Lý thuyết luyện thi (áp dụng nhanh làm trắc nghiệm) môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 1: Khảo sát một số hàm số thường gặp

NVH 0943277769 Trang 1/18 
LÝ THUYẾT LUYỆN THI (ÁP DỤNG NHANH LÀM TRẮC NGHIỆM) 
 CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP 
I. HÀM BẬC BA 3 2 ( 0)y ax bx cx d a có đạo hàm 2' 3 2y ax bx c TXĐ: D 
1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: 
Cách 1: Tính y‟, giải pt: y‟ =0. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của y‟ rồi từ đó suy ra khoảng đồng 
biến; khoảng nghịch biến. Chú ý: Nếu phương trình y‟=0 vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép thì nếu a > 0 ta 
kết luận hàm số đồng biến trên . Còn a < 0 ta kết luận hàm số nghịch biến trên . 
Cách 2: Bấm Mode 7 thử đáp án (Chú ý nếu ;a b thì Start 0,001;a And 0,001;b Step 
29
b a 
. 
Cách 3: Shift ( ) x X
d
f x
dx
 CALC thử nhiều giá trị. Nếu dương thì đồng biến, âm thì nghịch biến. 
2) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số là tìm , CCĐ Tx x : Tính đạo hàm y‟, giải phương 
trình y‟=0 tìm x, lập BBT suy ra , CCĐ Tx x . Nếu phương trình: y‟=0 vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép thì ta kết 
luận hàm số không có cực trị. 
3) Tìm giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu) của hàm số là tìm , CCĐ Ty y : Tính đạo hàm y‟, giải 
phương trình y‟= 0 tìm x, rồi suy ra y (y có giá trị lớn là CĐy , y có giá trị bé là CTy ) 
4) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số là tìm cặp số ( ; ), ( ; )
CĐCĐ CT CT
x y x y : Tính 
đạo hàm y‟, giải phương trình y‟= 0 tìm x, rồi suy ra y, rồi suy ra cặp số cần tìm. 
5) Tìm điểm uốn hay tâm đối xứng: tính y‟, tính y‟‟, giải pt: '' 0 ... ...y x y cặp số (x;y) 
6) Tìm m để hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a đồng biến trên : Tính y‟, tính 
'y
, cho 
' 0 ...y m 
7) Tìm m để hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a nghịch biến trên : Tính y‟, tính 'y , cho ' 0 ...y m 
8) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a có cực trị (có CĐ, CT): tính 'y , cho ' 0 ...y m 
9) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a có không có cực trị (không có CĐ, CT): 
tính 
'y
 cho 
' 0 ...y m 
10) Hàm số đạt cực đại tại 
0
0
0
'( ) 0
...
''( ) 0
y x
x x m
y x
; Đạt cực tiểu tại
0
0
0
'( ) 0
...
''( ) 0
y x
x x m
y x
 Hàm số đạt cực trị tại 
0
0
0
'( ) 0
...
''( ) 0
y x
x x m
y x
11) Đồ thị hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a có tính chất: 
a) Luôn cắt trục hoành. b) Luôn có tâm đối xứng (điểm uốn). c) Không có tiệm cận. 
12) Sự tương giao. (số nghiệm là số giao điểm) 
a) Giao với trục hoành (Ox): cho y = 0, bấm máy giải pt: 3 2 0 ...ax bx cx d x 
b) Giao với trục tung (Oy): cho x=0 y d 
c) Giao với ( )y g x : cho 3 2 ( ) ...ax bx cx d g x x 
NVH 0943277769 Trang 2/18 
13) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a 
Ta tính , CCĐ Ty y của hàm số
3 2 ( 0)y ax bx cx d a 
- Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi CCT Đy m y 
- Cắt nhau tại 1 điểm phân biệt khi CTm y hoặc CĐm y 
- Tiếp xúc nhau hay có 2 điểm chung khi CTm y hoặc CĐm y 
14) Nhận dạng đồ thị. Nhận dạng đồ thị theo thứ tự dựa vào: hình dạng đồ thị thuộc hàm loại nào dấu của 
hệ số a Cực trị (nghiệm phương trình y‟) giao điểm với trục tung Oy giao điểm với trục hoành Ox 
(Đồ thị luôn đi từ trái qua phải. Đi lên thì đồng biến, đi xuống thì nghịch biến.) 
