Luyện thi vào 10 và thi chuyên - Phương trình và hệ phương trình

IV . Phương trình 
IV.1- Phương trình bậc nhất một ẩn – Giải và biện luận:
1. Kiến thức cơ bản 
- Phương trình bậc nhất 1 ẩn có dạng: ax + b = 0 (a0) với a, b là 2 số đã cho.
- Giải và biện luận phương trình bậc nhất 1 ẩn:
Xét phương trình ax + b = 0	 ax = - b
+ Nếu a = 0; b = 0 -> Phương trình có vô số nghiệm
+ Nếu a = 0; b 0 -> Phương trình vô nghiệm
+ Nếu a 0, Phương trình có 1 nghiệm là x = 
2. Bài tập ví dụ
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số 
 m2 (x – 1) = x – 2m + 1 	(1)
Giải: Phương trình (1) m2x – m2 = x – 2m + 1
 m2x – x = m2 – 2m + 1
 (m – 1) (m + 1) x = (m – 1)2
- Nếu m 1 thì phương trình có nghiệm là x = 
- Nếu m = 1 thì phương trình là 0x = 0 => Phương trình có vô số nghiệm
- Nếu m = -1 thì phương trình là 0x = 4 => Phương trình vô nghiệm
IV.2 Phương trình bậc hai – Hệ thức Viét áp dụng cho phương trình bậc hai
1. Phương trình bậc hai một ẩn: 
- Là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0, (a0). Trong đó x là ẩn; a, b, c ẻ R
- Cách giải:
Cách 1: Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đưa về phương trình tích. 
Cách 2: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Ví dụ1: Giải phương trình: 3x2 – 7x + 4 = 0	(1)
Cách 1: Phương trình (1) 3x2 – 3x – 4x + 4 = 0
 (3x – 4) (x – 1) = 0 
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = ; x2 = 1
Cách 2: = 49 – 48 = 1; 
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = ; x2 = 1
Ví dụ 2: Cho phương trình: m(x2 – 4x + 3) + 2(x – 1) = 0 	(1)
a) Giải phương trình với m = -
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Giải: Phương trình (1) mx2 – 2x (2m – 1) + 3m – 2 = 0
a) Với m = -, phương trình (1) là: x2 – 8x + 7 = 0. Phương trình có 2 nghiệm
x1 = 1; x2 = 7
b) Với m = 0, phương trình (1) là: 2x – 2 = 0 ; PT có nghiệm x = 1
Với m 0, ’ = 4m2 – 4m + 1 – 3m2 + 2m = m2 – 2m + 1 = (m – 1)2 0 Với m -> Phương trình luôn có nghiệm.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Với m = 0, phương trình có nghiệm là x = 1 Z
Với m 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x2 Z => để phương trình luôn có nghiệm nguyên thì 
Vậy với m = 0; thì phương trình (1) luôn có nghiệm nguyên.
Ví dụ 3: 	Giải phương trình: x4 + x3 – 3a2x2 – 2a2x + 2a4 = 0 	(1)
Giải: 	Phương trình (1) 2a4 – a2(3x2 + 2x) + x4 + x3 = 0 	(2)
Coi phương trình (2) là phương trình với ẩn a, tham số x.
Đặt a2 = t ( t 0) ta được phương trình:
2t2 – (3x2 + 2x) t + x4 + x3 = 0 	(3)
= (3x2 + 2x)2 – 8 (x4 + x3)
x4 + 4x3 + 4x2 = (x2 + 2x)2 0
=> Phương trình luôn có nghiệm
* Với ta có: a2 = x2 = 2a2
- Nếu a = 0 => x1 = x2 = 0
- Nếu a => x3, 4 = 
* Với t2 = x2 + x ta có: a2 = x2 + x x2 + x – a2 = 0
 = 1 + 4a2 > 0 với mọi a
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt:
Vậy nếu a = 0, phương trình có 2 nghiệm là: x1 = 0; x2 = -1
Nếu a , phương trình có 4 nghiệm là:
x1;2 = ; x3;4 = 
* Quan hệ giữa các nghiệm của 2 phương trình bậc 2:
Ví dụ: Tìm các giá trị của m để 2 phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung.
x2 + (m – 8)x + m + 3 = 0	(1)
x2 + (m – 2)x + m - 9 = 0	(2)
Giải: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, thế thì:
x02 + (m – 8) x0 + m + 3 = 0	(1’)
x02 + (m – 2) x0 + m – 9 = 0	(2’)
=> - 6x0 + 12 = 0 x0 = 2
Thay vào (1’) tìm được m = 3
Với m = 3 thì phương trình (1) là: x2 – 5x + 6 = 0
 (x – 2) (x – 3) = 0 => x1 = 2; x2 = 3
Phương trình (2) là: x2 +x – 6 = 0 (x – 2) (x + 3) = 0
=> x1 = 2; x2 = -3
Khi đó nghiệm chung của 2 phương trình là x = 2
Vậy với m = 3 thì 2 phương trình có nghiệm chung là x = 2
2. Hệ thức Viét áp dụng cho phương trình bậc hai.
a) Hệ thức Viét: 
+ Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ) thì:
+ Ngược lại: Nếu có 2 số x1; x2 sao cho x1 + x2 = S; x1.x2 = P thì x1; x2 là các nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0
b) Một số áp dụng: 
Hệ thức Viét thường được ứng dụng để giải một số dạng bài tập sau:
 b1) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a)
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 
- Nếu a – b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = -
Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) .x2 – (3 - )x + ( - 1)2 = 0	(1)
b) mx2 – (1 – m) x – 1 = 0 	(2)
Giải: a) Phương trình (1) là phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0,
 có: a + b + c = - (3 - ) + ( - 1)2
= - 3 + + 3 - 2 = 0
=> Phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = = 
b) + Với m = 0, phương trình là: -x – 1 = 0 x = -1
+ Với m , phương trình (2) là phương trình bậc hai có
a – b + c = m + 1 – m – 1 = 0
Phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = - = 
 b2) Xét dấu các nghiệm của phương trình.
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a )
Gọi S = x1 + x2; S = -; P = x1.x2; P = 
Điều kiện để phương trình:
- Có 2 nghiệm trái dấu: P 0)
- Có 2 nghiệm cùng dấu 
- Có 2 nghiệm cùng dương: 
- Có 2 nghiệm cùng âm 
Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2( m – 2)x – 2m + 1 = 0 	(1)
Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm cùng dương? 2 nghiệm trái dấu
Giải: Phương trình (1) có 2 nghiệm dương:
TM với mọi m
 m < 
Vậy với m < thì phương trình có 2 nghiệm dương.
 b3) Tính giá trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phương trình.
Trước hết, kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình. Sau đó tính S = x1 + x2; P = x1.x2 và biến đổi hệ thức cần tính theo S và P.
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 5x + 3 = 0 	(1)
Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
a) x12 + x22
b) x12 – x22
c) 
Giải: Phương trình (1) có: = 25 – 12 = 13 > 0 -> Phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2. Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 5; x1.x2 = 3
a) x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 52 – 2.3 = 19
b) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4 x1x2 = 52 – 4.3 = 13 Û x1 - x2 = . 
Ta có: x12 – x22 = (x1 – x2)(x1 + x2) = 
c) = 
 b4) Xác định hệ số của phương trình, biết hệ thức giữa các nghiệm 
Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 3x + (k – 1) = 0	(1)
Xác định hệ số k để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 1 trong các điều kiện sau:
a) 2x1 – 5x2 = - 8
b) x12 – x22 = 15
c) x12 + x22 = 3
Giải: Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là: 
	= 9 – 4 (k – 1) = 9 – 4k + 4 = 13 – 4k 
	 0 13 – 4k 0 k 	(2)
Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x1; x2
áp dụng hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 3
x1.x2 = k – 1	(3)
a) Giải hệ phương trình: 
Khi đó, thay vào (3) ta có: 1.2 = k – 1 => k = 3 (TMĐK (2))
b) Giải hệ phương trình:
Thay vào (3) ta có: 4. (-1) = k – 1 k = -3 (TMĐK)
c) Giải hệ phương trình: 
Ta có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
=> 3 = 32 – 2 (k – 1)
 k = 4, không TMĐK (2).
