Luyện thi đại học môn Toán - Mở đầu về số phức – Phần 2

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC 
5.1 Phép cộng, trừ hai số phức 
♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i 
Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i 
♦ Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i 

Chú ý: 
Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất như phép cộng hai số thực là tính giao hoán, kết hợp. 
♦ Tính chất kết hợp : ( ) ( )' " ' " ' "z z z z z z z,z ,z+ + = + + ∀ ∈
 
♦ Tính chất giao hoán : ' ' 'z z z z z,z+ = + ∀ ∈
 
♦ Cộng với 0 : z 0 0 z z z+ = + = ∀ ∈
 
♦ Với mỗi số phức z a bi (a,b )= + ∈ , nếu kí hiệu số phức a bi− − là –z thì ta có 
z ( z) ( z) z 0+ − = − + = 
Số –z được gọi là số đối của số phức z 
Ví dụ. Thực hiện phép cộng, trừ các số phức sau 
1. z = 2+ 3i ; z’ = 5 – 2i 
2. z = –5 + 2i ; z’ = 3i 
3. z = 2 – 3i ; z’ = 2 – i 
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng công thức ' ' 'z z (a a ) (b b )i+ = + + + ; ' ' 'z z (a a ) (b b )i− = − + − , ta có 
1. 'z z (2 5) (3 2)i 7 i+ = + + − = + ; 'z z (2 5) (3 2)i 3 5i− = − + + = − + 
2. 'z z 5 (3 2)i 5 5i+ = − + + = − + ; 'z z 5 (2 3)i 5 i− = − + − = − − 
3. 'z z (2 2) (3 1)i 4 4i+ = + − + = − ; 'z z (2 2) ( 3 1)i 2i− = − + − + = − 
5.2 Phép nhân hai số phức 
♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i 
Khi đó số phức w = z.z’ được tính bằng công thức : w = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i 

 Nhận xét : 
Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b )∈ , ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi 
0z = 0 với mọi số phức z 

 Chú ý: Phép nhân các số phức có đầy đủ tính chất như phép nhân các số thực 
♦ Tính chất giao hoán : ' ' 'z.z z .z, z, z= ∀ ∈
 
♦ Tính chất kết hợp : ' " ' " ' "(zz )z z(z z ), z, z , z= ∀ ∈
 
♦ Nhân với 1 : 1.z z.1 z, z= = ∀ ∈
 
♦ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng 
( )' " ' " ' "z z z zz zz , z, z , z+ = + ∀ ∈
 
Ví dụ. Phân tích ra thừa số số phức các biểu thức sau 
1. a2 + 1 2. 2a2 + 3 
3. 4a2 + 9b2 4. 3a2 + 5b2 
Hướng dẫn giải: 
Sử dụng i2 = –1 ta được 
1. 2 2 2a 1 a i (a i)(a i)+ = − = − + 
2. 2 2 2 2 24a 9b 4a 9b i (2a 3bi)(2a 3bi)+ = − = − + 
3. ( ) ( )2 2 22a 3 2a 3i a 2 3i a 2 3i+ = − = − + 
4. ( )( )2 2 2 2 23a 5b 3a 5b i 3a 5bi 3a 5bi+ = − = + − 
Tài liệu bài giảng: 
01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
5.3 Phép chia cho số phức khác 0 
♦ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1 2
1
z z
z
−
= 
♦ Thương 
'z
z
 của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là 
'
' 1z z z
z
−
= 
Vậy
( )( )
( )
' '
' '
2 2 2
a bi a b iz z z
z a bz
− +
= =
+
với z 0≠ 

 Nhận xét : 
• Với z ≠ 0, ta có 1 11 1.z z
z
− −
= = 
• Thương 
'
z
z
 là số phức w sao cho zw = z’. Có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép 
nhân 
• Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số. 
Ví dụ. Thực hiện phép chia các số phức sau 
1. ( )( )
1
z
1 i 4 3i
=
+ −
 2. 5 6iz
4 3i
− +
=
+
3. 7 2iz
8 6i
 
−
=  
− 
 4. 3 4iz
4 i
−
=
−
Hướng dẫn giải: 
1. ( )( ) 2 2
1 1 7 7 7 1
1 4 3 7 (7 )(7 ) 7 50 50
i i
z i
i i i i i i
− −
= = = = = −
+ − + + − −
2. 2 2
5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 39 2 39
4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25
i i i i
z i
i i i
− + − + − − + −
= = = = +
+ + − +
3. Tính 2 2
7 2 (7 2 )(8 6 ) 68 26 17 13
8 6 (8 6 )(8 6 ) 8 6 25 50
i i i i
z i
i i i
− − + +
′ = = = = +
− − + +
Vậy 7 2 17 13 17 13
8 6 25 50 25 50
i
z z i i
i
 
