Luyện thi Đại họ chuyên đề hàm số - Các bài toán về khoảng cách

Luyện thi ủại học năm 2012-2013 chuyờn ủề hàm số 
Diển ủàn toỏn học VMF 
Cỏc bài toỏn về khoảng cỏch 
Vũ Trọng Hải - mt123 
I.Lý thuyết cơ bản cần nhớ 
 * Khoàng cỏch giữa hai ủiểm M(x 1,y 1) và N(x 2,y 2 ) là MN = (x 1-x 2)2 +(y 1-y 2)2 
 * Khoảng cỏch từ một ủiểm ủến một ủường thẳng: 
 Cho ủiểm M(x o,y o) và ủường thẳng Ax+By+C=0(∆). Khi ủú: 
 d(M,∆) = | |Ax o+By o+C
A2
+B2
II. Một số vớ dụ cú giải 
Dạng 1: Cỏc bài toỏn về khoảng cỏch thoả món một ủiều kiện cho trước 
VD1: Cho hàm số y= f(x) = x
3
-3
x+2 (C). Tỡm trờn (C) những ủiểm cỏch ủều 2 trục toạ 
ủộ. 
Giải 
Ta thấy nhửng ủiểm cỏch ủều hai trục toạ ủộ chớnh là tất cả cỏc ủiểm nầm trờn ủường 
thẩng y=± x. 
Vậy cỏc ủiểm phải tỡm chớnh là giao ủiểm của ủường thẳng y=± x và (C). 
Hoành ủộ giao ủiểm chớnh là nghiệm của phương trỡnh: 



x
2
-3
x+2=x 
x
2
-3
x+2=-x
 ⇔ 



x=
-3
2 
2x2
+2x-3=0
 ⇔ 



x=
-3
2 
x=-1± 7
 (thoả ủiều kiện) 
(Với x≠-2) 
Vậy trờn (C) cú 3 ủiểm mà từ ủú khoảng cỏch ủến hai trục bằng nhau là : 
M 1( -32 , 
-3
2 ) ,M
2(-1- 7 ,-1- 7), M 3(-1+ 7,-1+ 7) 
VD2: Cho hàm số (C): y= x
2
+x+2
x-1 . Tỡm tất cả cỏc cặp ủiểm M
1 , M 2 nằm trờn (C) và 
ủối xứng với nhau qua I(0,52). 
Giải 
Gọi (D) là phương trỡnh ủường thẳng ủi qua I(0,52) và cú hệ số gúc k. Khi ủú phương trỡnh 
của (d) là:y=kx+52. 
Phương trỡnh hoành ủộ giao ủiểm của (C) và (D) là: 
x
2
+x+2
x-1 = kx+
5
2. 
 ⇔ 


x≠1 
(k-1)x2
+(32-k)x-
9
2=0
 (I) 
Luyện thi ủại học năm 2012-2013 chuyờn ủề hàm số 
Diển ủàn toỏn học VMF 
ðể (D) cắt (C) tại hai ủiểm M 1 , M 2 ủối xứng với nhau qua I(0,52) thỡ trước hết phương 
trỡnh hai của hệ (I) phải cú hai nghiệm x 1, x 2 sao cho 
S
2 = 
x
1+x
2
2 = 0 ⇔ 
3
2 -k = 0 ⇔ k = 
3
2 
Với k= 32 thỡ phương trỡnh hai của (I) trở thành: x
2
 -9=0 ⇔ x=± 3. 
Vậy M 1(-3,-2) và M 2(3,7) là hai ủiểm phải tỡm. 
 . 
VD3: Cho hàm số: y= x
2
+5x+15
x+3 (C) 
Tỉm M∈(C) ủể khoảng cỏch tử M ủến Ox gấp hai lần khoảng cỏch từ M ủến Oy. 
Giải 
Giả sử M(x,y)∈(C). Khoảng cỏch từ M(x,y) ủến hai trục là: 
- Trục Ox: | |y = x2 +5x+15
x+3 = d
1 
- Trục Oy: | |x = d 2 
Ta cú: d 1=2d 2 ⇔ | |y =2 | |x . Xột hai trường hợp sau: 
 *) 


