Luyện thi vào lớp 10 Chuyên đề: Hàm số và đồ thị

Chuyên đề III: Hàm số và đồ thị 

 
 1. Hàm số bậc nhất và qui về bậc nhất
1.1. Kiến thức cần nhớ:
 a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b 
 trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0
 b. Tính chất: Hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
 + TXĐ: 
 + Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R
 Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R.
 + Đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi qua M(0, b) và N(, 0)
1.2. Những điều cần lưu ý:
 * Nếu b = 0 ta có hàm số y = ax có đồ thị là một đường thẳng đi qua O(0, 0) và M(1, a).
 * Nếu a = 0 ta có hàm số y = b là hàm hằng.
 * Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng song song với đường thẳng y = ax và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b (b là tung độ gốc)
 *Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số góc là a 
 + a > 0 0< < 90
 + a < 0 
 - Góc tạobởi đồ thị của hàm số và chiều dương của trục hoành 









 

 


Chú ý: Nếu b = 0 ta có đường thẳng 
y = ax, a cũng được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax
* + Những điểm có hoành độ bằng 0 nằm trên trục tung.
 + Những điểm có tung độ bằng 0 nằm trên trục hoành. 
 + Những điểm có hoành độ bằng tung độ nằm trên đường phân giác của góc vuông I và II.
 + Những điểm có hoành độ và tung độ đối nhau nằm trên đường phân giác của góc vuông II và IV.
* Có những hàm số phải qua một số phép biến đổi mới đưa về dạng hàm số bậc nhất.





1.3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong các hàm số biến x dưới đây, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Tại sao?
a) y = 3x - 1 d) y = mx – m2 + - x
b) y = x(3x - 1) – (3x2 – x ) + 2 e) y = 
c) y = (m2 + )x - 2 + 1
Giải:
a) Hàm số y = 3x-1 là một hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b; a= 3 ≠ 0 
b) Ta có: y = x(3x - 1) – 3(x2 - x) + 2
 = 3x2 – x – 3x2 + 3x + 2 = 2x + 2
 Vậy y = 2x + 2 nên hàm số đã cho là hàm số đưa được về dạng hàm số bậc nhất.
c) y = (m2 + )x - + 1 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = m2 + 0
d) y = mx – m2 + - x 
 y = (m - 1)x – m2 + 
 Hàm số này chưa hẳn đã là hàm số bậc nhất vì nếu m = 1 thì hàm số có dạng y = - 1 là hàm hằng.
e) y = không phải là hàm số bậc nhất vì nó không có dạng y = ax + b
Ví dụ 2: Cho hàm số: y = (a – 1)x + 3
a) Tìm a để hàm số đồng biến? nghịch biến?
b) Tìm a biết rằng khi x = thì y = 1 
Giải:
a) Hàm số đồng biến a – 1 > 0 a > 1
 Hàm số nghịch biến a - 1 < 0 a < 1
b) Với ; y = 1 ta có 1 = (a - 1) + 3
 (a - 1) = a = 1 - 
 Vậy a = 1 - 
Ví dụ 3: Trên mặt phẳng toạ độ oxy cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4).
 Xác định hàm số biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua A và B. Chỉ ra hệ số góc của đường thẳng.
Giải:
 * Gọi phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng: y = ax + b (a 0) (*)
 Vì đường thẳng đi qua A(1; 2) ta có: 2 = a.1 + b a + b = 2 (1) 
 Vì đường thẳng đi qua B(3; 4) ta có: 4 = a.3 + b 3a + b = 4 (2)
 Ta có hệ 
Vậy đường thẳng cần tìm là : y = x +1 có hệ số góc là a = 1
 Ví dụ 4: Cho hàm số y = (k + 1)x + k. Biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.
a) Xác định hàm số trên
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox (Kết quả làm tròn đến phút)
Giải:
a) Vì đồ thị hàm số y = (k + 1)x + k cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3
 Ta có: 3 = (k + 1).0 + k => k = 3

Vậy đồ thị hàm số cần tìm có dạng: y = 4x + 3 
b) Vẽ đồ thị hàm số: y = 4x + 3
 * x = 0 thì y = 3 
 
