Luyện tập vectơ trong không gian

Vộc tơ trong khụng gian
Chuyển cỏch diễn đạt từ ngụn ngữ hỡnh học sang ngụn ngữ vộc tơ
Phõn tớch một vectơ thành tổ hợp vectơ, thường thỡ nờn tiến hành theo cỏch chọn 3 vec tơ khụng đồng phẳng rồi phõn tớch cỏc vộctơ cần sử dụng theo 3 vectơ này
Dạng toỏn 1: Biểu diễn vộctơ
Bài 1: cho hỡnh chúp SABC, đỏy ABC cú trọng tõm G. 
Hóy phõn tớch theo 
Đặt , hóy biểu diễn theo 
Bài 2: Cho tam diện vuụng OABC đỉnh O, OA = OB = OC. Điểm M thỏa món , nửa đường thẳng OM tạo với OC gúc 450 và tạo với hai tia OA, Ob hai gúc nhọn bằng nhau. Phõn tớch theo 
Dạng toỏn 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương phỏp: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta cú thể chứng minh theo hai cỏch
- Chứng minh cựng phương tức là 
- Chọn một điểm O thớch hợp và chứng minh với k + m = 1
Bài 3: Cho hỡnh hộp ABCDA1B1C1D1
CMR: A, C1, và trọng tõm G của DBDA1 thẳng hàng
Tớnh tỉ số GA/GC1
Bài 4: CMR nếu DABC là gúc tam diện vuụng đỉnh D thỡ D, trọng tõm G của DABC và tõm O của mặt cầu ngoại tiếp tam diện thẳng hàng. Tỡm tỉ số GO/GD
Bài 5: Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi P, Q là cỏc điểm xỏc định bởi , M là trung điểm BB’. CMR: P, Q, M thẳng hàng.
Dạng toỏn 3: Chứng minh vuụng gúc, tỡm điều kiện vuụng gúc
Phương phỏp: 
Sử dụng tớnh chất AB ^ CD Û 
Đường thẳng D vuụng gúc với (P) Û ; là vộctơ chỉ phương của D, cũn là cặp vộctơ chỉ phương của (P)
Bài 6: Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’ . Gọi M, N là cỏc điểm thuộc AD, BB’ sao cho AM = BN. I, J là trung điểm AB, C’D’. Chứng minh IJ ^ MN
Bài 7: Cho hỡnh chúp SABC, đỏy ABC cõn đỉnh A, D là trungđiểm BC, vẽ DE ^ AB (E ẻ AB), biết SE ^ (ABC). Gọi M là trung điểm DE. Chứng minh AM ^ (SEC)
Bài 8: Cho hỡnh chúp SABC, SA ^ (ABC), SA = , AC = 2a, AB = a, . M và I là hai điểm sao cho: . Chứng minh: SC ^ (AMI).
Bài 9: Cho hỡnh chúp SABC cú SA = SB = SC, AB = AC. SO ^ (ABC), D là trung điểm AB, E là trọng tõm ACD. Chứng minh CD ^ (SOE).
Dạng toỏn 4: Sự đồng phẳng của ba vộctơ
Đ/n: Ba vộctơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đường thẳng chứa chỳng cựng song song với một mặt phẳng.
O
A
B
C
Nhận xột: 
Dựng , khi đú 3 vộctơ
 đồng phẳng Û O, A, B, C đồng phẳng.
Để chứng minh D // (P) ta cú thể chứng minh 3 vộctơ
 đồng phẳng với ẻ D và ẻ (P)
Định lớ 1: Cho ba vộctơ , trong đú khụng cựng 
phương. Khi đú đồng phẳng Û $ k, m ẻ R sao cho
.
Định lớ 2: Nếu ba vộctơ khụng đồng phẳng, khi đú với vộctơ bất kỡ luụn $ ! cỏc số k, m, n sao cho .