15) Cho đồ thị hàm số: y f x 
Đồ thị hàm số y f x là phần bên phải của đồ thị hàm số y f x và phần đối xứng của nó qua trục Oy. 
Đồ thị hàm số y f x là phần trên trục hoành của đồ thị hàm số y f x và phần đối xứng của phần dưới 
trục hoành của đồ thị hàm số y f x qua trục hoành Ox. 
II. HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƢƠNG 4 2 ( 0)y ax bx c a TXĐ: D 
1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: (Bấm máy giống hàm bậc 3) 
Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của y‟ rồi từ đó suy ra khoảng đồng biến; khoảng nghịch biến. 
2) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số là tìm , CCĐ Tx x : Tính đạo hàm y‟, giải phương 
trình y‟=0 tìm x, lập Bảng biến thiên rồi suy ra , CCĐ Tx x . 
3) Tìm giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu) của hàm số là tìm , CCĐ Ty y : Tính đạo hàm y‟, giải 
phương trình y‟=0 tìm x, rồi suy ra y (y có giá trị lớn là CĐy , y có giá trị bé là CTy ) 
4) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số là tìm cặp số ( ; ), ( ; )
CĐCĐ CT CT
x y x y : 
Tính đạo hàm y‟, giải phương trình y‟=0 tìm x, rồi suy ra y, rồi suy ra cặp số cần tìm. 
5) Tìm điểm uốn: tính y‟, tính y‟‟, giải pt: '' 0 ... ...y x y cặp số (x;y) 
6) Tìm m để hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a có 3 cực trị ( có CĐ, CT): cho . 0 ...a b m 
7) Tìm m để hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a có 1 cực trị: cho . 0 ...a b m 
NVH 0943277769 Trang 3/18 
8) Tìm m để hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a có 1 CĐ, 2 CT): cho 
. 0 0
...
0 0
a b a
m
a b
9) Tìm m để hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a có 3 CT tạo thành 1 vuông cân 38 0 ...a b m 
10) Tìm m để hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a có 3 CT tạo thành 1 đều 324 0 ...a b m 
11) Tìm m để hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a có 2 CĐ, 1 CT): cho 
. 0 0
...
0 0
a b a
m
a b
12) Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a có 2 điểm uốn: cho . 0 ...a b m 
13) Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a không có điểm uốn: cho . 0 ...a b m 
14) Đồ thị hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a có tính chất: 
a) Luôn có cực trị. b) Nhận trục tung Oy làm trục đối xứng (không có tâm đối xứng). c) Không có tiệm cận. 
15) Sự tương giao. (số nghiệm là số giao điểm) 
a) Giao với trục hoành (Ox): cho y=0, bấm máy giải pt: 4 2 0ax bx c xem 2x là t bấm máy phương trình 
bậc hai với ẩn t. Chú ý chỉ nhận những 0t . 
b) Giao với trục tung (Oy): cho x=0 y c 
c) Giao với ( )y g x : cho 4 2 ( ) ...ax bx c g x x 
16) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đths 4 2 ( 0)y ax bx c a 
Ta tính , CCĐ Ty y của hàm số
4 2 ( 0)y ax bx c a 
- Cắt nhau tại 4 điểm phân biệt CCT Đy m y 
- Cắt nhau tại 2 điểm phân biệt CTm y nếu a 0 
- Tiếp xúc nhau hay có 3 điểm chung khi CTm y hoặc CĐm y 
- Đths 4 2 ( 0)y ax bx c a nằm phía trên trục hoành khi 0CTy (không cắt trục hoành) 
- Đths 4 2 ( 0)y ax bx c a nằm phía dưới trục hoành khi 0CĐy (không cắt trục hoành) 
17) Nhận dạng đồ thị. Nhận dạng đồ thị theo thứ tự dựa vào: hình dạng đồ thị thuộc hàm loại nào dấu của 
hệ số a nghiệm phương trình y‟ giao điểm với trục tung Oy giao điểm với trục hoành 
(Đồ thị luôn đi từ trái qua phải. Đi lên thì đồng biến, đi xuống thì nghịch biến.) 
NVH 0943277769 Trang 4/18 
III. HÀM NHẤT THỨC 
ax b
y
cx d
 Có đạo hàm 
2
'
( )
ad bc
y
cx d
 TXĐ: \
d
D
c
 
 
 
1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
ax b
y
cx d
: Tính 
2
'
( )
ad bc
y
cx d
Nếu 0 ' 0ad bc y suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ; ; ;
d d
c c
Nếu 0 ' 0ad bc y suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng ; ; ;
d d
c c
2) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận khi 0 ...ad bc m 
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng 
d
x
c
 ; đường tiệm cận ngang 
a
y
c
 . 
3) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng ;
d a
c c
4) Tìm m để hàmsố
ax b
y
cx d
đồng biến trên từng khoảng xác định:Tính
2
'
( )
ad bc
y
cx d
cho 0 ..ad bc m 
5) Tìm m để hsố
ax b
y
cx d
nghịch biến trên từng khoảng xác định:Tính
2
'
( )
ad bc
y
cx d
cho 0 ..ad bc m 
6) Tìm m để hàm số 
ax b
y
cx d
đồng biến trên khoảng 0;x : cho 
0
0
...
ad bc
md
x
c
7) Tìm m để hàm số 
ax b
y
cx d
đồng biến trên khoảng 0; x : cho 
0
0
...
ad bc
md
x
c
8) Tìm m để hàm số 
ax b
y
cx d
nghịch biến trên khoảng 0;x : cho 
0
0
...
ad bc
md
x
c
9) Tìm m để hàm số 
ax b
y
cx d
nghịch biến trên khoảng 0; x : cho 
0
0
...
ad bc
md
x
c
10) Đồ thị hàm số 
ax b
y
cx d
 có tính chất: a) Không có cực trị. b) Có tâm đối xứng ;
d a
c c
. 
11) Sự tương giao. (số nghiệm là số giao điểm) 
a) Giao với trục hoành (Ox): cho y=0, bấm máy giải pt: 0 ;0
b b
ax b x A
a a
b) Giao với trục tung (Oy): cho x=0 0;
b b
y B
d d
c) Giao với ( )y g x : cho ( ) ( ).( ) ...
ax b
g x ax b g x cx d x
cx d
12) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đths 
ax b
y
cx d
: cho 
d
m
c
 hoặc 
d
m
c
 ; Không cắt thì cho 
d
m
c
NVH 0943277769 Trang 5/18 
13) Tìm m hoặc n để đường thẳng y mx n cắt đths 
ax b
y
cx d
 tại 2 điểm phân biệt: Lập pt:
ax b
mx n
cx d
Đưa về phương trình bậc 2 chứa tham số. Cho 0 ...m Chú ý: 
d
x
c
 không phải là nghiệm của pt. 
14) Nhận dạng đồ thị: Nhận dạng đồ thị theo thứ tự dựa vào: hình dạng đồ thị thuộc hàm loại nào dấu y‟ 
(dấu ad-bc) giao điểm với trục tung Oy giao điểm với trục hoành Ox 
 XÉT KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN 
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên (a; b) 
+ Nếu / ( ) 0f x ( , )x a b thì f(x) đồng biến trên khoảng đó. Nếu
/
( ) 0f x ( , )x a b thì f(x) nghịch biến trên ( , )a b . 
+ Nếu / ( ) 0f x ( , )x a b thì f(x) đồng biến trên khoảng đó. Nếu
/
( ) 0f x ( , )x a b thì f(x) nghịch biến trên ( , )a b . 
Chú ý: Dấu bằng chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm. 
HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH 
* Tìm khoảng đồng biến và nghịc biến của hàm số ( )y f x trên TXĐ 
Cách 1: Bấm Mode 7 thử đáp án (Chú ý nếu ;a b thì start 0,001;a and 0,001;b step 
29
b a 
). 
Nếu f(x) tăng thì đồng biến, f(x) giảm thì đồng biến. 
Cách 2: Bấm Shift ( ) x X
d
f x
dx
 CALC thử giá trị ở từng khoảng. 
Nếu dương thì đồng biến, âm thì nghịch biến. Nên bấm CALC thử nhiều giá trị. 
 TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ 
 Số M được gọi là GTLN của hàm số y f x trên D 
 0 0
:
:
x D f x M
x D f x M
 
 
 Số m được gọi là GTNN của hàm số y f x trên D 
 0 0
:
:
x D f x m
x D f x m
 
 
HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH 
1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số ( )y f x trên đoạn  ;a b 
Bấm MODE sau đó chọn 7 (TABLE) Nhập biểu thức f(x) vào máy “=” nhập Start = a; End = b; 
Step 
29
b a 
 Dò kết quả. 
2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số ( )y f x trên khoảng ;a b
Bấm MODE sau đó chọn 7 (TABLE) Nhập biểu thức f(x) vào máy “=” nhập Start 0,001;a 
And 0,001;b Step 
29
b a 
 Dò kết quả. 
NVH 0943277769 Trang 6/18 
 TÌM CÁC ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ .y f x 
 1 1lim
x
f x y y y
 là TCN của đồ thị hàm số .y f x ( Nhập hàm bấm CALC 1010 ) 
 2 2lim
x
f x y y y
 là TCN của đồ thị hàm số .y f x ( Nhập hàm bấm CALC 1010 ) 
0
0lim
x x
f x x x
 là TCĐ của đồ thị hàm số .y f x ( Nhập hàm bấm CALC 0( 0,001)x ) 
0
0lim
x x
f x x x
 là TCĐ của đồ thị hàm số .y f x ( Nhập hàm bấm CALC 0( 0,001)x ) 
( Chú ý: Tìm TCĐ ta thường cho mẫu bằng 0, giải pt đc: 
0x x . Thay 0x x vào tử nếu tử bằng 0 hoặc không 
xác định thì 0x x không phải là TCĐ. Nếu tử xác định khác 0 thì 0x x là TCĐ của đồ thị hàm số.) 
IV. HÀM SỐ ( )y f x
 Đạo hàm: 
1
' '( ). ( )y f x f x
+ Nếu nguyên dương: ĐK là: ( )f x xác định. 
( )f x xác định nghĩa là hàm căn thì biểu thức trong căn 0. Hàm phân thức thì mẫu 0. 
+ Nếu nguyên âm: ĐK là: ( ) 0.f x 
+ Nếu không nguyên: ĐK là: ( ) 0f x . 
+ Nếu 0 thì đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang. Nhận trục Oy làm tiệm cận đứng. 
+ 0 thì hàm số luôn đồng biến. 0 thì hàm số luôn nghịch biến. 
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1;1). 
V. HÀM SỐ (0 1)xy a a 
TXĐ ( ; ) 
Tập giá trị (0; ) 
Đạo hàm ' lnxy a a 
Chiều biến thiên 1:a hàm số luôn đồng biến. 0 1:a hàm số luôn nghịch biến 
Tiệm cận Nhận trục Ox làm tiệm cận ngang 
Đồ thị Luôn đi qua các điểm (0;1) và (1;a). Đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành 
VI. HÀM SỐ log (0 1)ay x a 
TXĐ (0; ) 
Tập giá trị ( ; ) 
Đạo hàm 1
'
ln
y
x a
Chiều biến thiên 1:a hàm số luôn đồng biến. 0 1:a hàm số luôn nghịch biến 
Tiệm cận Nhận trục Oy làm tiệm cận đứng 
Đồ thị Luôn đi qua các điểm (1;0) và (a;1). Đồ thị luôn nằm phía bên phải trục tung 
+ Đồ thị hàm số xy a và log (0 1)ay x a đối xứng nhau qua đường thẳng .y x 
+ ĐK của hàm số log ( )ay f x ; ln ( )y f x và log ( )y f x là: ( ) 0.f x 
NVH 0943277769 Trang 7/18 
+ Công thức đạo hàm: 
'
1'. .u u u ; 
'
1 'u
u u
 ; 
' '
2
u
u
u
 ; 
'
'.u ue u e ; 
'
'. .lnu ua u a a ; 
' '
ln
u
u
u
 ; 
' '
log
ln
a
u
u
u a
 ; 
'
sin '.cosu u u ; 
'
s '.sinco u u u ; 
2
'
(tan ) ' ;
cos
u
u
u
2
'
(cot ) '
sin
u
u
u
+ Chú ý: ( ) ( ) logf x aa b f x b ; log ( ) ( )
b
a f x b f x a 
;( 1)
lim ;
0;(0 1)
x
x
a
a
a 
0;( 1)
lim ;
;(0 1)
x
x
a
a
a 
0
;( 1)
lim(log ) ;
;(0 1)
a
x
a
x
a 
;( 1)
lim (log )
0;(0 1)
a
x
a
x
a 
 CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 
1) Công thức lũy thừa 
 Cho a > 0, b > 0 và ,m n . Khi đó 
.m n m na a a ; .( )m n m na a ; ( ) .n n nab a b ; 
m
m n
n
a
a
a
 ; 
m
n m na a ; 
m m
m
a a
b b
; 
1 n
n
a
a
 ; 
1n
n
a
a 
 ; 
n n
a b
b a
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0)f x g xa a f x g x a 
 Nếu a>1 thì ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x 
 Nếu 0 < a < 1 thì ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x 
2) Công thức lôgarit 
 Với các điều kiện 0 1; 0; 0; 0a b m n ta có: 
loga b a b
 log 1 0a log 1a a loga a
loga ba b log loga ab b
1
log logaa b b 
 log logm
n
aa
n
b b
m
log ( . ) log loga a am n m n ; 
log
log ;(0 1;0 1; 0)
log
c
a
c
b
b a c b
a
1
log ;(0 1;0 1)
log
a
b
b a b
a
 log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x với 0 1.a 
 Nếu a>1 thì log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x 
 Nếu 0<a<1 thì log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x 
3) Phƣơng trình mũ Phương pháp đưa về cùng cơ số: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x 
4) Phƣơng trình lôgarit Phương pháp đưa về cùng cơ số: 
( ) 0, ( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x g x
f x g x
f x g x
5) Bất phƣơng trình mũ, bất phƣơng trình lôgarit Sử dụng MÁY TÍNH CASIO 
HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH 
NVH 0943277769 Trang 8/18 
1. Tìm tập xác định của hàm số log ( )ay f x Tương tự cho các hàm số: ln ( ); log ( )y f x y f x 
A. ;a b B.  ;a b C. ;a D. ;b 
+ Thử A: Nhập log ( )a f x rồi ấn CALC 1giá trị lớn hơn a, 1giá trị bé hơn b, CALC 1giá trị ở giữa a và b. 
+ Thử B: Nhập log ( )a f x rồi ấn CALC giá trị a, CALC 1giá trị bé hơn b, và CALC 1giá trị ở giữa a và b. 
+ Thử C:Nhập log ( )a f x rồi ấn CALC 1giá trị lớn hơn a, CALC giá trị 1000, và 1giá trị ở giữa chúng. 
+ Thử D: Nhập log ( )a f x rồi ấn CALC giá trị -1000, CALC giá trị b,và CALC 1giá trị ở giữa chúng. 
CHÚ Ý: Đáp án nào có chỉ cần có 1 giá trị mà máy không xử lý ra kết quả thì loại. 
2. Giải bất phƣơng trình mũ hoặc logarit dạng: ( ) ( )f x g x 
B1: Chuyển vế về ( ) ( ) 0f x g x (Luôn chuyển để vế phải là 0) 
B2: Nhập hàm ( ) ( )f x g x rồi bấm CALC thử giống mục 1. 
Chú ý: do BPT 0 nên chọn đáp án nào mà kết quả bấm CALC ra đều 0 . 
Tƣơng tự: Nếu BPT 0 thì chọn đáp án nào mà kết quả bấm CALC ra đều 0 . 
Nếu BPT 0 thì chọn đáp án nào mà kết quả bấm CALC ra đều 0 . 
Nếu BPT 0 thì chọn đáp án nào mà kết quả bấm CALC ra đều 0 . 
 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 
I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 
1) Công thức nguyên hàm 
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng 
dx x C . , a dx ax C a 
1
, 1
1
x
x dx C 
11 ( )
( ) .
1
ax b
ax b dx C
a
ln , x 0 
dx
x C
x
1
.ln 
dx
ax b C
ax b a
x xe dx e C 1 . 
ax b ax be dx e C
a
ln
x
x aa dx C
a
1
.
ln
 
 
x
x aa dx C
a
cos sin xdx x C 1cos( ) .sin( ) ax b dx ax b Ca 
sin cos xdx x C 1sin( ) .cos( ) ax b dx ax b Ca 
2
1
tan
cos
 dx x Cx 2
1 1
tan( )
cos ( )
dx ax b C
aax b
2
1
sin
 dx cotx Cx 2
1 1
( )
sin ( )
dx cot ax b C
aax b
NVH 0943277769 Trang 9/18 
2) Công thức tích phân 
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a 
3) Phƣơng pháp đổi biến số Nhớ: Đổi biến thì phải đổi cận. 
A. Dạng 1: Tính I =  
'( ) ( ) 
b
a
f x x dx Đặt '( ).t x dt x dx 
 Đổi cận: 
( )
( )
x a t a
x b t b
 I = 
( )
( )
( )
( ). ( )
( )
b
a
b
f t dt F t
a 
Ví dụ: Nếu cho 
b
a
I f x dx yêu cầu: 
a) Tính 
/
1
/k
.
b k
a
I f k x dx thì ta đặt 
dt
t kx dx
k
 và đổi cận ta sẽ được 1
1 1 1
.
b b
a a
I f t dt f x dx I
k k k
b) Tính 2
ka
kb
x
I f dx
k
 thì ta đặt .
x
t dx k dt
k
 và đổi cận ta sẽ được 2 . .
b b
a a
I k f t dt k f x dx k I 
* Chú ý: Thông thường các ta đặt t là căn, mũ, mẫu. 
4) Phƣơng pháp tích phân từng phần 
 * Công thức tính: ( ) 
b b b
b
a
a a a
f x dx udv uv vdu 
 Đặt 
......
...
..
 .
lay đaodu dxu
dv dx v dx
hàm
lay nguyên hàm
Ta thƣờng gặp hai loại tích phân từng phần nhƣ sau: (Với 
( )P x là đa thức bậc n.) 
* Loại 1: 
( )
( )
( )
'( )
( ).sin( ).
1( )
sin( ). .cos( )
sin( ).
( ).cos( ). 1
cos( ). cos( ). .sin( )
.
( ). . .
b
a
b
a
xb
x
x
a
du P x dx
P x x dx
u P x
x dx x
x dx
P x x dx
dv x dx v x dx x
e dx
P x e dx e dx
 
 
 
 
  
 
 
   
 ( )
1
. xe 
*Loại 2: 
ln( )
( ).ln( ).
( ) ( ) ...
b
a
u x du dx
xP x x dx
dv P x dx v P x dx
 
  
Chú ý: f x là hàm số chẵn thì 
 ;f x f x 
Còn f x là hàm số lẻ thì 
 f x f x 
Do đó: f x là hàm số chẵn thì 
0
2
a a
a
f x dx f x dx
 Còn f x là hàm số lẻ thì 0
a
a
f x dx
NVH 0943277769 Trang 10/18 
5) Tính chất tích phân 
Tính chất 1: ( ) 0; . ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx k f x dx f x dx 
 Tính chất 2: . ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx , với k là hằng số 
Tính chất 3: 
 ( ) ( ) ( ) g( )
b b b
a a a
f x x dx f x dx x dx 
Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b 
Tính chất 5: '( )
b
a
b
f x dx f x f b f a
a
Tính chất 6: Nếu  0, ;f x x a b  thì ( ) 0;
b
a
f x dx Nếu  , ;f x g x x a b  thì ( ) g( )
b b
a a
f x dx x dx 
6) Diện tích hình phẳng Lưu ý: Diện tích là những giá trị dƣơng. 
Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là: ( ) 
b
a
S f x dx BẤM MÁY 
 ( ) 0f x vô nghiệm trên (a;b) thì ( ) ( )
b b
a a
S f x dx f x dx 
 ( ) 0f x có 1 nghiệm ( ; )c a b thì ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx 
Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 
đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: ( ) ( )
b
a
S f x g x dx BẤM MÁY 
Dạng 3: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai 
hàm số f(x), g(x) là 
2
1
( ) ( )
x
x
S f x g x dx BẤM MÁY (với 1 2x x là hai nghiệm của pt f x g x ) 
7) Thể tích vật thể tròn xoay Lưu ý: Thể tích là giá trị dƣơng. 