Vậy không tồn tại số k để thoả mãn x12 + x22 = 3.
 b5) Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình bậc 2: ( m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2 (m – 1) = 0	(1)
Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm 1 hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải: Vì phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên m 2
=[-(m+2)]2 – 2(m – 2) (m – 1) = -m2 + 10m
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
0 m2 – 10m 0 m ( m – 10) 0 0 m10
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình (1). Theo hệ thức Viét ta có:
Từ (1) : x1 + x2 = 
Từ (2): x1.x2 = 
Từ (3); (4) => 
Vậy hệ thức cần tìm là: 4x1x2 – (x1 + x2) = 6
 b6) Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó
Ví dụ: Gọi m, n là các nghiệm của phương trình:
x2 – (1 + ) x + = 0 	(1) 	(m < n)
Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là:
Giải: Phương trình (1) có: a + b + c = 1 – (1 + ) + = 0
=> Phương trình có 2 nghiệm là 1 và 
Gọi m, n là các nghiệm của phương trình (1) với m < n
=> m = 1; n = 
x1 + x2 = 
x1.x2 = 
=> x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 + 2x – 1 = 0
3. Bài tập tự luyện
1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất 1 ẩn
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) (2x –1)2 – (2x – 2) (2x + 2) = x (2x – 1) – (2x2 + 5x – 3)
b) 
c) 
d) 
e) 
g) 
Bài 2: Giải các phương trình sau (với x là ẩn số):
a) 4m2 (x – 1) = x – 4m + 1
b) 
c) 
d) 
2. Phương trình bậc hai – Hệ thức Viét và ứng dụng:
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 2x2 – (+1)x - + 1 = 0
b) x2 + (2-3)x + -3 = 0
c) 
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m.
(m – 2) x2 – (5m2 + 4m – 1)x – m + 2 = 0
Bài 5: Tìm các số nguyên n để các nghiệm của phương trình sau là các số nguyên.
x2 – 2(2n + 1)x + 4 (n – 2) = 0
Bài 6: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – x – 1 = 0
a) Tính x12 + x22 
b) Chứng minh: Q = (x12 + x22 + x14 + x24) 5
Bài 7: Tìm m để phương trình: x2 – mx + m2 – 7 = 0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 8: Cho phương trình: x2 – mx + m2 – 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
b) Tìm m để phương trình chỉ có 1 nghiệm là dương.
Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2( m+ 1) x + m2 + 3m + 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m?
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0
Gọi các nghiệm của phương trình là x1; x2
a) Tìm m sao cho x1 + 5x2 = 4
b) Tìm số nguyên m sao cho F = cũng là số nguyên.
Bài 11: Cho phương trình: (m + 1) x2 – 2(m – 1) x + m – 2 = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2 và tính nghiệm kia.
c) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức 
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x12 + 2x22 + x1x2
Bài 12: Cho phương trình bậc hai: 
x2 – 2( m + 1) x + 2m + 10 = 0 	(1)	(m là tham số)
a) Tìm m để (1) có nghiệm.
b) Cho biểu thức A = 6x1x2 + x12 + x22 (x1; x2 là nghiệm của (1). Tìm m sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị ấy.
Bài 13: Cho biểu thức: P = 
 Biết với x ≥ 0, x9, x1 thì P có nghĩa.
a) Rút gọn P. 
b) Gọi x0 là nghiệm của phương trình: x2 – 11x + 18 = 0 Tính giá trị của P tại x0
Bài 14: Cho phương trình: (m – 1) x2 – 2mx+ m + 2 = 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.
 b) Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn hệ thức: 
Bài 15: Cho phương trình: (x + 1)4 – (m – 1) (x + 1)2 – m2 + m – 1 = 0 	(1)
a) Giải phương trình với m = -1
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi giá trị của tham số m.
Bài 16: Cho phương trình: x – m2 = 3 - - mx 	(1)
a) Tìm tham số m để phương trình có nghiệm duy nhất. 
Tính nghiệm đó với m = + 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) nhận x = 5 - 6 là nghiệm.
c) Gọi m1; m2 là hai nghiệm của phương trình (1) ẩn m. tìm x để m1; m2 là số đo 2 cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có cạnh huyền bằng 
Bài 17: Cho phương trình bậc hai đối với x: x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 	(1)
a) Giải phương trình (1) với m = 0
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m
c) Tìm 1 hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc m.
d) Xác định giá trị của m sao cho phương trình có 2 nghiệm bằng nhau về GTTĐ và trái dấu nhau.
Bài 18: Giải phương trình: 
x4 – 10x3 – 2( a – 11)x2 + 2(5a + 6)x + 2a + a2 = 0	(a > -6)
Bài 19: Giải phương trình: x4 - 2 x2 – x + 2 - = 0
Hướng dẫn giải bài tập tự luyện
1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a, 
Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
b, 
Do và 
Vậy phương trình có nghiệm 
c, 
tương tự ta có: 
d, 
Vậy phương trình có nghiệm x = - 204.
e, 
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
g, 
 	(vô lý)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2: Giải các phương trình sau (với x là ẩn số)
a, 
* Nếu 
Với phương trình có vô số nghiệm
	phương trình vô số nghiệm.
* Nếu và phương trình có nghiệm
Kết luận:	 phương trình có vô số nghiệm.
	 phương trình vô nghiệm.
	phương trình có nghiệm: 
b, 
* Nếu 
khi đó phương trình vô nghiệm.
* Nếu phương trình có nghiệm 
Kết luận:	phương trình vô nghiệm.
	phương trình có nghiệm 
c, 	(đk: 
* Nếu phương trình vô nghiệm.
	 phương trình có nghiệm 
Kết luận:	 phương trình vô nghiệm.
	 phương trình có nghiệm 
d, 	đk: 
2. Phương trình bậc hai – Hệ thức Viét và ứng dụng
Bài 3:
a, 
 phương trình có 2 nghiệm
b, 
 phương trình có 2 nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm:	
c, 
 phương trình có 2 nghiệm:	
Bài 4 
+Với 
Khi đó phương trình 
+ Với 
Vậy với phương trình có nghiệm.
Bài 5:
Phương trình có 2 nghiệm
Để 
	và	
Đặt 
mà nên ta có:
- Nếu	
- Nếu	
- Nếu	
- Nếu 	
Vậy giá trị cần tìm là:	
Bài 6: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình
a, phương trình có 2 nghiệm x1; x2
áp dụng Viet:
Khi đó:.
b, 	
Bài 7: 
Ta có:	
Để phương trình có 2 nghiệm cần:	
Theo hệ thức Viet ta có:
theo yêu cầu đề bài:	
Thay vào (1) ta có:	
* 
thoả mãn 
* Khi đó thoả mãn
Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 8: a, Để phương trình có nghiệm dương phân biệt cần
Vậy phương trình có 1 nghiệm là dương.
b, Để phương trình chỉ có 1 nghiệm là dương thì
Bài 9: Để phương trình có nghiệm x1; x2 thì 
áp dụng hệ thức Viet ta có:	
a, Ta có:
Vì m < -1 phương trình có 2 nghiệm nên chỉ có m = -3 thoả mãn.
Vậy với m = -3 phương trình có nghiẹm x1; x2 thoả mãn: 
b, Từ (3):	
Từ (4) ta có:	
Kết hợp với (3) và (*) ta được:
Vậy hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
Bài 10: Để phương trình đã cho có nghiệm thì 
áp dụng hệ thức Viet ta có:
Giải hệ phương trình:
Từ (*) và (**) ta được:	
Thay vào (***) ta được:	
Vậy với hoặc thì phương trình có các nghiệm x1; x2 sao cho .
b, Ta có: 
Để F nguyên thì (2m - 15) phải là ước của 17, mà ước của 17 là: 
+ Với 
+ Với 
+ Với 
+ Với 
Vậy với m = -1; m = 7; m = 8; m = 16 thì là số nguyên.