y=2x 
y=x
2
+5x+15
x+3
 ⇔ 


y=2x 
2x=x
2
+5x+15
x+3
 ⇔ 


y=2x 
x
2
+x-15=0 ⇔ 



x=(-1- 61)2 
x=
-1+ 61
2
 *) 


y=-2x 
y=x
2
+5x+15
x+3
 ⇔ 


y=-2x 
-2x=x
2
+5x+15
x+3
 ⇔ 


y=-2x 
3x2
+11x+15=0 (I) 
Ta thấy phương trỡnh hai của (I) cú ∆<0⇒ (I) vụ nghiệm. 
Vậy cỏc ủiểm M phải tỡm là: M 1( -1- 612 ,-1- 61) và M
2( -1+ 612 ,-1+ 61). 
Dạng 2: Bài toỏn tỉm cực trị của khoảng cỏch 
VD4:Cho hàm số y= x
2
-x+1
x-1 (C) 
Tỉm tất cả cỏc ủiểm trờn ủồ thị sao cho tổng khoảng cỏch từ M ủến hai tiện cận là 
nhỏ nhất. 
Giải 
y= x
2
-x+1
x-1 = x+ 
1
x-1 
Ta cú: lim 
x → 1-
y = -∞ và lim 
x → 1+
y=+∞ ⇒ (C) cú tiệm cận ủứng là x-1=0(∆ 1) 
 lim
x → -∞
 (y-x)=0 và lim 
x → +∞
(y-x)=0 ⇒ (C) cú tiện cận xiờn x-y=0(∆ 2). 
Gọi M(x 0,y 0)∈(C) ⇒ y o=x o + 1
x
o-1
.. 
d 1(M,∆ 1) = | |x 0-1 
Luyện thi ủại học năm 2012-2013 chuyờn ủề hàm số 
Diển ủàn toỏn học VMF 
d 2(M,∆ 2)= | |x
o-y 0
2
 = 






x
o-y o-
1
x
o-1
2
 = 
1
2| |x o-1 
d 1+d 2 = | |x 0-1 + 12| |x o-1 ≥ 2 | |x
0-1 . 1
2| |x o-1 = 
2
4 2
Dấu bằng xảy ra ⇔ | |x 0-1 = 1
2| |x o-1 ⇔ (x
o -1)2 = 12 ⇔ x
o= 1 ± 
4 1
2 . 
Vậy cú hai ủiểm M 1



 1- 
4 1
2 , 1- 
4 8
2 - 8


 và M 2



1+
4 1
2 , 1+
4 8
2 + 8


Làm cho tổng khoảng cỏch của chỳng ủến hai tiệm cận ủạt giỏ trị nhỏ nhất là 2 
4 1
2. 
VD5: Cho (C) y=x-1
x+1. Tỡm M∈(C) sao cho tổng khoảng cỏch từ M tới hai trục toạ ủộ 
Ox,Oy là nhỏ nhất. 
Giải 
Gọi M(x,y)∈(C). ta thấy tổng khoảng cỏch từ M ủến Ox,Oy là: 
 d(M)=| |MH + | |MK = | |x + | |y = | |x + 





x-1
x+1 . 
Ta thấy: khi toạ ủộ của M là M(1,0)∈(C) thỡ d(M)=1. Do ủú giỏ trị nhỏ nhất của d(M) sẽ 
nhỏ hơn hoặc bằng 1. Ta chỡ cần xột bài toỏn với x,y thoả cỏc ủiều kiện sau: 


| |x <1 
| |y <1 ⇔ 


-1<x<1 





x-1
x+1 <1
 ⇔ 0<x<1. 
Khi ủú d(M0 trở thành: d(M)=x + 1-x1+x = x-1 + 
2
x+1 = (x+1) + 
2
x+1 -2 ≥ 2 (x+1)
2
x+1 -2 
 =2 2 -2 
Vậy min d(M)=2( 2-1) xảy ra khi 