Bài 10: Cho tứ diện OABC. M, N, P thỏa món: 
; ; t ẻ R
Tỡm t để O, M, N, P đồng phẳng
Cho t = 0, hóy biểu diễn theo 
Bài 11: CMR ba vectơ xỏc định bởi đồng phẳng
Bài 12: Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’. Cỏc điểm M, N thuộc AD, BB’ sao cho 
AM = BN. Chứng minh đồng phẳng
Bài 13: Cho hỡnh hộp ABCDA1B1C1D1, cỏc điểm M, N, P lần lượt là trung điểm AD, BB1. C1D1. Chứng minh rằng C1D // (MNP)
Bài 14: Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’. Mp (a) đi qua A và cỏc trọng tõm P, Q của cỏc mặt A’B’C’D’ và BB’C’C chia cạnh B’C’ theo tỉ số là bao nhiờu ?
Dạng toỏn 5: Khoảng cỏch – Gúc
Bài 15: Đỏy của hỡnh chúp S. ABC là D đều ABC cạnh bằng 1, SA ^ (ABC), SA = . Mp (a) song2 với SB, AC. Mp(b) song2 với SC, AB. Tớnh cosin của gúc giữa a và b.
Bài 16: Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’, cạnh đỏy dài a. Cỏc đỉnh M, N của tứ diện đều MNPQ nằm trờn BC1, cỏc đỉnh P, Q nằm trờn A1C. Tỡm
Đường cao của lăng trụ
Khoảng cỏch giữa cỏc trung điểm của MN và PQ.
Bài 17: H.chúp DABC, DACD đều cạnh , DABC vuụng cõn tại C, BD = 3. Tớnh thể tớch
Bài 18: Tứ diện SABC đều cạnh 1, BD là đường cao DABC, DBDE đều nằm trong mp tạo với cạnh AC gúc j, biết S, E nằm về một phớa đối với mp(ABC). Tớnh SE
Bài tập:
1)Tứ diện ABCD . M,N là trung điểm AC ,BD .CMR:
2)Gọi P,Q là trung điểm AC ,BD .CMR :
3)Hỡnh hộp ABCD A’B’C’D’ . K là giao điểm AC’ và (BDA’).CMR:
d)Hỡnh hộp là hỡnh hộp chữ nhật 
4)Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh bỡnh hành .Tỡm O :
5)Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (P),tìm M trên mặt phẳng (P) để:
Nhỏ nhất.
6)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’>Gọi M,N là trung điểm AD và BB’.CMR:
7) không cùng phương có độ dài bằng 1,cmr: có độ dài bằng 1 và đồng phẳng với thì : có độ dài không đổi.(đề 65).
8)Cho:A’,B’,C’ là trung điểm các cạnh BC, CA ,AB cua tam giác ABC .Tính:
 (đề 104)
9)Tứ diện ABCD .Gọi A’,B’,C’,D’ là các điểm chia các đoạn thẳng : AB,BC,CD,DA theo tỉ số k, tức là:
	a)
	b)Tìm k để A’,B’,C’,D’ đồng phẳng. (đề 111)
10)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi P,Q là các điểm xác định bởi:
.
	a)Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB’.
	b)Tính độ dài PQ.(đề 114)
11)Trên các cạnh AB,BC,CD,DA của tứ diện ABCD ,lấy các điểm theo thứ tự:A’,B’,C’,D’
Biết rằng trong không gian tồn tại điểm O: 
 CMR: (đề 115)
12)Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’.Gọi G là trọng tâm tam giác AB’C.
	a). (đề 120)
	b)Gọi P,Q,R là đối xứng của D’ qua A, B’, C. CMR: B là trọng tâm tứ diện PQRD’
13)Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ,gọi P,R là trung điểm AB, A’D’, gọi P’ , Q, Q’, R’ là giao điểm các đường chéo của các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’.
	a)CMR :
	b)CMR 2 tam giác PQR và P’Q’R’ có cùng trọng tâm.(đề 121)
14)Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ . Đặt:.Gọi M là điểm chia đoạn thẳng AC’ theo tỉ số m, N là điểm chia đoạn thẳng CD’ theo tỉ số n, tức là:
	a)Biểu thị các véc tơ và m,n.
	b)Tìm m,n để đ/t MN //B’D.
	c)Tính độ dài MN. (đề 123)
Các bài toán không gian chuyển về véc tơ
1)Chóp SABC đáy ABC vuông tại C , CA=a , CB=b,h=SA(ABC). D là trung điểm AB . Tính góc và khoảng cách của 
AC và SD. ( chọn cơ sở : SA,CA, CB).