Dạng 1: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai 
đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 
2 ( ) 
b
a
V f x dx BẤM MÁY 
Dạng 2: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) trục Ox và 
hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 
2 2( )
b
a
V f x g x dx BẤM MÁY 
NVH 0943277769 Trang 11/18 
Dạng 3: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) quay xung 
quanh trục Ox là: 
2
1
2 2( )
x
x
V f x g x dx BẤM MÁY 
 (với 
1 2x x là hai nghiệm của phương trình f x g x ) 
Dạng 4: Thể tích vật thể của một vật nằm giữa 2 mặt phẳng ,x a x b , biết thiết diện của vật bị cắt bởi mp 
vuông góc với trục Ox tại điểm x a x b có diện tích S x là: 
b
a
V S x dx BẤM MÁY 
HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH 
1. Hàm số ( )y f x đạt cực trị tại điểm 0x x thì đạo hàm tại 0x x sẽ bằng 0 
Bấm Shift 0( ) 0;x x
d
f x
dx
 Muốn biết điểm 0x x 
là CĐ hay CT ta bấm Shift ( ) x X
d
f x
dx
CALC 0x nếu bằng 0 thì 0x x có khả năng là cực trị, khác 0 thì loại. Rồi bấm tiếp CALC 0 0,001x và 
0 0,001x nếu lần lượt được + và – thì 0x x là cực đại. Còn lần lượt được – và + thì 0x x là cực tiểu. 
2. Tính đạo hàm của hàm số ( )y f x tại điểm 0x x 
Bấm Shift 0( ) x x
d
f x A
dx
 (Trừ đi kết quả ở đáp án A nếu thử đáp án A) rồi ấn “=” 
3. Tính đạo hàm của hàm số ( )y f x A. 1( )f x B. 2 ( )f x C. 3( )f x D. 4 ( )f x 
Bấm Shift 1( ) ( )x X
d
f x f x
dx
 (Đề bài trừ đáp án) 
(Trừ đi kết quả ở đáp án A nếu thử đáp án A) rồi ấn CALC 1giá trị rồi Ấn „=” (CALC thử 2 đến 3 giá trị). 
Đáp án nào ra kết quả = 0 hoặc gần bằng 0 (..,x10(mũ âm) ) thì chọn đáp án đó. 
4. Tìm nguyên hàm của hàm số ( )y f x hay ( )f x dx 
A. 1( )F x C B. 2( )F x C C. 3( )F x C D. 4( )F x C 
Cách 1: Bấm Shift 1( ) ( )x X
d
F x f x
dx
 (Đáp án trừ đề bài) 
(Nhập biểu thức ở đáp án A nếu thử A) rồi ấn CALC 1giá trị rồi Ấn “=” (chú ý CALC thử 2 đến 3 giá trị) 
Đáp án nào ra kết quả = 0 hoặc gần bằng 0 (..,x10(mũ âm) ) thì chọn đáp án đó. 
Cách 2: Ấn  1 2( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a Với a , b là hai số bất kìa gần nhau thõa mãn f(x) liên tục. 
Đáp án nào ra kết quả = 0 thì chọn đáp án đó. 
 5. Tính tích phân ( )
b
a
I f x dx Bấm ( )
b
a
f x dx A (Nhập kết quả ở đáp án A nếu thử đáp án A) 
6. Tìm 0x để tích phân 
0
( )
x
a
I f x dx M A. 1b B. 2b C. 3b D. 4b 
NVH 0943277769 Trang 12/18 
Bấm ( )
X
a
f x dx M ( CALC thử tưng đáp án ra = 0 đúng, khác 0 thì sai). 
Tƣơng tự cho dạng toán tìm 
0x để tích phân 
0
( )
b
x
I f x dx M 
 CHỦ ĐỀ 4: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC 
 Số phức: z , , ;a bi a b 2 1i 
 Phần thực của z là a; phần ảo của z là b. (chú ý là b chứ không phải là bi) 
 Nếu b = 0 thì z = a gọi là số thực. Nếu 0; 0a b thì z = bi gọi là số ảo hoặc số thuần ảo. 
