Luyện thi đại học, cao đẳng môn Toán học - Đề 12

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I.
Cho hàm số
y =
mx + (m + 1)x + 4m + m
x + m
2 2 3
.
1) Với m = - 1:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm, sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số tỷơng ứng có một điểm cực trị thuộc góc phần tỷ (II) và một điểm
cực trị thuộc góc phần tỷ (IV) của mặt phẳng tọa độ.
Câu II. Cho hệ bất phỷơng trình
y x x
y x
− − − ≥
− + + − ≤



2 1 0
2 1 1 0
1) Giải hệ khi y = 2.
2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x ; y) của hệ.
Câu III. Cho phỷơng trình
msinx + (m + 1)cosx =
m
cosx
.
1) Giải phỷơng trình khi m =
1
2
.
2) Tìm m để phỷơng trình có nghiệm.
3) Giả sử m là giá trị làm cho phỷơng trình có nghiệm. Gọi x1, x 2 là hai nghiệm thỏa mãn điều kiện
x1 + x 2 ≠
π
2
+ kπ (k 
 Z) . Hãy tính cos2(x1 + x 2)
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu Iva.
Cho
I = x 1- x dxn
0
1
n∫ (n 
 N).
1) Chứng minh rằng
I =
2n + 2
2n + 5
In +1 n .
2) Chứng minh rằng
I <
1
(n + 1) n + 1
n .
Câu Va.
Cho elip (E)
x
a
+
y
b
= 1.
2
2
2
2
Gọi AA’ là trục lớn của elip, dựng các tiếp tuyến At và A’t’. Một tiếp tuyến qua điểm M thuộc (E) cắt At và A’t’ tại T
và T’.
1) Chứng minh rằng tích AT.A’T’ không phụ thuộc M.
2) Tìm tập hợp giao điểm N của AT’ và A’T khi M chạy trên (E).
Câu IVb.
Cho hình cầu bán kính R. Từ một điểm S bất kì trên mặt cầu, dựng 3 cát tuyến bằng nhau, cắt mặt cầu tại các điểm A,
B, C, và từng đôi một lập với nhau góc .
1) Tính thể tích tứ diện SABC theo R và .
2) Khi  thay đổi, xác định  để thể tích ấy lớn nhất.
Câu Vb.
x, y, z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng x + xy + y + x + xz + z2 2 2 2  y + yz + z2 2 .