Bài 11: 
a, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 
b,
Giả sử phương trình có nghiệm x1 = 2x2
Theo hệ thức Viet ta có:
Với thì 
Vậy với thì phương trình có 1 nghiệm bằng 2 và nghiệm kia bằng .
c, Ta có
Vậy với phương trình có nghiệm thoả mãn: 
d, Tìm GTNN của biểu thức:
Với A = 5 phương trình là 
Với để có m thì 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là .
Bài 12: 
a, Để phương trình (1) có nghiệm thì 
Vậy với phương trình (1) có nghiệm.
b, 
 khi 
Vậy với thì .
Bài 13: Cho biểu thức.
a, Rút gọn
	 x = 2; x= 9 (không thoả mãn ĐK)
 Với thì 
Bài 14: 
a, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:
Vậy với phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
áp dụng hệ thức Viet ta có:
Từ 
Khi đó từ 
b, Ta có:	
Đối chiếu với điều kiện phương trình có 2 nghiệm thì thoả mãn.
Vậy với cần tìm.
Bài 15: 
Đặt 	
phương trình trở thành:
a, Với m = -1 phương trình là:	
	 (loại vì )
Với 
Vậy với m = - 1 phương trình có 2 nghiệm x =0; x = -2.
b, Ta có;
	 phương trình (*) luôn có 2 nghiệm: phương trình có 2 nghiệm:
Bài 16: 
Phương trình:	(1)
a, Để phương trình có nghiệm duy nhất thì	
Với 
b, Để phương trình (1) nhận là nghiệm thì ta có:
phương trình có 2 nghiệm:	
	(TM)
	(TM)
Vậy với ; thì phương trình (1) nhận là nghiệm.
c, Ta có phương trình:	
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 
áp dụng hệ thức Viet ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy là giá trị phải tìm.
Bài 17: Phương trình:	(1)
a, Với m = 0 phương trình (1) trở thành:
Vậy với m = 0 phương trình có 2 nghiệm 
b, Ta có:
Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với .
c, áp dụng hệ thức Viet ta có:
d, Để phương trình có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau thì cần điều kiện:
Vậy với m = 1 thì phương trình có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện.
Bài 18: Xét phương trình
	(1)
Xem phương trình (1) là phương trình bậc 2 của a, ta có:
phương trình (3)	
có 
Nếu phương trình (3) vô nghiệm.
Nếu phương trình (3) có nghiệm kép: 
Nếu phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
phương trình (4)	
có 
Nếu phương trình (4) vô nghiệm.
Nếu phương trình (4) có nghiệm kép .
Nếu phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt:
Vậy: 	 nếu a < -9 phương trình đã cho vô nghiệm.
	a = -9 phương trình đã cho có nghiệm kép bằng 3.
-9 < a < - 6 phương trình đã cho có 2 nghiệm 
	a = -6 phương trình đã cho có 3 nghiệm: 
	a > -6 phương trình đã cho có 4 nghiệm 
Bài 19: Giải phương trình
Giải: Đặt , phương trình là:	
thay , ta có:
thay , ta có:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
	;	
V- Một số dạng phương trình thường gặp và cách giải
1. Phương trình tích:
Bằng các phép biến đổi đại số, ta có thể đưa một số các phương trình bậc cao về dạng: A(x). B(x) ... = 0	(1) trong đó A(x), B(x) ... là các đa thức.
Để giải (1), ta chỉ cần giải từng phương trình A(x) = 0, B(x) = 0... rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 2x3 + x2 – 13x + 6 = 0
b) (3x + 4) (x + 1) (6x + 7)2 = 6
c) (4x + 5)3 + (2x – 7)3 – (6x – 2)3 = 0
Giải:
a) 2x3 + x2 – 13x + 6 = 0
 2x3 – 4x2 + 5x2 – 10x – 3x + 6 = 0
 2x2( x- 2) + 5x( x – 2) – 3( x- 2) = 0
 ( x- 2) (2x2 + 5x – 3) = 0
 (x – 2) 2x2 – x + 6x – 3) = 0
 (x – 2) (2x – 1) (x + 3) = 0
Vậy phương trình có 3 nghiệm: x1 = 2; x2 = ; x3 = -3
b) (3x + 4) (x+ 1) (6x + 7)2 = 6
 12(3x + 4) (x + 1) (6x + 7)2 = 6.12
 (6x + 8) (6x + 6) (6x + 7)2 = 72
 (36x2 + 84x + 48) (36x2 + 84x + 49) – 72 = 0
Đặt 36x2 + 84x + 48 = t, ta có phương trình: t. (t + 1) – 72 = 0
 t2 + t – 72 = 0
 t1 = -9; t2 = 8
* Với t1 = -9, ta có: 36x2 + 84x + 48 = -9
 36x2 + 84x + 57 = 0
 12x2 + 28x + 19 = 0
 = 142 – 12.19 = -32 Phương trình vô nghiệm
* Với t2 = 8, ta có: 36x2 + 84x + 48 = 8
 36x2 + 84x + 40 = 0
 9x2 + 21x + 10 = 0
 = 212 – 4.9.10 = 81 	-> = 9
x1 = 
x2 = 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = -; x2 = 
c) áp dụng hằng đẳng thức: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc.
Phương trình: (4x + 5)3 + (2x – 7)3 – (6x – 2)3 = 0
 (4x + 5)3 + (2x – 7)3 + (2- 6x)3 = 0	(1)
Ta có: (4x + 5) + (2x – 7) + (2 – 6x) = 0
=> (4x + 5)3 + (2x – 7)3 + (2 – 6x)3 = 3(4x + 5) (2x – 7) (2 – 6x)
Phương trình (1) tương đương với phương trình:
3(4x + 5) (2x – 7) (2 – 6x) = 0
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Quy đồng rồi khử mẫu thức ở 2 vế của phương trình.
- Giải phương trình vừa nhận được.
- Đối chiếu giá trị tìm được của ẩn với ĐKXĐ để kết luận nghiệm của phương trình (GT của ẩn phải thoả mãn điều kiện xác định).
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) 	(1)
b) 	(2)
Giải: a) ĐKXĐ: x 2; x 
Phương trình (1) Û
=> 2(x- 2) + (x – 1) (2x + 3) – (x2 + 4x – 5) = 2x2 – x - 6
 2x – 4 + 2x2 + 3x – 2x – 3 – x2 – 4x + 5 – 2x2 + x + 6 = 0
 -x2 + 4 = 0 x2 = 4 x1 = 2; x2 = - 2
x1 = 2 không thoả mãn ĐKXĐ
x2 = -2 thoả mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = -2
b) Phương trình (2) 
 	(2’)
ĐKXĐ: x ; -3; - 4; - 5; - 6
Phương trình (2’) 
=> 2(x + 6) – 2( x + 2) = (x + 2) (x + 6)
 2x + 12 – 2x – 4 = x2 + 8x + 12
 x2 + 8x + 4 = 0
’ = 16 – 4 = 12 	-> 
x1 = - 4 - (TM ĐKXĐ)	; x2 = - 4 + 	(TM ĐKXĐ)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = - 4 - ;	x2 = - 4 + 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 	(1)
Giải phương trình (1) => 3x – 1 = x3 + 3x + 7
 x3 = -8 x = = -2
Với x = -2 thì x3 + 3x + 7 = (-2)3 + 3 (-2) + 7 = -7 0
Vậy nghiệm của phương trình là x = - 2
- Chú ý: Với một số bài toán, việc tìm ĐKXĐ khó khăn, ta giải bình thường để tìm ra giá trị của ẩn. Sau đó thay giá trị của ẩn tìm được vào mẫu thức để kiểm tra điều kiện mẫu thức khác 0. Nếu giá trị của ẩn TMĐK mẫu khác 0 thì giá trị đó là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình (x là ẩn số): 	(1)
Giải: ĐKXĐ: 
Từ phương trình (1) => (1 + x)2 = (1 – x) (1 + mx)
 1 + 2x + x2 = 1 + mx – x – mx2
 mx2 + x2 + 3x – mx = 0
 x[(m + 1) x – (m – 3)] = 0
- Giá trị x = 0 thoả mãn ĐKXĐ: x 
Nên x = 0 là nghiệm của phương trình
- Xét phương trình: (m + 1)x – (m – 3) = 0
 (m + 1)x = m –3	(*)
+ Nếu m + 1 0 m - 1 thì là nghiệm của phương trình 
Nghiệm phải thoả mãn điều kiện x tức tà: m2 – 3m -m –1 m2 – 2m + 1 0 (m – 1) 2 0 m 1
=> m 1 thì 
+ Nếu m + 1 = 0 m = -1 thì phương trình (*) là 0x = - 4: PTVN
Kết luận: Với m 1, phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 
m = 1, phương trình có 1 nghiệm: x = 0
3. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
nếu A 0
nếu A < 0
Để giải các phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức trong dấu GTTĐ âm hay không âm để khử dấu GTTĐ.
Chú ý: 
Ví dụ: Giải các phương trình:
a) 	(1)
b) 	(2)
c) 
Giải: a) 
+ Với 5 – 2x 0 x 
Phương trình (1) là: 5 – 2x + 3 = x + 1 x = ( thoả mãn điều kiện)
+ Với 5 – 2x x 
Phương trình (1) là: - 5 + 2x + 3 = x + 1 x = 3 ( thoả mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 
b) Cách 1: * Với x , phương trình (2) là: - 3x + 2 – 3x + 5 = 3 
 6x = 4 x = không thuộc khoảng đang xét.
* Với phương trình (2) là: 3x – 2 – 3x + 5 = 3 0x = 0
Phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét
Tức là: 
* Với x , phương trình (2) là: 3x – 2 + 3x – 5 = 3
 6x = 10 x = (không thuộc khoảng đang xét)
Vậy phương trình có vô số nghiệm thoả mãn 
Cách 2: Do Dấu “=” xảy ra 3x – 2 0 x 
 Dấu “=” xảy ra 5 – 3x 0 x 
 5 – 3x 0 x => 
Theo bài ra, phải xảy ra dấu đẳng thức. 
Do đó: 
c) 
* Xét khoảng x 0, phương trình (3) có dạng: 	(3’)
- Với x , PT (3’) có dạng: 2x – 3 = 2x + 5 0x = 8 => PTVN
- Với ; phương trình (3’) có dạng: -2x + 3 = 2x + 5
 4x = - 2 x = - không thuộc khoảng đang xét.
* Xét khoảng x < 0 phương trình (3’) có dạng:
 	(3’’)
- Với 0 > x ; phương trình (3’’) là: 2x + 3 = 2x + 5
 0x = 2 -> PTVN.
- Với x < , phương trình (3’’) là: -2x – 3 = 2x + 5
 4x = - 8 x = -2 thuộc khoảng đang xét.
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = - 2
4. Phương trình có hệ số đối xứng
Phương trình có hệ số đối xứng là phương trình có dạng f(x) = 0 trong đó f(x) là đa thức với đầy đủ các số hạng sắp xếp từ bậc cao tới bậc thấp (kể cả hệ số bằng 0) sao cho từng cặp hệ số cách đều 2 đầu thì bằng nhau, nghĩa là:
anxn + an -1xn –1 + ... + a1x + a0 = 0
với ai = an – i ( i = 0, 1, 2, ..., n)
a) Phương trình: ax3 + bx2 + bx + a = 0 ( a0)	(1) là phương trình hệ số đối xứng bậc 4.
Cách giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình. 
Chia 2 vế cho x2, ta được: 	(2)
Đặt = t (3). Do x và cùng dấu => 
=> 
Phương trình (2) trở thành: at2 + bt + c – 2a = 0. Nếu phương trình này vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm => Phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu phương trình này có nghiệm t thì thay vào (3) ta tìm được nghiệm x
b) Phương trình: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0 	(4) là phương trình hệ số đối xứng bậc 5.
Cách giải: x = -1 là 1 nghiệm của phương trình (4).
Đặt x + 1 làm nhân tử chung thì nhân tử còn lại là đa thức đối xứng bậc 4. Từ đó dẫn đến giải phương trình hệ số đối xứng bậc 4 như trên.
- Chú ý: Các phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ có nghiệm x0 = - 1 và việc giải nó chuyển về giải phương trình hệ số đối xứng bậc n – 1 chẵn.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 2x4 – 5x3 + 4x2 – 5x + 2 = 0	(1)
b) 2x5 – 3x4 – x3 – x2 – 3x + 2 = 0 	(2)
Giải: a) Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1). Chia cả 2 vế của phương trình này cho x2 ta được: 2x2 – 5x + 4 - =0
 2	(1’)
Đặt 	(*)
-> x2 + + 2 = t => x2 + = t2 - 2
Phương trình (1’) là: 2( t2 – 2) – 5t + 4 = 0
Không TMĐK (*)
TMĐK (*)
 2t2 – 5t = 0 t (2t – 5) = 0
Với t = thay vào (*) ta có: 2x2 – 5x + 2 = 0
 = 25 – 16 = 9; = 3
x1 = 
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm: x1 = 2; x2 = 
Cách 2: Ta có thể giải phương trình (1) bằng phương pháp nhẩm nghiệm. 
Do x = 2 là nghiệm của phương trình (1) nên VT phân tích thành tích có 1 thừa số là x – 2. Từ đó hạ bậc dần của tích.
b) 2x5 – 3x4 – x3 – x2 – 3x + 2 = 0 	(2)
 2x5 + 2x4 – 5x4 – 5x3 + 4x3 + 4x2 – 5x2 – 5x + 2x + 2 = 0
 (x + 1) (2x4 – 5x3 + 4x2 – 5x + 2) = 0
Sử dụng kết quả câu a, phương trình (2) có 3 nghiệm là: x1 = -1; x2 = 2; x3 = 
5) Phương trình 4 có hệ số đối xứng lệch
Phương trình: ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0 	(1)
Gọi là phương trình bậc 4 có hệ số đối xứng lệch.
Cách giải: Phương trình (1) không nhận x = 0 là nghiệm nên chia 2 vế cho x2, ta được: (1) (1) a (x2 + ) + b ( x- ) + c = 0 	(2)
Đặt t = x - (*) => x2 + = t2 + 2
Khi đó phương trình (2) trở thành: at2 + bt + c + 2a = 0 	(3)
Nếu phương trình (3) vô nghiệm thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu phương trình (3) có nghiệm t. Khi đó thay vào (*) ta tìm được x.
Ví dụ: Cho phương trình: 3x4 – 4x3 + mx2 + 4x + 3 = 0 	(1)
a) Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm?
b) Giải phương trình với m = -5
Giải: Phương trình (1) không nhận x = 0 là nghiệm.
Chia 2 vế cho x2, ta được:
3x2 – 4x + m + 3
Đặt x - = t (*) => x2 + 
Phương trình trên trở thành: 3t2 – 4t + m + 6 = 0	(2)
Phương trình (2) vô nghiệm ’ = 4 – 3m – 18 < 0 
 3m + 14 > 0 m > -
Khi đó phương trình (1) vô nghiệm.
b) Với m = - 5, phương trình (2) là: 3t2 – 4t + 1 = 0
Phương trình này có a + b + c = 3 – 4 + 1 = 0 	=> t1 = 1; t2 = 
* Với t = 1, thay vào (*) ta có: x - = 1 x2 – x – 1 = 0 
-> x1 = ; x2 = 
* Với t = , thay vào (*) ta có: x - = 3x2 – x – 3 = 0
=> x3 = ; x4 = 
Vậy với m = - 5 phương trình đã cho có 4 nghiệm như trên.
6. Phương trình bậc 4 có hệ số đối xứng tỉ lệ
Phương trình: ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak2 = 0 	(1)
( a 0, k 0) gọi là phương trình bậc 4 có hệ số đối xứng tỉ lẻ.
Cách giải: x = 0 không là nghiệm c