tương tự, ta cũng có được Z ∈ (PBD′). Do đó PZ ≡ XY
là trục đẳng phương của (PA′C) và (PBD′). Suy ra (PA′C), (PBD′) và
PZ cùng qua Z hay chứng tỏ AM,XY,ND đồng quy.
Nhận xét: Một lần nữa phép nghịch đảo lại cho ta thấy được sự ưu việt
của nó trong việc chứng minh sự đồng quy. Có thể thấy rằng, phép nghịch
đảo đã làm giảm tối thiểu lượng đường tròn xuất hiện trong bài toán mà thay
vào đó là các đường thẳng, hay các đường tròn "dễ nhìn hơn". Biến cái xa
lại gần, biến cái khó kiểm soát, khó nắm bắt thành cái dễ kiểm soát, dễ nắm
bắt là một trong những đặc tính vô cùng ưu việt của phép biến hình đặc biệt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 
21
này. Bài toán trên có thể giải bằng trục đẳng phương bằng cách gọi Q và Q′
lần lư