Một phương pháp giải phương trình có chứa căn thức

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC
Đã có rất nhiều bài viết về những phương pháp giải phương trình có chứa căn thức, sau đây 
tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp 
mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức 
mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi
Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng 
dụng trong giải toán sau: .
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:
Vì Nhân vào hai vế của phương trình ta được:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình xét , chia cả hai vế của 
phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm và (loại)
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Phương trình tương đương với:
Vì 
Nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:
Nếu hoặc (loại)
Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta được 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện và .
Phương trình tương đương với:
Vì , nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
+Nếu 
+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
(vì )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 4: Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Nhận thấy không phải là nghiệm của phương trình , viết lại phương trình dạng:
Vì , nhân vào hai vế của phương trình ta thu 
được:
+Nếu hoặc .
+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta được 
Vậy phương trình có hai nghiệm và 
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Sau đây là một số bài tập:
Giải các phương trình sau:
------------------------------------
Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!
Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số 
bài toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút... Ở đây vẫn trình bày dưới 
dạng các ví dụ minh họa cho từng dạng... 
Ví dụ 5: (Phương trình chứa căn ở mẫu) Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện: 
Phương trình tương đương với:
Vì . Ta có:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, xét , chia cả hai vế của phương 
trình cho ta được:
Dễ thấy . 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 6: (Phương trình chứa nhiều loại căn thức) Giải phương trình 
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Lời giải: Điều kiện: 
Vì . Ta có:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, xét , chia cả hai vế của phương 
trình cho ta được:
.
Dễ thấy .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 7: (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ...) Giải phương trình 
Lời giải: Điều kiện 
Nhận thấy và là các nghiệm của phương trình. Xét . Chia 
cả hai vế của phương trình cho ta được:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Dễ thấy .
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra là nghiệm... (^_^)
Ví dụ 8: (Tìm nhân tử chung...!) Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện: 
Nếu và 
Xét . Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
 và (loại!).
Vậy phương trình có ba nghiệm , và .
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra là nhân tử chung... (^_^)
Sau đây là một số bài tập:
Giải các phương trình sau:
.
------------------------------------------------
Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!
Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẽ các bạn cũng đã nhận thấy được 
phần nào về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình 
chứa căn thức.
Không dừng lại ở đó, mình xin trình bày những vấn đề tiếp theo xung quanh phương 
pháp này. Tin rằng đây sẽ là một phương pháp thực sự hiểu quả để hỗ trợ các bạn 
trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức.
Để tăng tính thuyết phục và hơn hết là làm nổi bật cái hay, cái đẹp của phương pháp 
này. Mình xin phép được lấy các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi và các kì thi 
olympic để làm ví dụ minh họa. Qua đó chúng ta cũng thấy được tính ứng dụng rộng 
rãi và hiệu quả của nó.
Ví dụ 9: Giải phương trình 
( Đề chính thức Olympic 30 - 4 năm 2006)
Lời giải:
Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng:
Vì . Suy ra:
Nếu và 
Nếu . Suy ra:
 ( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và .
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp để tìm ra nhân tử 
chung là . Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này.
Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên.
Xét phương trình:
Vì . Suy ra:
Bây giờ ta chỉ cần xác định sao cho:
 . Suy ra:
 và 
Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày.
Ví dụ 10: Giải phương trình
( Đề đề nghị, Olympic 30 - 4 năm 2007)
Lời giải:
Điều kiện: 
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Vì không là nghiệm của phương trình ta viết dưới dạng:
Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm được . Vậy:
Vì . Suy ra:
Nếu 
 và 
Nếu . Suy ra:
 ( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và .
Ví dụ 11: Giải phương trình 
( Thi HSGQG, năm 1995, bảng A)
Lời giải:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Điều kiện: 
Vì . Suy ra:
Vì . Suy ra:
Nếu .
Nếu . Suy ra:
Suy ra: hay ( vì )
Dễ thấy vế trái của phương trình liên tục và luôn đồng biến trên , vế phải 
của phương trình liên tục và luôn nghịch biến trên . Lại có là 
nghiệm vậy cũng là nghiệm duy nhất của phương trình . Nghiệm này loại vì 
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 12: Giải phương trình
( Toán học và tuổi trẻ 365/2007)
Lời giải:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Điều kiện: 
Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng:
Vì . Suy ra:
Nếu và 
Nếu . Suy ra:
 ( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là và .
Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc
Giải các phương trình sau:
( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)
( Đề đề nghị Olympic 30-4)
( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)
( Toán học và tuổi trẻ)
( Thi HSGQG, năm 1995, bảng B)
--------------------------------------
Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!
Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh