Lý thuyết Lượng giác - Ôn thi tốt nghiệp THPT

 NguyÔn Quèc Hoµn 0917 688 567 NguyÔn Quèc Hoµn 0917 688 567 
 H 1 H 2 
l-îng gi¸c
1. C«ng thøc l-îng gi¸c c¬ b¶n 
+) 
2 2cos sin 1    
+) 1 + tan2 = 
2
1
k , k
2cos
 
    
 
Z 
+) 1 + cot2 = 
2
1
( k , k )
sin
  

Z 
+) tan . cot = 1 
k
, k
2
 
   
 
Z . 
2. Gi¸ trÞ l-îng gi¸c cña c¸c cung cã liªn quan ®Æc biÖt 
 GTLG 
 Cung () 
sin 
cos 
tan 
cot 
§èi nhau ( = –) –sin cos –tan –cot 
Bï nhau ( =  – ) sin –cos –tan –cot 
H¬n kÐm  ( =  + ) –sin –cos tan cot 
Phô nhau ( = 
2

 – ) 
cos 
sin 
cot 
tan 
H¬n kÐm 
2

 ( = 
2

 + ) 
cos 
–sin 
–cot 
–tan 
sin( + k2) = sin, cos( + k2) = cos,  k  Z 
 tan( + k) = tan, cot( + k) = cot,  k  Z. 
3. C«ng thøc céng 
+) cos(  ) = cos cos  sin sin 
+) sin(  ) = sin cos  cos sin 
+) tg(  ) = 
tg tg
1 tg tg
  
 
 (Víi ®iÒu kiÖn lµ biÓu thøc cã nghÜa) 
+) cotg(  ) = 
1 tg tg
tg tg
 
  

 (Víi ®iÒu kiÖn lµ biÓu thøc cã nghÜa). 
4. C«ng thøc nh©n ®«i 
+) sin2 = 2 sin cos 
+) cos2 = cos2 – sin2 = 2cos2 – 1 = 1 – 2sin2 
+) tan2 = 
2
2 tan
1 tan

 
 (Víi ®iÒu kiÖn lµ biÓu thøc cã nghÜa) 
+) cot2 = 
2cot 1
2cot
 

 (Víi ®iÒu kiÖn lµ biÓu thøc cã nghÜa). 
5. C«ng thøc nh©n ba 
+) sin3 = 3sin – 4sin3 +) cos3 = 4cos3 – 3cos 
+) tan3 = 
3
2
3tan tan
1 3tan
  
 
 (Víi ®iÒu kiÖn lµ biÓu thøc cã nghÜa). 
6. C«ng thøc h¹ bËc 
+) cos2 = 
1 cos 2
2
 
 +) sin2 = 
1 cos 2
2
 
+) tan2 = 
1 cos 2
1 cos 2
 
 
 k , k
2
 
     
 
Z 
+) cos3 = 
3cos cos3
4
  
 +) sin3 = 
3sin sin 3
4
  
+) tan3 = 
3sin sin 3
3cos cos3
  
  
 (Víi ®iÒu kiÖn lµ biÓu thøc cã nghÜa). 
7. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng 
+) cos.cos = 
1
[cos( ) cos( )]
2
     
+) sin.sin = 
1
[cos( ) cos( )]
2
    
+) sin.cos = 
1
[sin( ) sin( )]
2
    . 
8. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch 
+) cos + cos = 2cos cos
2 2
  
+) cos – cos = –2sin sin
2 2
   
+) sin + sin = 2sin cos
2 2
  
+) sin – sin = 2cos sin
2 2
   
+) tan  tan = 
sin( )
cos .cos
 
 
 ; k , k
2
 
      
 
Z . 
9. B¶ng x¸c ®Þnh dÊu cña c¸c gi¸ trÞ l-îng gi¸c 
 PhÇn t- 
 Gi¸ trÞ l-îng gi¸c 
I 
II 
III 
IV 
 cos + – – + 
 sin + + – – 
 tan + – + – 
 cot + – + – 
10. Gi¸ trÞ l-îng gi¸c cña c¸c cung ®Æc biÖt 
 
0 (00) 
6

 (300) 
4

 (450) 
3

 (600) 
2

 (900) 
sin 
0 
1
2
 2
2
3
2
1 
cos 
1 3
2
2
2
1
2
0 
tan 
0 
1
3
1 
3 
 
cot 
 
3 
1 
1
3
0 
11. §æi ®¬n vÞ 
a (®é) vµ  (rad) 180 . a =  . . 
12. §é dµi cña mét cung trßn 
 Cung cã sè ®o  rad cña ®-êng trßn b¸n kÝnh R cã ®é dµi  = R . 
13. Gi¸ trÞ l-îng gi¸c cña cung  
sin = OK 
cos = OH 
tan = 
sin
cos


cot = 
cos
sin


tan = AT 
cot = BS 
–1 ≤ sin ≤ 1 
–1 ≤ cos ≤ 1. 
14. §-êng trßn ®Þnh h-íng, 
cung l-îng gi¸c, gãc l-îng gi¸c vµ 
®-êng trßn l-îng gi¸c. 
 x 
 y 
 A 
 A’ 
 B’ 
 B 
 O 
 M 
 K 
 H 
 
 t 
 t’ 
 s’ 
 s 
 S 
 T 
 NguyÔn Quèc Hoµn 0917 688 567 NguyÔn Quèc Hoµn 0917 688 567 
 H 3 H 4 
15. BiÓu diÔn sinx, cosx, tanx vµ cotx theo t = 
x
tan
2
sinx = 
2
2t
1 t
, cosx = 
2
2
1 t
1 t


,  x k2 , k   Z 
tanx = 
2
2t
1 t
x k2
, k
x k
2
   
     
 
Z 
cotx = 
21 t
2t

  x k , k  Z . 
16. BiÕn ®æi biÓu thøc asinx + bcosx 
asinx + bcosx = 
2 2
2 2 2 2
a b
a b sinx cosx
a b a b
 
  
 
  
+) §Æt 
2 2 2 2
a b
cos , sin
a b a b
   
 
, khi ®ã 
asinx + bcosx =  2 2a b sinxcos cosxsin    = 2 2a b sin(x )  
+) §Æt 
2 2 2 2
a b
sin , cos
a b a b
   
 
, khi ®ã 
asinx + bcosx =  2 2a b sinxsin cosxcos    = 2 2a b cos(x )  
+) §Æc biÖt: sin cos 2 sin 2 cos
4 4
   
       
   
x x x x
 
 sin 3 cos 2sin 2cos
3 6
   
       
   
x x x x
 
. 
17. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn 
+) 
2
sin sin
2
 
  
  
Z
x k
x k
x k
 

  
arcsin 2
sin
arcsin 2
 
  
  
Z
x a k
x a k
x a k

 
2
sin sin
2
 
  
  
Z
u v k
u v k
u v k

 
+) 
2
cos cos
2
 
  
  
Z
x k
x k
x k
 

 
cos 2
cos
cos 2
 
  
  
Z
x arc a k
x a k
x arc a k


2
cos cos
2
 
  
  
Z
u v k
u v k
u v k


+) tanx = tan x = + k  Zk   
 tan arctan    Zx a x a k k 
 tan tan   u v u v k k Z 
+) cotx = t x = + k   Zco k   
 ar     Zx a x a k kcot ccot 
     Zu v u v k kcot cot . 
18. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc 
+) asin
2
x + bsinx + c = 0 (a ≠ 0). Ñaët sinx = t, ñk | | 1t 
+) acos
2
x + bcosx + c = 0 (a ≠ 0). Ñaët cosx = t, ñk | | 1t 
+) atan
2
x + btanx + c = 0 (a ≠ 0). Ñaët tanx = t 
+) acot
2
x + bcotx + c = 0 (a ≠ 0). Ñaët cotx = t. 
19. Phöông trình ®¼ng cÊp bËc hai ®èi víi sinx vµ cosx 
a sin
2
x + b sinxcosx + c cos
2
x = d (a
2
 + b
2
 + c
2
 ≠ 0) 
C¸ch 1: H¹ bËc sin2x, cos2x vµ dïng CTN§ sinxcosx 
C¸ch 2: B-íc 1: xeùt cosx = 0. B-íc 2: xeùt cos 0x , chia hai veá 
cuûa phöông trình cho cos
2
x 
Chó ý: NÕu d = 0, gäi lµ: ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai ®èi víi 
sinx vµ cosx. PT ®¼ng cÊp bËc ba, bËc bèn còng gi¶i t-¬ng tù. 
20. Ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx: asinx + bcosx = c 
C¸ch 1: §Æt cos = 
2 2
a
a b
 vµ sin = 
2 2
b
a b
2 2 sin( )   a b x c 
C¸ch 2: sin cos
 