 Số phức liên hợp: z a bi . Số phức nghịch đảo là 1
1
z
z
 Môđun của số phức: 2 2| |z a b . Môđun của số phức là một số thực không âm 0 
 Tính chất: 
211
1 2 1 2
2 2
; . . ; .
zz
z z z z z z z
z z
 Điểm biều diễn của số phức z , ,a bi a b là điểm ;M a b 
 Hai số phức bằng nhau 
x a
x yi a bi
y b
 (phần thực= phần thực; phần ảo= phần ảo) 
 Phép toán trên tập số phức: 
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( d) ( d )
a bi c di a c b d i a bi c di a c b d i
a bi a bi c di
a bi c di ac b a bc i
c di c d
 Căn bậc hai của số thực a âm là: | |i a 
 Phương trình bậc hai trên tập số phức 2 z+c=0 (a 0)az b : 
* Nếu = 0 thì phương trình có một nghiệm kép (thực) x = - 
2
b
a
* Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực x1,2 = 
2
 b
a
. 
* Nếu < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = 
2
 b i
a
. 
Chú ý: + Nếu quỹ tích của số phức z là đƣờng tròn 
2 2 2x a x b R tâm ;I a b và bán kính là R thì: 
2 2
max
z OI R a b R còn 2 2
min
z OI R a b R 
+ Nếu tập hợp số phức z thõa mãn 
2 2 2x a x b R thì quỹ tích là hình tròn tâm ;I a b và bkính là R. 
HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH 
SỐ PHỨC: Bấm mode 2 màn hình hiện CMPLX 
Cộng trừ nhân chia nhập tính bình thường 
Tính môđun nhập shift hyp; Số phức liên hợp bấm shift 2 2 (xuất hiện conjg(...) 
NVH 0943277769 Trang 13/18 
 CHỦ ĐỀ 5: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A ta có: 
 Định lý Pitago : 2 2 2BC AB AC  2 2. ; .BA BH BC CA CH CB 
 AB. AC = BC. AH  
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
 AH2 = BH.CH  BC = 2AM 
 sin , cos , tan , cot
b c b c
B B B B
a a c b
 b = a. sinB = a.cosC,  c = a. sinC = a.cosB,  
sin cos
b b
a
B C
  b = c. tanB = c.cot C 
 * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA 
2. Các công thức tính diện tích - thể tích. 
 a/ Công thức tính diện tích tam giác: 
1 1 . .
. .b.sinC
2 2 4
a
a b c
S a h a pr
R
 Hoặc S p p a p b p c với 
2
a b c
p
 với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác 
 Đặc biệt : * ABC vuông ở A: 
1
.
2
S AB AC * ABC đều cạnh a: 
2 3
4
a
S 
 b/ Diện tích hình vuông: S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật: S = dài x rộng 
 d/ Diện tích hình thoi: S = 
1
2
 (chéo dài x chéo ngắn) e/ Diện tích hbhành: S = đáy x chiều cao 
 f/ Diện tích hình thang: 
1
2
.(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 
 g/ Diện tích hình tròn: 2S r Chu vi đường tròn: 2C r 
 h/ Thể tích khối tứ diện đều cạnh a: 
3 2
12
a
V 
 k/ Thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy a: 
3
. tan
12
a
V ( là góc giữa cạnh bên và mặt đáy) 
 i/ Thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy a: 
3
. tan
24
a
V  (  là góc giữa mặt bên và mặt đáy) 
j/ Thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a: 
3 2
6
a
V 
m/ Thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy a: 
3 2
.tan
6
a
V ( là góc giữa mặt bên và mặt đáy) 
n/ Thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy a: 
3
. tan
6
a
V  ( là góc giữa mặt bên và mặt đáy) 
l/ Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a: 
3 3
4
a
V 
 Chú ý: 
A 
B C 
H M 
a 
b c h 
b‟ c‟ 
NVH 0943277769 Trang 14/18 
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là: 2a 
 Tam giác vuông cân thì hai cạnh góc vuông bằng nhau và bằng cạnh huyền chia 2 . 
 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là: 3a 
 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là: 2 2 2a b c 
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là: 
3
2
a
h 
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau và tạo với mp đáy 1 góc bằng 
nhau, các mặt bên là các tam giác đều và tạo với mp đáy 1 góc bằng nhau, hình chiếu của đỉnh xuống mp đáy 
trùng với tâm của đáy.(h/c tam giác đều thì đáy là tam giác đều, h/c tứ giác đều thì đáy là hv) 
4/ Lăng trụ đứng là lặng trụ có các mặt bên là các hình chữ nhật 
5/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa