Lý thuyết và bài tập Đạo hàm

Định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa 
đạo hàm 
Định nghĩa đạo hàm 
Cho hàm số liên tục tại , khi đó hàm số được gọi là có đạo hàm tại điểm nếu tồn tại :
Phương pháp tính đạo hàm của hàm số tại điểm theo định nghĩa :
B1. Tính , gọi là số gia của đối số x
B2. Tính 
B3. Tính 
B4. Tính , kết luận 
Đạo hàm một phía 
+ Hàm số gọi là có đạo hàm bên trái tại điểm nếu tồn tại :
+ Hàm số gọi là có đạo hàm bên phải tại điểm nếu tồn tại :
Ta biết rằng điều kiện cần và đủ để tồn tại khi và chỉ khi : 
+ Hàm số gọi là có đạo hàm tại điểm nếu :
Chú ý :
+ Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì khi đó hàm số liên tục tại điểm 
+ Nếu hàm số liên tục tại điểm thì khi đó chưa thể kết luận rằng hàm số có đạo hàm tại điểm 
+ Hàm số được gọi là có đạo hàm trên đoạn nếu thoả mãn các điều kiện sau :
Hàm số có đạo hàm tại mọi 
Hàm số có đạo hàm phải tại điểm x = a
Hàm số có đạo hàm trái tại điểm x = b
+ Hàm số không liên tục tại điểm thì hàm số không có đạo hàm tại điểm 
ứng dụng của đạo hàm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm M trên đồ thị hàm số 
Dạng I. Cho hàm số và điểm thuộc đồ thị hàm số. Hãy tìm phương trình đường thẳng tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm Giải.
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến, khi đó ta có phương trình
+ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 
Dạng II. Cho hàm số , hãy viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ là 
Giải
+ Gọi toạ độ điểm , vì M thuộc đồ thị hàm số nên ta có 
+ Đường thẳng tiếp tuyến có hệ số góc là 
+ Khi đó phương trình đường thẳng tiếp tuyến cần tìm có dạng : 
Dạng III. Cho hàm số , hãy viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có tung độ là 
Giải.
+ Gọi toạ độ điểm , vì M thuộc đồ thị hàm số nên ta có 
+ Đường thẳng tiếp tuyến có hệ số góc là 
+ Khi đó phương trình đường thẳng tiếp tuyến cần tìm có dạng : 
Dạng III. Cho hàm số , hãy viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 
Giải.
+ Gọi toạ độ điểm là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị
+ Khi đó ta có 
+ Giải phương trình tìm x0
+ Giải phương trình tìm y0
+ Khi đó phương trình đường thẳng tiếp tuyến cần tìm có dạng : 
( chú ý : phương trình có bao nhiêu nghiệm thì ta có thể tìm được bấy nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số, và nghiệm của phương trình là hoành độ tiếp điểm )
Dạng VI. Cho hàm số , hãy viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vông góc với đường thẳng d: 
Giải.
+ Gọi toạ độ điểm là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị
+ Khi đó ta có 
+ Giải phương trình tìm x0
+ Giải phương trình tìm y0
+ Khi đó phương trình đường thẳng tiếp tuyến cần tìm có dạng : 
( chú ý : phương trình có bao nhiêu nghiệm thì ta có thể tìm được bấy nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số, và nghiệm của phương trình là hoành độ tiếp điểm )
Các quy tắc tính đạo hàm hàm số
Kiến thức cơ bản
1, Đạo hàm của một số hàm số thường gặp. (Ký hiệu U = U(x))
=0
(C là hằng số) (1)
=1
 (2)
=n.xn-1
(nN, n2) (3)
=-
(x0) (4)
=
(x>0) (5)
Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
 	(6)	
 	(7)
 (k là hằng số)	(8) 	 
 	(9)
 	(10)
	 (11)
	 (12)
	 (13)
	 (14)
Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)].
Khi đó ta có : với U là một hàm của giá trị x
	 (15)
	 	(16)
	(17)
	(18)
	 (19)
	 (20)
 (21)
Một số ví dụ
Ví dụ tự luận	
VD1. Tính đạo hàm của các hàm số
1/	y=2x5-3x4+x3-x2+1
2/	y=x4-x3+x2+3x-2
3/	y=2x2 (x-3)
4/	y= với m là tham số khác -1
Giải
1/	Ta có:
	= 10x4-12x3+3x2 –x
2/	Ta có:
= 2x3- 4x2+x+3
3/	Ta có:
y= 2x3- 6x2
 = 6x2-12x
4/ 	Ta có:
y= x+ Do m là tham số khác (-1), nên
= 
VD2. Tính đạo hàm các hàm số
1/	y= 	3/ 	y=
2/	y= 	4/ y=(3x-2)(x2+1)
Giải:
1/	Ta có:= -= -	x-1
2/	Tacó:
= = = x-1
	3/	Ta có: 
=
= 
=	x
4/ 	Ta có:
= (x2+1) - (3x-2)
	 = 3(x2+1)-(3x-2).2x
	 = 3x2+3- 6x2+4x
	 = -3x2+4x+3
VD3. Tính đạo hàm của các hàm số
	1/ 	y= x
	2/	y= (x2-+1)
	3/	y= 
VD4.	Tính đạo hàm hàm số
1/	y= (2x+3)10
2/ 	y= (x2+3x-2)20
3/	y= 	(a là hằng số)
VD5.	Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7
1/	Tại điểm A(1;5)
2/	Song song với đường y=6x+1
Giải:
Ta có: = 3x2-3
1/	Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là
	k = (1) = 0
Phương trình tiếp tuyến cần viết là:
	y = 5.
2/	Gọi tiếp điểm là M(x0;y0)
	y0= x03-3x0+7
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6
(x0) = 6
3x02-3 = 6
x0 = 
Với x0 = y0=7.Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6
Với x0 =- y0=7
	Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6
VD6.	Cho hàm số y=
	Giải bất phương trình khi 0
	Giải:
	Ta có: 
	+	= 
	 = 
	 = x -1
	Do đó: 0 0
Chọn những phương án đúng trong ví dụ sau:
VD7. Cho hàm số y= , khi đó bằng
	A.	B.	C.	D.
VD8: Cho hàm số y= , khi đó bằng
	A. 2	B. 	C. 	D.
VD9. Cho hàm số y=(x+1)5, khi đó bằng
	A.-5	B.5	C.-1	D.1
VD10. Cho hàm số y=2x-, khi đó bằng
	A. 	B. 	C. 1	D. Không tồn tại
VD11. Cho hàm số y=, khi đó bằng
	A.0	B.-1	C.-	D.-
VD12. Cho hàm số y=2x3-3x2+3, khi đó phương trình =0 có nghiệm
	A. x=0 và x=1	B. x=0 và x=-1	C. x=1 và x=3	D. x=-1 và x=3
VD13. Cho hàm số y=. Đạo hàm bằng
	A.	B.	C.	D.
VD14. Cho hàm số y=, đạo hàm bằng
	A.	B.	C.	D.
VD15. Cho hàm số y=, khi đó tập nghiệm của phương trình >0 là
	A. S =(-][1;+)	C. S =(-
	B. S =(-)[1;+)	D. S = (
VD16. Cho hàm số y=, khi đó bất phương trình có tập nghiệm là:
	A. S =()	B. S =[)	C. S =[3;+)	D. S
Bài tập.
A. Bài tập tự luận.
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số:
1/ y=x3 -2x2+x-+1	7/ y=
2/ y=	8/ y=
3/ y=	9/ y=(x-2)
4/ y=	10/ y=
5/ y=	11/ y=
6/ y=	12/ y=
Bài 2. Cho hàm số: y= tìm m để
1/ là bình phương của một nhị thức
2/ 
3/ <0 (0;1)
4/ >0 >0
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (c ) y=x3-3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
	Hướng dẫn:
	+ Ta có = 3x2-6x
	+ Gọi (x0;y0) là tiếp điểm, y0=x03 -3x02
	Ta phải có: 
	3x02-6x0=-3 x0=1 =>y0=-2
	=> phương trình tiếp tuyến là: y=-3x+1
Bài 4. Cho đường cong (c)): y=. Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của (c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =-x+1
Hướng dẫn:
+ Ta có =
+ Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1
+ Gọi (x0; y0) là tiếp điểm, y0=
Ta phải có:
+ Ta có 2 tiếp tuyến là
	y = -x và y = -x+8
+ Từ đó suy ra kết quả
B.Chọn phương án đúng trong các bài tập sau:
Bài 4. Cho hàm số y =, bằng
A. 
B. 
C. 1
D. - 1
Bài 5. Cho biết hàm số y = , bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 6. Cho hàm số y =, bằng
A. 
B. -
C. 
D. -
Bài 7. Cho hàm số y =(1-3x)6, bằng
A. 1
B. -1
C. 18
D. - 18
Bài 8. Cho hàm số y = , Khi đó tập nghiệm của bất phương trình là:
A. S =IR
B. S =[0;
C. S =(0;
D. S = 
Bài 9. Cho hàm số f(x)= x2+3x-1 và g(x) = 2x-3. Bất phương trình có tập nghiệm là:
A. S = 
B. S = 
C. S = 
D. –S = 
Bài 10. Hàm số y= có
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 11. Hàm số y = có
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 12. Hàm số y = x3+2x2-mx+1 có IR, khi đó tập các giá trị của m là:
A. T=
B. T= ()
C. T = ( 
D. T= ()
Bài 13. Hàm số y = có Khi đó tập các giá trị của m là:
A. T=
B. T= ()
C. T = ( 
D. T= (
Bài 14. Hàm số y = (2x+3)10 có
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 15. Hàm số y = có
A. 
B. 
C. 
D.