  
 
b
a x x c
a
 §Æt tan
b
a
 
 sin cos .tan  a x x c sin( ) cos  
c
x
a
  
C¸ch 3: §Æt tan
2

x
t (Chó ý kiÓm tra x k2 , k   Z tr-íc) 
ta cã 
2
2 2
2 1
sin ; cos
1 1

 
 
t t
x x
t t
 2( ) 2 0     b c t at b c 
§iÒu kiÖn ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm: 2 2 2 a b c . 
21. Ph-¬ng tr×nh ®èi xøng, ph¶n ®èi xøng víi sinx vµ cosx 
a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x + cosx, 2t 
a(sin x – cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x – cosx, 2t . 
22. Mét sè c«ng thøc kh¸c 
2
tan cot
sin2
 x x
x
, cotx - tanx = 2cot2x , cotx + coty = 
sin(x y)
sin x sin y

cotx – coty = 
sin(y x)
sin x sin y

 (Víi ®iÒu kiÖn lµ c¸c biÓu thøc cã nghÜa). 
23. Hµm sè l-îng gi¸c 
+) Haøm soá sin: 
sin :
sin

x y x
R R
. Taäp xaùc ñònh D = R. 
Taäp giaù trò:  1 ; 1 . Laø haøm soá leû. Haøm soá tuaàn hoaøn vôùi chu kyø 
2 . §ång biÕn trªn mçi kho¶ng k2 ; k2
2 2
  
     
 
 vµ nghÞch 
biÕn trªn mçi kho¶ng 
3
k2 ; k2
2 2
  
    
 
, k  Z. Cã ®å thÞ lµ 
mét ®-êng h×nh sin. 
+) Haøm soá c«sin: 
: 
x y x
R Rcos
cos
. Taäp xaùc ñònh D = R. 
Taäp giaù trò:  1 ; 1 . Laø haøm soá ch½n. Haøm soá tuaàn hoaøn vôùi chu 
kyø 2 . §ång biÕn trªn mçi kho¶ng  k2 ; k2   vµ nghÞch 
biÕn trªn mçi kho¶ng  k2 ; k2   , k  Z. Cã ®å thÞ lµ mét 
®-êng h×nh sin. 
+) Haøm soá tang: 
tan :
tan


D
x y x
R
. Taäp xaùc ñònh 
\
2
 
   
 
ZD R k k

 . Taäp giaù trò R. Laø haøm soá leû. Haøm soá 
tuaàn hoaøn vôùi chu kyø  . §ång biÕn trªn mçi kho¶ng 
k ; k
2 2
  
     
 
, k  Z. Cã ®å thÞ nhËn mçi ®-êng th¼ng 
x = k
2

  , k  Z lµm mét ®-êng tiÖm cËn. 
+) Haøm soá c«tang: 
:
tan


D
x y x
Rcot
. Taäp xaùc ñònh 
 \ ZD R k k . Taäp giaù trò R. Laø haøm soá leû. Haøm soá tuaàn 
hoaøn vôùi chu kyø  . NghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng  k ; k   , 
k  Z. Cã ®å thÞ nhËn mçi ®-êng th¼ng x = k , k  Z lµm mét 
®-êng tiÖm cËn.