Luyện thi đại học - Cực trị hàm bậc ba – Phần 1

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 
I. BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Tóm tắt lí thuyết cơ bản : 
Xét hàm số bậc ba 3 3 23 3′= + + + ⇒ = + +y ax bx cx d y ax bx c 

 Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có 3 0
3
′ ′= + ⇒ = ⇔ = −
cy bx c y x
b
Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị. 

 Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆ 
+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có 
nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0. 
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt. 
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0. 
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị. 
Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số ( )3 21 2 3= + + + − +y x m x mx m tùy theo giá trị của tham số m. 
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số ( )3 21 ( 1) 2 1 3 2
3
= − + + − + + −y m x m x mx m tùy theo giá trị của tham 
số m. 
II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP 
Phương pháp chung : 
 + Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu. 
 + Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu. 
 + Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm. 
Dạng 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước. 
 Phương pháp 1: (Sử dụng y’’) 
+ Hàm số đạt cực đại tại 
( )
( )
0
0
0
0
0
′ =
= ⇔ 
′′ <
y x
x x
y x
+ Hàm số đạt cực tiểu tại 
( )
( )
0
0
0
0
0
′ =
= ⇔ 
′′ >
y x
x x
y x
Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại ( )( )
0
0
0
0
0
′ =
= ⇔ 
′′ ≠
y x
x x
y x
 Phương pháp 2: (Sử dụng điều kiện cần và đủ) 
Tài liệu bài giảng: 
02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 
+ Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ( )0 0 0 .′= ⇔ = →x x y x m 
+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay 
cực tiểu tại điểm x0 hay không. 
Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2( 2) ( 1) 3= + − + + + −y x m x m x m 
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1 
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. 
Dạng 2. Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. 

 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2− =x x k 

 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2+ =ax bx c 

 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 
1 2
1 2
1 2
α
β
γ
< <
< <
< <
x x
x x
x x
Ví dụ 4: Cho hàm số 3 23( 1) 9= − + + −y x m x x m 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2 2.− ≤x x 
Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 22 9 12 1= + + +y x mx m x 
Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 sao cho 21 2.=x x 
Ví dụ 6: Cho hàm số 3 21 1( 1) 3( 2)
3 3
= − − + − +y x m x m x 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 22 1.+ =x x 
Đ/s : 4 34
4
− ±
=m 
Ví dụ 7: Cho hàm số 3 2( 2) ( 1) 2
3
= + − + − +
my x m x m x 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2 1.< <x x 
Đ/s : 5 4 .
4 3
< <m 
Ví dụ 8: Cho hàm số 3 21 3 4
3
= − − +y x mx mx 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9 2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m m
m x mx m
Đ/s : m = –4. 
Ví dụ 9: Cho hàm số 3 2 21 1 ( 3)
3 2
= − + −y x mx m x 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 dương sao cho 2 21 2
5
.
2
+ =x x 
Đ/s : 14 .
2
<m