2)Chóp ABCD vuông tại B: AB=1 , CD=,BD=BC. M,N là trung điểm BC, CD . Tính góc và khoảng cách AM,BN.
3)Chóp SABCD đáy ABCD là nữa lục giác đều; AB=BC=CD=a..
 a) Xđ MB trên SB để góc AMD vuông.
 b)mf(AMD) cắt hình chóp theo một thiết diện ,tính diện tích thiết diện.
 c) Tính góc (SAD) và (SBC) , (SCD) và (SBC)>
 d) Tính k/c từ A,D đến (SBC). Từ AB đến (SCD).
4)Tứ diện ABCD có góc BAC và góc BDC vuông còn góc ABC và DCB đều bằng 60 độ và AB=DC=a.
 a)Tính độ dài AD theo a khi (ABC)vuông góc (BDC).
 b)Tính AD khi (ABC) tạo với (BDC) góc 60 độ.(cơ sở:AE,BC,DF ; E,F là hình chiếu A,D trên BC).
5)Tam giác ABC cân đỉnh A đường cao AH ,D là hình chiếu của H trên AC,M là trung điểm HD.CMR:AM vuông góc với HD.
 (chọn H(0;0) ,A(0;a) ,B(-b;0),C(b;0), D(x;y) xét tích vô hướng của 2 véc tơ AM và BD )
6)CM đường thẳng ơle:Gọi K,M là hình chiếu của H và O trên BC .
 ( chọn : K(0;0) , B(b;0) , C(c;0) ,A(0;a) , H(0;-bc/a)ta có Véc tơ GH=-2GO).
7) (GTVT-A-2001)Tam giác ABC vuông cân đỉnh A.AB=AC=a, M là trung điểm BC .Trên các nửa dt AA’ và MM’ vuông góc (ABC) về một phía lấy N,I :2MI=AN=a.Gọi H là hình chiếu của A trên NB.CMR: AH vuông góc NI.
 -Chọn cơ sở :AB,AC,AN xét TVH 2 véc tơ AH và NI.
 -Chọn A0;0;0) ,B(a;0;0) C(0;a;0) ,N(0;0;a).
8) (ĐH-CĐ-B-2002)Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
 a)Tính khoảng cách A’B và B’D
 b)Gọi M,N,P là trung điểm BB’, CD , A’D’ . Tính góc và khoảng cách MP vàC’N.
 c)Tính thể tích tứ diện APBD’ với P là trung điểm B’C’.
 d)Tìm điểm E trên BB’ để mf(AEC’) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
 - Chọn cơ sở:gốc A và biểu diển các véc tơ BA’,B’D,IG qua cơ sở.
9)Chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác đều AB=BC=CD=a, cạnh bên SA=a và vuông góc với đáy.Dựng đường vuông góc chung 
Của BD và SC, xác định vị trí chân đường vuông góc trên SC và BD.Tính độ dài đường vuông góc chung.
10)(BCVT-A_1998) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
 a)Tính góc ,khoảng cách AA’ và BD’
 b) CMR BD’ vuông góc mf(DA’C’)
11)(DHVinh-D-2001)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .M,N chuyển động trên 2 đoạn thẳng BD và B’A sao cho BM=B’N=t.
Gọi α và β là các góc tạo bởi MN với BD và B’A.
Tính độ dài MN theo a và t. Tìm t để MN nhỏ nhất.
Khi MN nhỏ nhất tính :.
Trong trường hợp tổng quát :CMR: 
12) Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. AB=a , AD=b , AA’=c.
 a) Tính góc, khoảng cách DA’ và BD’.
 b)Tính góc giữa BD’ và mf(MNP) với M,N,P là trung điểm BB’, CD và D’A’.
13) Hình lập phương ABCD,A’B’C’D’.
 a) G là trọng tâm tam giác A’BD CMR G nằm trên AC’, AG vuông góc mf(A’BD) . Tính AG.
 b)I ,K là trung điểm A’D’ vàBC , mf(P) qua IK cắt AA’ tại E cắt C’D’ tại F , CMR:A’E=D’F và è vuông góc với IK tại trung điểm O của EF.
 c)M , N di động trênAD’ và DB sao cho AM=DN=x.
 + Tìm x để MN ngắn nhất , lớn nhất.
 +CMR : MN song song (A’D’CB)
 + CMR khi MN ngắn nhất thì MN song song A’C.
 +Tìm tập hợp trung điểm của MN.
14) Chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a.E,F là hình chiếu của S trên AB và CD. I là trung điểm AB.Mặt bên (SAB)
Là tam giác đều và vuông góc với đáy.
 a)CMR : (SEF) vuông góc với ( ABCD).
 b)CMR : SI vuông góc với (ABCD) , AD vuông góc với (SAB).
 c)Tính góc của BD và (SAD) , của SD và (SCI)
15) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có a=AA’ vuông góc (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC=2a. AB= 
 a)Tính khoảng cách từ AA’ đến (BCC’B’).
 b)Tính khoảng cách từ A đến (A’BC)
 c)CMR AB vuông góc với (ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’ đến (ABC’)
16) Chóp tứ giác đều S.ABCD các cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ , các cạnh đáy bằng a.
 a) Tính thể tích hình chóp .
 b) Qua A dựng mf(P) vuông góc với SC , tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
17) Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Dựng đường cao SH.
 a)CMR : SA vuông góc BC.
 b)Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp.
 c)Gọi O là trung điểm SH , CMR : OA,OB;OC đôi một vuông góc.
18)Chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D, với AD=DC=a vàAB=2a.Đường cao SA.
 a) Tính số đo góc nhị diện (S;BC;A) và (A,SB,C).
 b) Tính góc của 2 mf(SBC) và (SCD).
19)Chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạng a.SA vuông với đáy .Tính độ dài SA biết nhị diện (B,SC,D) là 1200.
20)Chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a.SA =a vuông góc đáy.
 a)Tính k/c từ A đến (SBC).
 b)Tính k/c từ tâm O đến (SBC).
 c)Tính k/c từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SAC).
21)Hình thoi tâm O cạnh a và AC=a.Từ trung điểm H của AB dựng SH vuông góc đáy và SH=a.
 a)Tính k/c từ O đến (SCD) và từ A đến (SBC)
 b) M ,N là trung điểm CD và SA tính k/c MN và SO; góc MN và (SBD).
22)Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng a .
 a)Tính góc của (ABC’) và(BCA’)
 b)Lấy E,F thuộc BC’ và CA’ sao cho EE//(ABB’A’), tìm GTNN của độ dài EF.
23) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a ,AA’=a ,
 a) Tính k/c AD’ và CB’.
 b)Gọi M chia đoạn AD theo tỉ số AM/MD=3.Tính k/c từ M đến (ACB’)
 c) Tính thể tích AB’D’C.
24) Cho tứ diện ABCD có AD vuông với (ABC), AC=AD=4, AB=3 , BC=5 .Tính k/c từ a đến (BCD).
25) Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SA vuông với đáy .Gọi M, N thuộc BC, DC sao cho BM=a/2; DN=3a/4.
Cmr (SAM) vuông góc (SMN).
26) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M,N là trung điểm BC , DD’. Cmr MN// (A’BD) và tính k/c BD và MN.
27)Tam giác ABC đều cạnh a .Trên các nữa đ/t vuông góc (ABC) về cùng phía tại B và C lấy D và E :.
 a) Tính độ dài AD,AE ,DE.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCE.
 b) M là giao của ED và BC ;cmr AM vuông góc (ACE) và tính góc (ADE) và (ABC).
28)Cho góc tam diện vuông OABC; OA=a; OB= ;OC=c .(a,c>0), gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD
Và M là trung điểm BC , (P) là mf đi qua A,M và cắt (OCD) theo một đ/t vuông góc với AM.
 a)Gọi E là giao của (P) với OC , tính độ dài OE.
 b)Tính tỉ số thể tích của 2 khối đa diện tạo thành khi cắt khối chóp bởi (P).
 c) Tính k/c từ C đến (P).