Luyện thi vào Lớp 10 phần Biến đổi căn thức

II . Biến đổi căn thức 
II.1 Các phép tính căn thức
1. Kiến thức cần nhớ
* tồn tại (có nghĩa) A 0
	 A với A 0
* Hằng đẳng thức =
 -A với A < 0
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) c) e) 
b) d) 
Giải:
a) có nghĩa ú 3x – 2 0 ú x 

b) có nghĩa 
 
c) có nghĩa x2 - 5x + 6 0 (x + 1) (x - 6) 0
 Lập bảng xét dấu ta có 
 
d) Ta có x2 0 x => x2 + 3 > 0 x nên có nghĩa với x.
e) có nghĩa x2 - 2 0 2 hay x hoặc x - 
Ví dụ 2 Tính
 a) b) 
Giải: 
a) Ta có: = = = (vì )
b) = = = (vì )
Ví dụ 3: Khoanh tròn vào chữ cái đầu kết quả mà em cho là đúng
a) Biểu thức 3 - có nghĩa khi:
 A. x ≥ 3 C. x > 3
 B. x ≤ - D. x < 
 b) Giá trị của biểu thức bằng 
 A. 1 - B. 
 C. D. 
Đáp số: a) B
 b) C
3. Những điều cần lưu ý
 - Muốn tìm các giá trị của x để căn thức có nghĩa ta phải giải bất phưong trình: A ≥ 0 
 + Nếu A là đa thức bậc nhất: ta phải giải bất phương trình một ẩn.
 + Nếu A là đa thức bậc hai: Ta phân tích A thành nhân tử rồi giải bất phương trình bằng cách xét dấu.
 + Nếu bất phương tình có dạng: x2 ≤ a hoặc x2 ≥ a (a - hằng số dương) ta có thể giải như sau: 
 x2 ≤ a 
 x2 ≥ a x ≥ hoặc 
 - Nếu A không phân tích được thành nhân tử, ta chứng minh biểu thức A luôn có giá trị không âm ( có nghĩa ) hoặc A luôn có giá trị âm ( không có nghĩa )
4. Bài tập tự luyện
1. Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
 a) c) e) 
 b) d) g) 
2. Tính:
 a) c) 
 b) 
3. Rút gọn các biểu thức:
 a) (x ≥ 0; x ≠ 49) c) (x ≠ 3)
 b) 

 II.2 Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương
1. Kiến thức cần nhớ
+ Khai phương một tích: Nếu A1; A2, …… ; An ≥ 0
 Thì 
+ Khai phương một thương: Nếu A ≥ 0; B > 0 thì 
2. Một số vấn đề cần lưu ý 
+ A ≥ 0 thì ()2 = = A
+ Với A, B ≥ 0 thì: 
 và (A ≥ B)
 (Chứng minh 2 bất đẳng thức trên bằng cách bình phương 2 vế)
3. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính
a) c) (a ≥ 3) e) (m; n > 0)
b) d) (b < 0)
Giải:
a) = = 8
b)
c) 2 (a - 3) (Vì a ≥ 3)
d) = b (b - 1)
 Vậy b (b -1)
e) = = (vì n > 0)
4. Bài tập tự luyện
1. Tính: 
a) ) : d) 
b) e) 
c)
2. Rút gọn:
A = (x, y ≥ 0) C = (x ≥ 4)
B = (x, y > 0) D = 
 (x 1; y 1; y > 0)
3. Tìm x biết:
 a) b) 

II.3 Các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
1. Kiến thức cần nhớ
+ Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn: (B 0)
+ Đưa một thừa số vào trong dấu căn: 
 với A ≥ 0; B ≥ 0 ; với A < 0; B ≥ 0
+ Khử mẫu của biểu thức lấy căn: với ; B 0
+ Trục căn thức ở mẫu: 
 +) (B > 0) +) (B 0; B ≠ C2)
 +) (B ≥ 0; C ≥ 0; B ≠ C)
2. Các ví dụ
Ví dụ 1:
a) Cho các số và . Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
 A. ; B. ; C. 
b) Cho các số: và . Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
 A. ; B. C. 
 Đáp số: a) B b) A
c) Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
 A. ; B. với x C. với x > 0
 Đáp số: c) C
Ví dụ 2 Rút gọn các biểu thức sau
a) c) (x ≥ 0)
b) d) (x ≠ )
 Giải:
a) 
b) 
c) (x ≥ 0) = 
d) 
 
 = nếu 
3. Những vấn đề cần lưu ý
 Khi khử mẫu của biểu thức lấy căn không nhất thiết phải nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy căn với mẫu mà ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu với số (biểu thức) mà mẫu có dạng bình phương của một biểu thức.
Ví dụ: 
 1. 
 2. = 
 Việc đưa một thừa số ra ngoài dấu căn đôi khi ta phải biến đổi biểu thức lấy căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được.
Ví dụ: (ab ≥ 0) = = = 
4. Bài tập tự luyện
1. Tính giá trị của biểu thức sau:
 a) b) 
 c) (xy ≥ 0; y ≠ 0) tại x = 2; y = 1
 d) e) 
2. So sánh:
 a) với b) với 
3. Rút gọn các biểu thức sau:
 a) (a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b) 
 b) (b # 0; a # b)
4. Tìm x biết:
 a) b) 
II. 4 Thực hiện phép tính. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
1. Kiến thức cần nắm
 + Với m, p, q, r R; A Q+ thì p; q; r được gọi là các căn đồng dạng.
 + 
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) với a 0 
b) với m > 0; n > 0 
c) 
d) 
e) 
Giải:
a) 
 = (vì a ≥ 0) = 
 = 
b) = (vì n > 0)
 = = 
c) 
 
 
d) = 
 = 
e) 
 = = 
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) (1)
b) (2)
Giải:
a) ĐKXĐ: x 0
PT (1) Û 

 Û 
 Û 
 Û ú ú 2x = 4 ú x = 2 (t/m)
 Vậy S = {2}
b) PT (2) Û ; ĐKXĐ: x ≥ 3
 Û 
 Û ú ú x – 3 = 25 
 Û x – 3 = 28 (t/m)
 Vậy S = {28}
Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) 
b) : (x > 0; y > 0; x ≠ y) 
Giải:
a) Biến đổi vế trái ta có:

 = = 
 = 
 So sánh VT và VP ta thấy đẳng thức đã cho luôn đúng.
b) Biến đổi vế trái ta được:
 : = : 
 = : 
 = : 
 = : = 1 
 So sánh VT và VP ta thấy đẳng thức đã cho luôn đúng.
Ví dụ 4: Cho biểu thức
 B = 
a) Rút gọn
b) Tính giá trị của B nếu: a = 
Giải: 
a) B = 
 = 
 Vậy B = 
b) a = 
 Khi đó: 1 – a = 
 B = ()
3. Bài tập tự luyện:
1. Thực hiện các phép tính sau:
 a) d) 
 b) e) 
 c) 
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
 a) b) 
 c) (a, b > 0; a ≠ b)
 d) = 1 – a (a > 0; a ≠ 1) 
 e) 
3. Giải các phương trình sau:
 a) c) 
 b) 
4. Rút gọn các biểu thức sau:
 a) b) (x ≥ 4)
5. Cho biểu thức:
 A = 
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị của x để A > 0
6. Cho biểu thức: B = 
a) Rút gọn
b) Tính B khi x = 3 - 2; y = 
c) Chứng minh