Luyện thi đại học, cao đẳng môn Toán học - Đề 38

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I. Cho hàm số
y =
ax + b
x - 1
.
1) Tìm a, b để đồ thị hàm số cắt trục tung tại A(0, -1) và tiếp tuyến với đồ thị tại A có hệ số góc bằng -3. Khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số ứng với a, b vừa tìm đỷợc.
2) Xét đỷờng thẳng (D) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm B(-2, 2). Với giá trị nào của m thì (D) cắt đồ thị của hàm
số ở phần 1) tại hai điểm M
1
, M
2
? Khi đó hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn M1M2.
3) Các đỷờng thẳng đi qua M1 và M2, song song với các trục tọa độ, cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật. Tính các
cạnh của hình chữ nhật đó theo m. Với giá trị nào của m hình chữ nhật đó trở thành hình vuông ?
Câu II.
1) Tính tổng
S = x3 + y33 + z3
theo a, b, c, biết rằng
x + y + z = a
x 2 + y 2 + z 2 = b 2
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
c
.
2) Xác định theo m số nghiệm của phỷơng trình
x + 4x + m + x + 4x + m = 64 4
4
.
Câu III. a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
pa 2 + qb 2 > pqc 2 (1)
với mọi p, q thỏa mãn điều kiện p + q = 1.

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu IVa.
Cho I
n
=
0
4
π
∫ tgnx dx (n 
 N).
1) Chứng minh rằng
I
n
 I
n+1 .
2) Tìm một hệ thức liên hệ I
n
và I
n+2 .
Câu Va.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn xOy, cho đ ờng thẳng (D) có ph ỷơng trình
x cos + y sin + 2cos + 1 = 0.
1) Chứng minh rằng khi  thay đổi, đỷờng thẳng (D) luôn tiếp xúc với một đỷờng tròn cố định.
2) Cho điểm I(-2 ; 1). Dựng IH vuông góc với (D) (I 
 (D)), và kéo dài IH một đoạn HN = 2IH. Tính tọa độ của N theo .
Câu IVb.
Cho tứ diện ABCD với AB  CD, và đỷờng thẳng IJ, với I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD, là đỷờng
vuông góc chung của AB và CD.
1) Chứng minh
AC = AD = BC = BD.
2) Một mặt phẳng đi qua IJ cắt AC, BD theo thứ tự tại M và N. Chứng minh : MN  IJ và MN bị IJ chia thành hai
phần bằng nhau.
3) O là một điểm thuộc đoạn IJ. Chứng minh O cách đều 2 mặt phẳng (ABC), (ABD), O cách đều 2 mặt phẳng (ACD),
(BCD).
4) Biết AB = 2a, CD = 2b, IJ = k. Xác định vị trí của O trên IJ để O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện. Trong trỷỳõng hợp
đó, hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp.