Luyện thi đại học, cao đẳng môn Toán học - Đề 17

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
________________________________________________________________________________
C©u I.
Cho hµm sè
y = (x + a)
3
+ (x + b)
3
1) Kh¶o s¸t sûå biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ûáng víi a = 1, b = 2 - x3.
2) Trong trûúâng hîp tæng qu¸t, c¸c sè a, b ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó hµm sè cã cûåc ®¹i vµ cûåc tiÓu?
3) Chûáng minh r»ng víi mäi a, b, phû¬ng tr×nh
(x + a)
3
+ (x + b)
3
- x
3
= 0
kh«ng thÓ cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
C©u II.
Cho phûúng tr×nh lûúång gi¸c
cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0.
1) Gi¶i phûúng tr×nh víi m =
3
2
.
2) T×m m ®Ó phû¬ng tr×nh cã nghiÖm x víi x 
 (
π π
2
;
3
2
).
C©u III.
T×m a ®Ó bÊt phû¬ng tr×nh sau ® îc nghiÖm ®óng víi mäi x :
a a a
x x. ( ).4 1 2 12+ − + −+  0.
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
________________________________________________________________________________
C©u IV.
ABC lµ mét tam gi¸c tïy ý. VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c Êy, ngûúâi ta dûång c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, BCE, CAF. Chûáng
minh r»ng c¸c t©m c¸c ®ûúng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ®Òu nãi trªn, lµ c¸c ®Ønh cña mét tam gi¸c ®Òu.
C©u Va. Cho elip (E) cã phû¬ng tr×nh
x
9
+
y
4
2 2
= 1.
Xem c¸c ®iÓm A(-3, 0), M(-3, a), B(3, 0), N(3, b), trong ®ã a, b lµ hai sè thay ®æi.
1) X¸c ®Þnh c¸c täa ®é cña giao ®iÓm I cña c¸c ®ûúâng th¼ng AN vµ BM.
2) Chûáng tá r»ng ®Ó ®ûúâng th¼ng MN tiÕp xóc víi elip (E), ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn ab = 4.
3) Víi a, b thay ®æi nhûng sao cho MN lu«n tiÕp xóc víi (E), h·y t×m tËp hîp ®iÓm I.
C©u Vb.
Trong kh«ng gian cho hai ®iÓm A, B cè ®Þnh ; gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Ta gäi (D) lµ mét ®ûêng th¼ng bÊt k×,
c¸ch ®Òu A vµ B, tøc lµ kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (D) b»ng kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn (D).
1) Chûáng tá r»ng h×nh chiÕu vu«ng gãc M cña I lªn (D) n»m trªn mÆt ph¼ng trung trûåc (P) cña ®o¹n AB.
2) O lµ mét ®iÓm cè ®Þnh kh«ng thuéc (P) vµ còng kh«ng thuéc ®ûêng th¼ng AB. Chûáng minh r»ng nÕu ®ûêng th¼ng
(D) ®i qua O, th× giao ®iÓm cña (D) víi (P) n»m trªn mét ®ûêng trßn cè ®Þnh. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh ®ûêng trßn
®ã, biÕt OI = d, vµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (P) lµ OH = h.
3) TÝnh thÓ tÝch tûá diÖn OHMI theo d, h vµ x = OM. T×m x ®Ó thÓ tÝch ®ã lín nhÊt.