 y = 0 thì x = 
 
 * Biểu diễn các điểm A(0; 3); B(-; 0) 
trên mặt phẳng toạ độ 
 *Vẽ đường thẳng đI qua A và B ta được
đồ thị hàm số y = 4x + 3
c) Ta có tgB = = 4 => B 75˚58’
1.4. Các bài tập tự luyện:
1. Xác định hàm số y = - 2x + b biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm M(3, -5)
2. Cho hàm số: y = (a - 1).x + a
a) Tìm a để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Xác định hàm số biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
 -2.
c) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
3. Cho hàm số: y = ax + 6 (d)
a) Xác định a biết rằng đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
c) Tính giá trị của hàm số tìm được ở câu a biết x = 
d) Tính x biết y = theo hàm số đã xác định ở câu a.
4. Cho hàm số: y = (m - 1).x + m 
a) Xác định m để đường thẳng trên đi qua gốc toạ độ? Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 
b) Với giá trị nào của m thì góc tạo bởi đường thẳng (1) với tia Ox là góc tù bằng 45˚?
2 Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
2.1. Kiến thức cần nhớ :
 Hàm số bậc hai ta chỉ xét trong trường hợp y= ax2 (a 0)
 *TXĐ: 
 *Tính chất: 
+) a > 0: Hàm số đồng biến với x > 0, nghịch biến với x < 0, bằng 0 với x = 0
+) a 0, bằng 0 với x = 0
* Đồ thị: Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là đường parabol với các đặc điểm sau:
 - Đỉnh: O(0; 0)
 - Trục đối xứng: Oy











- Nếu a > 0: parabol quay bề lõm lên phía trên nhận O(0; 0) làm điểm thấp nhất (điểm cực tiểu)
- Nếu a < 0: parabol quay bề lõm xuống phía dưới nhận O(0; 0) làm điểm cao nhất (điểm cực đại)
* Cách vẽ đồ thị hàm số: y = ax2 (a 0)
- Đặt đỉnh tại O(0; 0)
- Xác định các điểm (1; a); (-1; a); (2; 4a); (-2; 4a); (3; 9a) ; (-3; 9a) 
- Vẽ parabol đi qua các điểm trên.
2.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số: y = -3x2
A. Hàm số đồng biến khi x < 0; nghịch biến khi x < 0.
B. Hàm số đồng biến khi x > 0; nghịch biến khi x > 0.
 Chọn kết qủa đúng trong hai kết qủa trên.
 Đáp số: A
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = 
a) Tính f(5); f(-5); f(3); f(-3) và rút ra nhận xét.
b) Tính x khi f(x) = 1; f(x) = 3; f(x) = 9
Giải:
 a) f(5) = = f(-5) = => f(5) = f(-5)
 f(3) = f(-3) = => f(3) = f(-3)
b) f(x) = 1 

 f(x) = 3 x2 = 9 
 f(x) = 9 x2 = 27 
Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m2 - 2).x2 (2)
a) Xác định m để đồ thị của hàm số (2) đi qua điểm A(1; 2)
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a.
Giải:
a) Vì đồ thị hàm số y = (m2 - 2)x2 đi qua điểm A(1; 2) nên ta có:

 2 = (m2 - 2).12 m2 – 2 = 2 m2 = 4 
Vậy m = 2 thì hàm số (2) đi qua A(1; 2) 
b) Nếu m = 2 ta có hàm số: y = 2x2
 Nếu m = - 2 ta có hàm số: y = 2x2 
 Vậy ta có hàm số y = 2x2 
* Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 
 Với x = 1 thì y = 2 
 Với x = thì y = 
Biểu diền các điểm A(1; 2) và B ()
trên mặt phẳng toạ độ
Lấy A’ đối xứng A qua trục Oy; B’ đối xứng với B qua trục Oy
Vẽ Parabol đI qua A’, B’, O, B, A ta được đồ thị hàm số y = 2x2
Ví dụ 4: Cho hàm số y = (3)
a) Vẽ đồ thị hàm số (3)
b) Tìm m để A(; m); B(; m); C(m; ) nằm trên parabol trên.
Giải: 
a) Vẽ đồ thị hàm số: y = 
 x = 1 thì y = 	 

 x = 2 thì y = -2
Biểu diễn các điểm E(1; ) và F(2; -2)
 Trên mặt phẳng toạ độ. LấyF’, E’ đối xứng 
với F,E qua trục Oy. Vẽ parabol đi qua E’, F’, O, 
F, E ta được đồ thị hàm số y = -
b) A() parabol m = m = -1
 B(; m) parabol m = m = -1
 C(m; ) parabol 

 

 Vậy m = và thì C parabol
2.3. Bài tập tự luyện
1. Cho hàm số: y = f(x) = -1,5x2
a) Tính f(1); f(2); f(3) rồi sắp xếp ba giá trị này theo thứ tự từ lớn đến bé.
b) Tính f(-3); f(-2); f(-1) rồi sắp xếp ba giá trị này theo thứ tự từ bé đến lớn.
2. Tìm hàm số có đồ thị là Parabol mà đỉnh O(0; 0), trục đối xứng là Oy và đi qua điểm A(3; 2).
3. Cho hàm số: y = ax2
a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số trên đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
b) Tìm các điểm thuộc Parabol nói trên có tung độ bằng 4.
 
3. Đồ thị và tương giao của các đồ thị :
3.1. Kiến thức cần nhớ :
 - Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
01. Cho 2 đường thẳng (d): y = ax + b và (d’) :y’ = ax’ + b’ (d’) (a; a’ ≠ 0)
+ (d) cắt (d’) a ≠ a’
+ (d) // (d’) 
+ (d) (d’) 
+ (d) (d’) a. a’ = -1
02. Cho Parabol (P) y = ax2 (a ≠ 0) (l) và đường thẳng (d): y = mx + n (m ≠ 0) (k)
+ (k) cắt (l) phương trình hoành độ ax2 = mx + n ax2 – mx – n = 0 có 2 nghiệm phân biệt tại 2 điểm.
+ (k) tiếp xúc với (l) phương trình hoành độ ax2 = mx + n ax2 – mx – n = 0 có nghiệm kép.
+ (k) không cắt (l) phương trình hoành độ ax2 = mx + n ax2 – mx – n = 0 vô nghiệm.
3.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng y = (a - 1)x + 2 và y =(3 - a)x + 1
a) Tìm a để hai đường thẳng trên song song.
b) Tìm a để hai đường thẳng trên cắt nhau.
Giải: y = (a - 1)x + 2 (d); y = (3 - a)x + 1 (d’)
a) Để (d) // (d’) thì ú 2a = 4 ú a = 2
b) Để (d) (d’) thì a – 1 ≠ 3 – a ú a ≠ 2
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y = 12x + 5 – m cắt đồ thị hàm số y = 3x + 3 + m tại một điểm trên trục tung là: 
 A. m = -1 B. m = 1 C = m = 4
 Đáp số: B
Ví dụ 3: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị đi qua A(-2; 3) và song song với đường thẳng y = 3x – 5
Giải: Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x – 5 
 => (1)
 Lại do đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-2; 3) nên ta có: 3 = -2a + b. Kết hợp với (1) => 3 = -2.3 + b => b = 9 # 5
 Vậy hàm số cần tìm có dạng: y = 3x + 9
Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 6 (d) và y = x + 2 (d’) trên cùng mặt phẳng toạ độ. Gọi giao điểm của (d) với Oy là A của (d’) với Oy là B. Gọi giao điểm của (d) và (d’) là C.
a) Xác định toạ độ các điểm A, B, C.
b) Qua A kẻ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng (d’) tại D. Xác định toạ độ điểm D. Tính chu vi và diện tích của ACD.

Giải: 
a) Vì A nằm trên trục tung, Oy (d) = {A} => A(0; 6) 
b) Tương tự B(0; 2) 
Vì (d) (d’) = {C}; C Ox => C(-2; 0) 
b) * Từ D kẻ đường thẳng 
song song Ox cắt Oy tại A 
 => yD = 6 
* Từ D kẻ đường thẳng song song
với Oy cắt Ox tại E => xD = 4 
Vậy D (4; 6)	 
Ta có: AD = OE = 4 (đvdt) 
AC2 = OA2 + OC2 = 62 + 22 = 40 => AC = = (đvdt)
DC2 = DE2 + CE2 = 62 + 62 = 2. 36 => DC = (đvdt)
Vậy chu vi ABC là AD + DC + AC = 4 + (đvdt) 
* Từ C kẻ CK AD (K AD) => CK = OA = 6 (đvdt)
 S(ACD) = CK. AD = . 6 . 4 = 12 => S(ACD) = 12 (đvdt)
Ví dụ 5: Cho Parabol y= x2 và đường thẳng y = x + n 
a) Với giá trị nào của n thì đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt.
b) Xác định toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng nếu n = 2
Giải: y = x2 (P); y = x + n (d)
a) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ:
 x2 = x + n có 2 nghiệm phân biệt
Xét phương trình: x2 = x + n ú x2 – x + n = 0
Có = (-1)2 – 4.1.(-n) = 1 + 4n
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ú = 1 + 4n > 0 (vì a = 1 ≠ 0) ú n > 
Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt ú n > 
b) Khi n = 2 thì (d): y = x + 2
 Toạ độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình: 
 Thay (1) vào (2) ta có: x2 = x + 2 ú x2 – x – 2 = 0 (3)
GiảI phương trình (3) ta được: x1 = -1; x2 = 2
 Với x = -1 thì y = 1
 Với x = 2 thì y = 4
Vậy đường thẳng y = x + 2 cắt (P) tại hai điểm A (-1, 1) và B(2; 4)
3.3. Bài tập tự luyện:
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; -4) và song song với đường thẳng y = -3x + 1
2. Cho đường thẳng y = (m - 2)x + 3 (d1) và đường thẳng y = 2mx – 5 (d2)
a) Tìm m để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau
b) Tìm m để đường thẳng (d1) cắt đường thẳng (d2)
c) Tìm m để đường thẳng (d1) vuông góc với đường thẳng (d2)
3. Cho Parabol y = . Lập phương trình đường thẳng đi qua A(-1; -2) và tiếp xúc với parabol. Tìm toạ độ tiếp điểm.
4. Cho parabol y = và đường thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số m và n để đường thẳng đi qua A(-1; 0) và tiếp xúc với parabol. Tìm toạ độ tiếp điểm.