0<x<1 
x+1= 2
x+1
 ⇔ x= 2 -1 ⇒ M( 2 -1,1- 2) 
VD6: Tỡm trờn mỗi nhỏnh của ủồ thị (C) y= -x
2
+2x-5
x-1 cỏc ủiểm M
1 , M 2 sao cho 
| |M 1M 2 nhỏ nhất. 
Giải 
y = -x
2
+2x-5
x-1 = -x+1 - 
4
x-1 
Ta cú: lim 
x → 1-
y=-∞ và lim 
x → 1+
y=+∞ ⇒ (C) cú tiệm cận ủứng là x=1. 
Gọi M 1(x 1,y 1) thuộc nhỏnh trỏi của (C) và M 2 (x 2,y 2) thuộc nhỏnh phải của (C). 
Luyện thi ủại học năm 2012-2013 chuyờn ủề hàm số 
Diển ủàn toỏn học VMF 
ðặt 


x
1=1-a 
x
2=1+b 
a,b>0
 ⇒ 


y
1=a+
4
a
y 2=-b-
4
b
 Ta cú: M 1M 22 =(x 1-x 2)2 +(y 1-y 2)2 = (-a-b)2 + (a+b+4a+
4
b)
2
 =(a+b)2
 + (a+b+4(a+b)
ab )
2
 = (a+b)2





1+(1+ 4
ab)
2
 ≥ (2 ab)2
 (2+ 8
ab+
16
a2
b2
) 
 (theo bất ủẳng thức cosi) 
 =4ab(2+ 8
ab+
16
a2
b2
) = 8(ab+ 8
ab+4) ≥ 8(2 ab
8
ab + 4) 
 ⇒ M 1M 22 ≥ 32( 2+1) 
 Dấu bằng xảy ra ⇔ 


a=b>0 
ab= 8
ab
 ⇔ a=b=4 8 ⇔ 


M 1(1-4 8,4 8+24 2) 
M 2(1+4 8,-4 8-24 2)
III.Bài tấp ủề nghị 
Bài 1: Cho (C) y=2x
2
-3x-5
x-1 . Tỡm M∈(C) ủể khoảng cỏch tử M ủến Ox gấp ba lần khoảng 
cỏch từ M ủến Oy. 
Bài 2: Cho (C) y=x
2
+4x+5
x+2 . Tỉn trờn (C) nhửng ủiểm sao cho khoảng cỏch từ ủú ủến 
ủường thẳng 3x+y+6=0 là nhỏ nhất. 
 ðS: A( -52 ,
-5
2 ) , B(
-5
2 ,
-5
2 ) 
Bài 3: Cho hàm số y= (m+1)x+m
x+m
 . Tỡm trờn ủồ thị hàm số ứng với m=1 những ủiểm cú 
tổng khoảng cỏch ủến hai ủường tiệm cận nhỏ nhất. 
Bài 4: Cho y= x
2
-x+1
x-1 . Tỡm trờn mỗi nhỏnh của (C) cỏc ủiểm M
1,M 2 sao cho | |M 1M 2 là 
nhỏ nhất. 
Bài 5: Cho (C a): y= 2x
2
sina-3xcosa+6
x-1 . Tỡm a ủể khoảng cỏch từ O(0,0) ủế tiện cận xiờn 
lớn nhất. 
Bài 6: Cho hàm số: y = x + 1
x+1. Tỡm m ủể ủường thẳng y=m cắt (C) tại hai ủiểm A,B sao 
cho OA⊥OB (với o là gốc toạ ủộ) 
ðS: m= 1± 52 
Bài 7: Cho hàm số: y=f(x)= x
2
+x-5
x-1 (C). 
a. Tỡm trờn hai nhỏnh phõn biệt của (C) hai ủiểm A,B sao cho AB ngắn nhất. 
Luyện thi ủại học năm 2012-2013 chuyờn ủề hàm số 
Diển ủàn toỏn học VMF 
b. Chứng minh tớch của hai khoảng cỏch từ hai ủiểm bất kỡ trờn (C) ủến hai ủường tiện 
cận là một hằng số. 
ðS: a. A



 2- 1
4 2
 , f(2- 1
4 2
)



 , B



 2+ 1
4 2
 , f(2+ 1
4 2
)



 b. d= 1
2
Tài liệu tham khảo 
- Tuyển tập cac chuyờn ủề luyện thi ủại học phần hàm số của Trần Phương. 
- Phương phỏp giải toỏn hàm số của Mai Xuõn Hệ. 
- Một số tài liệu trờn internet.