−
′= = = + = − 
− 

 Nhận xét : 
Ta cũng có thể giải câu này theo cách khác như sau (sử dụng tính chất của số phức): 
2 2
7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13
8 6 8 6 8 6 25 508 6
i i i i i
z i
i ii
 
− − + + −
= = = = = − 
− + +− 
4. 2
3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 16 13
4 (4 )(4 ) 4 1 17 17
i i i i
z i
i i i
− − + −
= = = = −
− − + +
6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC 
♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau của số phức được xếp vào 1 nhóm: 
Tính chất 1: Số phức z là số thực z z⇔ = 
Chứng minh: 
 Ta có : z z x yi x yi y 0 z x= ⇔ + = − ⇔ = ⇒ = . Vậy z là số thực. 
Tính chất 2: Số phức z là số ảo z z⇔ = − 
Chứng minh: 
Ta có : x yi 0z z x yi x z yi= − ⇔ + = − + ⇔ = ⇒ = . Vậy z là số ảo. 
Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp z và module là |z|. Khi đó: 2zz z= 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Chứng minh: ( )
2 2 2 2 2
2
22 2 2 2 2
( )( )zz x yi x yi x y i x y
zz z
z x y x y
 = + − = − = +

→ =
= + = +

♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm liên hợp: 
Tính chất 4: 1 2 1 2z z z z+ = + 
Chứng minh: 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
z z x x y y i x x y y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y i
 + = + + + = + − +
→ + = +
+ = − + − = + − +
Tính chất 5: 1 2 1 2z z z .z= 
Chứng minh: 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
. ( )( ) ( ) ( )
z z x y i x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y x y x y i
 = + + = − + + = − − +
→ =
= − − = − − +
Tính chất 6: 1 1
2 2
z z
z z
 
= 
 
Chứng minh: 
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
( ) ( )
( )( )
( )( )
z x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i
z x y i x y x y x y z
zz x y i x y i x y i x x y y x y x y i
x y i x y i x y i x y x yz
     + + − − + −
 = = = +     
+ + + +     
→
− − + + −
= = = +
− − + + +
1
2 2
z
z
 
= 
 

 Nhận xét : 
Ngoài cách chứng minh cổ điển trên thì ta có thể sử dụng ngay một “thành quả” đã chứng minh được là tính chất số 5. 
Thật vậy, đặt 1 1 2
2
.
z
z z z z
z
= ⇒ = 
Theo tính chất 5 ta có: 11 2 2
2
. .
z
z z z z z z
z
= = ⇒ = , hay 1 1
2 2
z z
z z
 
= 
 
. 
♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm module: 
Tính chất 7: 1 2 1 2z z z z= 
Chứng minh: 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (1)
z z x y i x y i x x y y x y x y i
z z x x y y x y x y x x x y x y y y
= + + = − + +
⇒ = − + + = + + +
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2. ( ) ( ) ( ) ( ) , (2)z z x y x y x x x y x y y y= + + = + + + 
Từ (1) và (2) ta có (đpcm) 
Tính chất 8: 11
2 2
zz
z z
= 
Chứng minh: 
( )
( )( )
( )
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2
1 1 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1
22 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2 2
( )( ) ( ) ( )
( )( )
(1)
z x y i x y i x y i x x y y x y x y i
z x y i x y i x y i x y
x y x yz x x y y x y x y x y
z x y x yx y x y
+ + − + + −
= = =
+ + − +
  + + + − +
 ⇒ = + = =   + ++  + 

 Nhận xét : 
Tương tự như nhận xét đã nêu ở tính chất 6, ta đặt 1 1 2
2
.
z
z z z z
z
= ⇒ = 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Theo tính chất 7 ta có: 11 2 2
2
. .
z
z z z z z z
z
= = ⇒ = , hay 11
2 2
zz
z z
= . 
Tính chất 9: 1 2 1 2z z z z+ ≤ + 
Chứng minh: 
( )
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
2
1 2 2 1
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
z z z z x x y y x y x y
x x y y x x x y x y x y
x x y y x x x y x y y y
x y x y
+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + + +
⇔ + + + ≤ + + + + + +
⇔ + ≤ + + +
⇔ − ≥
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau : 
1. 7 2
8 6
i
z
i
 
−
=  
− 
 2. (1 )(3 2 )z i i= + − 3. (2 3 ) (1 )z i i= + + − 
4. 1
1
i
z
i
+
=
−
 5. (5 )(2 3 )z i i= + − 
Hướng dẫn giải: 
1. 2 2
7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13
8 6 8 6 8 6 25 508 6
i i i i i
z i
i ii
 
− − + + −
= = = = = − 
− + +− 
2. 2 2 2 2(1 )(3 2 ) 1 3 2 1 1 . 3 2 26z i i i i= + − = + − = + + = 
3. (2 3 ) (1 ) 2 3 1 2 3 1 3 2z i i i i i i i= + + − = + + − = − + + = − 
4. 
11 1 1 1
1 1 1 1
ii
z
i i
++ +
= = = =
− − +
3. (5 )(2 3 ) 5 .2 3 (5 )(2 3 ) 13 13z i i i i i i i= + − = + − = − + = + 
Ví dụ 2. Tính module của các số phức sau 
1. z(1 2i) 1 3i+ = − + 2. z 3 2i
1 3i
= +
− +
3. ( )z 1 2i 5 6i
2 3i
− + = −
+
 4. 2 i 1 3iz
1 i 2 i
+ − +
=
− +
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng các lớp tính chất liên quan đến module ta có: 
1. 10z(1 2i) 1 3i z(1 2i) 1 3i z . 1 2i 10 z 2
5
+ = − + ⇒ + = − + ⇔ + = ⇒ = = 
2. 
zz z3 2i 3 2i 13 z 13. 10 130
1 3i 1 3i 1 3i
= + ⇒ = + ⇔ = ⇒ = =
− + − + − +
3. ( ) zz z z1 2i 5 6i 6 4i 6 4i 52 2 13 z 26
2 3i 2 3i 2 3i 2 3i
− + = − ⇔ = − ⇒ = − ⇔ = = ⇒ =
+ + + +
4. 
1 3i2 i 1 3i 2 i 1 3i 2 i 5 10 2 5
z z . z . z z
1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 2 i 52 5
− ++ − + + − + +
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
− + − + − +
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau : 
1. z (2 5i)(3 i)= − + 2. ( )1 i z 3 2i 4z+ + = − 
3. 1z (3i 4)(2 i)= + − 4. 
3i 7
z
10 i
−
=
+
5. z(2 3i) 4 5i+ = + 6. (1 2i)z ( 1 3i)(2 i)+ = − + + 
7. ( ) ( )1 3i z 4 3i 7 5i− + + = − 8. 3 7i 5 8iz
2 3i 2 3i
+ −
= +
+ −
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
9. z (1 2i)(2 4i)= + − 10. 3 4iz
2 i
−
=
−
11. 7 iz
2 i
+
=
−
 12. z (2 i)( 3 2i)(5 4i)= − − + − 
13. 5 5i 20z
3 4i 4 3i
+
= +
− +
 14. (3 2i)(4 3i)z 5 4i
1 2i
− +
= + −
−
15. ( ) ( )
2 3i
z
4 i 2 2i
+
=
+ −
Bài 2. Tìm số phức z biết 
a) 
3( 2 )
1 2
i
z
i
−
=
+
 b) . 3( ) 1 4z z z z i+ − = − c) 1 1 2z i− = − 
Bài 3. Tính mô-đun của số phức z biết 
a) 2
1 (2 3 ) 2i i z i
z z
− −
= + − 
b) Cho số phức 
3
3
1 2
1 2 (1 )4 3 (1 ) ; .
1
i i
z i i z
i
+ − −
= − + − =
+
 Tính mô-đun của số phức 1 2.z z z= 
c) Cho số phức ( )
3
1 3
.
1
i
z
i
−
=
−
 Tín mô-đun của số phức .z iz+ 
Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức 2012 2012( 1 3 ) (1 3 )z i i= − + + + 
Bài 5: Cho số phức 2013 20121 .z i i+ = + Tìm 'z biết 'z z iz= + 
Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau: 
a) 2 2z z= b) 22 1 0z z− + = 
c) 2 0z z+ = d) 
2( )
1
z i i
z
+
=
+
e) ( ) 4 6
1 2 2
z z i z z i
i i
+ −
− = +
+ −
 f) ( )(1 ) ( )(2 3 ) 4z z i z z i i+ + + − + = − 
g) 2 2 0z z+ = h) 2 0z i z+ = i) 2 1 0iz z+ + = 
Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau: 
a) 
2
2 8zz z
z
−
+ = b) 3 1z i i z− = − và 9z
z
− là số thuần ảo. 
c) 2 1( 1)(1 )
1
z
z z i
i
−
= + + +
−
 d) 1 3z z− = + và 2 2 2z z+ = 
e) 
2
2 2
z
z iz
 =

+ =
 f) 2 2 0z zz+ − = 
g) 4 (1 3 ) 25 21z i z i+ + = + h) 2 352 4 5
8
z z z+ − = 
i) 4 22 ( 5)z z z= − j) 
3 3 10
2 3 109
z z
z i
 + + − =

+ =
Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 )i z− là số thực và 2 5 1z i− + = .