Một số bài ôn tập môn Hình học lớp 9

Bài 1 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và .Vẽ 3 đường cao AD ,BE ,CF của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H
1/Chúng tỏ : Tứ giác BFEC nội tiếp 
2/Lấy M thuộc EF sao cho DM//EF .Chứng tỏ : tam giác BMH vuông
3/ EG cắt DM tại I .Chứng minh rằng : 
4 / Tìm thêm 1 điều kiện của tam giác ABC để HI,DE,FG đồng quy tại 1 điểm
 Bài giải
 1/Tứ giác BFEC nội tiếp ,xác định tâm G của nó 
Dễ thấy nên tứ giác BFEC nội tiếp trong đường tròn đường kính BC => tâm G là trung điểm của BC
2/ Tam giác BMH vuông
Do DM//AC nên ( 2 góc đồng vị ) .Do tứ giác BFEC nội tiếp nên . Ta lại có 
 ( 2 góc đối đỉnh ) tứ đó suy ra => Tứ giác BDFM nội tiếp ( 2 góc bằng nhau cùng nhìn cạnh BM ) .Ta lại có :
 => Tứ giác BFHD nội tiếp . Từ đó dẫn đến 5 điểm B,M,F,H,D cùng thuộc 1 đường tròn đường kính BH -> BM vuông góc với MH vậy tam giác BMH vuông tại M
3/
Trong tam giác vuông BEC có nên tam giác BEC vuông cân có G là trung điểm của BC nên EG vuông góc với BC
 .Xét trong tam giác BEI có DI và BG là 2 đường cao chúng cắt nhau tại H => D là trực tâm của tam giác BEI => DE_|_BI
DE_|_BI => ( cùng phụ với góc DEI ) .Mặt khác ta có : => Tứ giác AEDB nội tiếp => => 
Xét trong 2 tam giác vuông ABE và IBG ta có : => 
4/ Tìm thêm 1 điều kiện của tam giác ABC
Dựng BJ_|_ HI . Ta có : nên tứ giác BFHJ nội tiếp=> 
Ta có : => Tứ giác BJGI nội tiếp => Mà => . Mâc khác ta có :=> 3 điểm F,J,G thẳng hàng . Nếu HI ,DE ,FG đồng quy tại 1 điểm => 3 điểm E,J,G thẳng hàng => , dễ thấy tứ giác DHEC nội tiếp nên từ đó suy ra .Do BJ vuông góc với HJ tức là 6 điểm M,F,H,J,D,B cùng thuộc 1 đường tròn từ đó suy ra . Dễ thấy tứ giác BFHD nội tiếp nên . Từ đó xét và ta có :, => (g-g )=> HJ/HB=HE/HC mà
Cos BHJ =HJ/HB và cos EHC =HE/HC => . Dễ thấy ( 2 góc nội tiếp chắn cung BJ của đường tròn đường kính BH ) mà ta lại có GB =GF =>
Tam giác GBF cân => . Ta lại có : ( cùng phụ với góc ACF ) từ đó suy ra => tam giác ABC cân tại C ( đây là ĐK của bài toán )
Bài 2 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC) .Vẽ 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H
1/Chứng tỏ : Tứ giác DHEC nội tiếp ,xác định tâm O
2/ Trên cung nhỏ EC của đường tròn (O) lấy 1 điểm I sao cho IC>IE ,DI cắt CE tại N .Chứng minh : NI.ND=NE.NC
3/ EF cắt IC tại M .Chứng minh : MN_|_CH
4/ HM cắt (O) tại K , KN cắt (O) tại G ,MN cắt BC tại T. Chứng tỏ : 3 điểm H,T,G thẳng hàng
 Bài giải
1/ Tứ giác DHEC nội tiếp ,xác định tâm O
Ta có : nên tứ giác DHEC nội tiếp trong đường tròn đường kính HC => tâm O là trung điểm của HC
2/ NI.ND=NE.NC
Xét tam giác NIC và tam giác NED ta có :
 ( 2góc đối đỉnh ), ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
=> (g-g ) => 
3/ MN vuông góc với CH
Ta có : ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC ) mà ( cùng phụ với góc BCF ) mà ta lại có : : nên tứ giác BFEC nội tiếp =>
 mà ( 2 góc đối đỉnh ) từ đó => Tứ giác MENI nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong ) => mà ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung DE ) ta lại có : ( Tứ giác BFEC nội tiếp )=> => AB//MN ( 2 góc sole trong ) mà AB_|_CH=> MN_|_CH
4/ 3 điểm H,T,G thẳng hàng
Xét tam giác EMN và tam giác TCN ta có : (cmt) , ( 2 góc đối đỉnh )=> (g-g)=> 
Xét tam giác ENK và tam giác GNC ta có : ( 2 góc đối đỉnh ) ,
 ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EG)
=> ( g-g)=> 
Từ đó suy ta TN.MN=KN.GN => TN/GN=KN/MN
Xét tam giác MNK và tam giác GNT ta có :
 ( 2 góc đối đỉnh ) , TN/GN=KN/MN (cmt)
=>(c-g-c) => . Ta có góc HKC =90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) =>HK_|_CK theo như trên ta đã chứng minh MN_|_CH cho nên
 ( cùng phụ với góc MHC ) mà ta lại có : ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HN )=> => 2 tia GT và GH trùng nhau => 3 điểm H,T,G thẳng hàng
Bài 3 : Cho 3 điểm B,D,C thẳng hàng theo 1 thứ tự nào đó ( D nằm giửa B và C) và đặt DC=2DB=2x (x>0) .Gọi (p) là đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC .Trên (p) lấy 1 điểm A sao cho AD=3x .Vẽ 2 đường cao BE và CF của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H 
. 1/ Hãy tính diện tích tam giác ABC theo x và chứng tỏ góc ACB =góc AFE
2/ Chứng minh rằng : DB.DC=DH.DA 
.3/ Hãy tính :
HD và HA theo x ,tam giác AEF theo x
4/ Gỉa sử D,B,C cố định .Tìm giá trị của đoạn thẳng AD theo x để
 : tam giác ABC có 3 góc nhọn , ≤ 60*
 Bài giải
1/Hãy tính diện tích tam giác ABC theo x và chứng tỏ góc ACB =góc AFE
Ta có : S∆ABC=BC.AD/2=3x.3x:2=4.5x2 . Xét tứ giác BFEC ta có 
 => Tứ giác BFEC nội tiếp => góc ACB =góc AFE
2/ DB.DC=DH.DA
Xét tam giác HDB và tam giác CDA ta có :
 , ( cùng phụ với góc ACB )
=> (g-g)=>
3/Tính HD,HA, diện tích tam giác AFE theo R
Ta có : BC2=BF2+CF2=(AB-AF)2+CF2=AB2-2.AB.AF+AF2+CF2=AB22.AB.AC.cosA+ AC 2từ đó rút ra cosA= 
Theo như trên ta đã có :DB.DC=DH.DA=> 
Từ đó ta có : HA=AD-HD=3x- 
Xét tam giác AFE và tam giác ACB ta có :
BAC là góc chung , góc AFE=góc ACB ( cmt)
=>∆AFE~∆ACB (g-g)=> =cos2A => S∆AEF=S∆ABC.cos2A
Ta tính được AB =,AC=
Ta có : S∆AEF =∆ABC. = 
4/ Vị trí của A sao cho góc BAC nhỏ hơn 60 độ
B,D,C cố định => BD=x và CD=2x
Gỉa sử xét A tại vị trí sao cho góc BAC= 60*
Áp dụng công thức cosA= vì cos 60* =1/2
=>Đặt AD =y ta có : AB2+AC2-BC2=AC.BC
=>x2+y2+y2+4x2-9x2= ó 2y2-4x2= (*)
Nhận thấy vế phải luôn dương ta có : (2y2-4x2)2=4x4+x2y2+4x2y2+y4
ó 4y4-16x2y2+16x4=4x4+5x2y2+y4 ó 3y4-21x2y2+12x4=0
Xem trên là một phương trình bậc hai ẩn là y2 ,x là tham số / muốn phương trình trên có nghiệm thì điều kiện là phương trình có nghiệm dương
∆ = (-21x2)2-4.3.12x4=297x4>0 , 
=>Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
 ( nhận ) , ( nhận )
Tuy nhiên Ta phải loại đi một nghiệm nhận thấy rằng trường hơp vì ở trên ta thấy ở (*) muốn tồn tại thì ta phải có : 2y2-4x2≥0 =>y2≥2x2 như vậy ở trường hợp số 2 không thỏa yêu cầu bài toán , chỉ nhận trường hợp 1
Vị trí của D dể góc BAC≤60* thì AD2≥ => AD≥ 
Đây chính là giới hạn của điểm A
Bài 4 : Cho đường tròn tâm O ,đường kính AB .Trên đường tròn (O) lấy 1 điểm C sao cho BC>AC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D .Vẽ CH vuông góc với AB tại H . Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AD tại M
1/Chứng minh rằng : MC là tiếp tuyến của (O) và CH2=AH.BH
2/Chứng tỏ : Tứ giác AMOC nội tiếp được
3/ BM cắt CH tại I .Chứng minh : I là trung điểm của CH
4/ AI cắt (O) tại D. Chứng tỏ : DN là tiếp tuyến của (O)
5/ MN cắt (O) tại P , DP cắt AN tại Q .Chứng minh : AQ2=QP.QD
6/Đường thẳng qua Qsong song AB cắt MA và MB lần lượt tại J và K .Gỉa sử QK=QJ . Tính diện tích tam giác MIN theo R
 Gỉai 
1/ MC là tiếp tuyến của (O) và CH2=AH.BH
Ta có : góc ACB =90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB ) => AC_|_BC mà OM//BC => OM//BC .Ta có : OA=OC=R=> tam giác AOC cân trong tam giác này có OM là đường cao => OM cũng là đường phân giác => 
Xét tam giác AOM và tam giác COM ta có :
OA=OC=R , ( cmt) , OD là cạnh chung )
=>∆AOM=∆BOM (c-g-c)=> => CO_|_CM ta lại có C thuộc (O) nên MC là tiếp tuyến của (O) .Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta liền suy ra CH2=AH.BH
2/Tứ giác AOMC nội tiếp được
Ta có : => Tứ giác AOMC nội tiếp ( tổng 2 góc đối =180* )
3/ I là trung điểm của CH
Trong tam giác ADB ta có OA=OB=R , OM//BD => MA=MD
CH//AD ( cùng vuông góc với AB ) Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác ABM và tam giác BMD ta có : mà AM=DM => IH=IC hay I là trung điểm của CH
4/ DN là tiếp tuyến của (O )
Xét tam giác ABD và tam giác HCA ta có :
 , ( cùng phụ với góc BCH )
=>∆ ABD~∆HCA (g-g)=> (O,I là trung điểm của AB.CH)
Xét tam giác ACI và tam giác DBO ta có :
 ( cmt) , ( suy ra từ trên )
=>∆ ACI~∆DBO (c-g-c) => 
Gỉa sử gọi L là giao điểm của OD và AN ta có : => Tứ giác ADCL nội tiếp => => OD vuông góc với AN
Ta có : OA=ON =R=> tam giác OAN cân mà có OD là đường cao => OD cũng là phân giác => . Xét tam giác AOD và ta giác NOD ta có :
OA=ON , , OD là cạnh chung =>∆ AOD=∆NOD (C-G-C)
=> => ON_|_DN lại có n thuộc (O) => DN là tiếp tuyến của (O)
5/ QA2=QP.QD
Xét tam giác MAP và tam giác MNA ta có :
 là góc chung , ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AP )=>∆MAP~∆MNA (g-g)=> mà MA =MD => . Xét tam giác MDP và tam giác MND ta có : DMN là góc chung ,
( cmt) =>∆ MDP~∆MNA (c-g-c) => mà ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung NP )=> 
Xét tam giác QAP và tam giác QDA ta có : lá góc chung , (cmt)
=>∆QAP~∆QDA (g-g) => và suy ra 
6/ Diện tích tam giác MIN theo R 
 Gỉa sử tia DQ cắt (O) tại E . Theo như trên ta có : => ( 2 góc bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau ) => NE_|_AB ( quan hệ đường kính và dây cung ) Tia NE cắt (O) tại F .Ta có : NE_|_AB => F là trung điểm của NE ( quan hệ đường kính và dây ) . Gỉa sử tia MQ cắt NE tại T
Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác DMQ và GTE ,tam giác AMQ và NQT
Ta có : mà MA =DM => NT=ET => T là trung điểm của NE dẫn đến 2 điểm G và T trùng nhau => 3 điểm M,Q,F thẳng hàng
Lại Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác AMF và BMF ta có :
 => . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ANB ta có : .Ta có : góc ANB=90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB )=> AN_|_BN mà OD_|_AN=>OD//BN=> 
Xét tam giác NAB và tam giác ABD ta có :
 , ( cmt) =>∆NAB~∆ABD (g-g)
=>mặt khác dễ thấy . Đến đây dễ thấy 2 tam giác vuông ADB và CAB đồng dạng => . Lại Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ABC có đường cao CH ta có : .Từ tất cả trên suy ra
 Theo như yêu cầu đề bài thì QJ=QK => BH=4AH mà AH+BH=AB=2R dễ suy ra AH=2R/5
Suy ra AH=2R/5 và BH=8R/5
Ta có : CH = => IH = 
BC= . Ta có :AB2=BC.BD
=>BD= AD= 
=>AM = . OD= 
OD cắt AN tại L .Ta có :OA.AD=AL.OD => 2OA.AD=AN.OD
=>AN= và AL= 
DL = 
S∆MIN=S∆AMN-S∆AMI= - S∆AMB+S∆AIB
= = 
=R2( )=R2( )=R2( )
Bài 5 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) ,BE và CF là 2 đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H
1/Chứng minh : Tứ giác BFEC nội tiếp và OA_|_EF
2/Đường thẳng qua E song song với OA cắt FC tại M và cắt BC tại N .
Chứng minh rằng : NC2=NM.NE
3/Đường thẳng qua F song song với OA cắt BE tại P và cắt BC tại Q , NF cắt QE tại I.Chứng minh rằng : BQ=NC suy ra IQ.PQ=IE.MN
4/ Chứng minh rằng : 
 Bài giải
1/Tứ giác BFEC nội tiếp và OA vuông góc với EF
Ta có :=> Tứ giác BFEC nội tiếp trong đường tròn đường kính BC .Kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O) như hình vẽ . Theo như trên ta có : Tứ giác BFEC nội tiếp => mà ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) => => EF//Ax ( 2 góc ở vị trí solo trong ) mà Ax vuông góc với OA=> OA_|_EF
2/ AH vuông góc với BC và NC2=NM.NE
Xét trong tam giác ABC có BE và CF là 2 đường cao cắt nhau tại H => H là trực tâm của tam giác ABC => AH_|_BC
Ta có : OA_|_EF mà EN//EF => EF_|_EN
Ta có : ( cùng phụ với góc BEN ) mà ( tứ giác BFEC nội tiếp ) => . Xét tam giác NCM và tam giác NEC ta có :
NCE là góc chung , ( cmt )
=>∆NCM~∆NEC (g-g) => => NC2=NM.NE
3/ BQ=NC và IQ.PQ=IE.MN
Gọi T và K lần lượt là trung điểm của BC và EF
Ta có : T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC => TF=TE=> tam giác TEF cân ( trong tam giác này có TK là đường trung tuyến)=> TK cũng là đường cao => TK_|_EF ta thấy FQ//EN//TK ( cùng vuông góc với OA ) => Tứ giác QFEN là hình thang trong hình thang này ta có : KT//FQ//EN , K là trung điểm của EF=> T là trung điểm của QN .Ta có : TB=TC ,TQ=TN=>BQ=NC
Chứng minh tương tự như câu 2 ta có : BQ2=PQ.FQ
Mà BQ=NC và NC2=NM.NE => PQ.FQ=NM.NE => 
Trong hình thang QFNE có QF//NE Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác QIF và IEN ta có : từ đó suy ra => PQ.IQ=MN.IE
4 / 
Xét tam giác ECM và tam giác EBF ta có :
, ( Tứ giác BFEC nội tiếp ) 
=>∆ECM~∆EBF ( g-g) => . Chứng minh tương tự ta có 
∆FBP~∆FCE ( g-g) => . Lấy 2 đảng thức trên nhân với nhau ta có :
 => (1)
Xét trong 2 tam giác vuông ABE và ACF ta có :
SinA= (2) .Lại lấy 1 nhân với 2 ta có : 
=> . Xét tam giác ABP và tam giác ACM ta có :
 ( cùng phụ với góc BAC ) , ( cmt)
=>∆ABP~∆ACM (c-g-c)=> 
Dựng đường kính AS của (O) ta có : ( cùng phụ với góc BAH )
mà ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC ) => 
Ta có : góc ACS=90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AS )
Xét tam giác AFH và tam giác ACS ta có :
 , ( cmt) 
=>∆AFH~∆ACS ( g-g )=> 
Ta có , 
 ( cmt) =>
Bài 6 : Từ 1 điểm A ngoài (O;R) ,Kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là tiếp điểm .Vẽ dây cung CD//AB , AD cắt (O) tại M
1/Chứng tỏ : Tứ giác ABOC nội tiếp và tam giác BDC cân
2/Chứng minh rằng : AB2=AM.AD
3/CM cắt AB tại I .Chứng minh : I là trung điểm của AB
4/ Lấy H trên DM sao cho MA=MH .Chứng minh :AH=2BH 
5/Gọi L là điểm đới xứng B qua C.Chứng minh AD=AL
6/Gỉa sử DM=R ,OA=R . Hãy tính khoảng cách từ B xuống HI
 Bài giải
1/Tứ giác ABOC nội tiếp và tam giác BDC cân
Do AB và AC là tiếp tuyến của (O) => 
=>Tứ giác ABOC nội tiếp ( tổng 2 góc đối 180*)
Ta có : DC//AB => ( 2 góc ở vị trí sole trong ) mà ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BC ) 
=> => tam giác BDC là tam giác cân
2/ AB2=AM.AD
Xét tam giác ABM và tam giác ADB ta có :
 là góc chung , ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BM ) =>∆ABM~∆ADB ( g-g) => => AB2=AM.AD
3/I là trung điểm của AB
Xét tam giác IBM và tam giác ICB ta có :
 là góc chung , ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BM ) =>∆IBM~∆ICB (g-g)=> => IB2=IM.IC
Do AB//CD => ( 2 góc sole trong ) mà ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung CM ) => 
Xét tam giác IAM và tam giác ICA ta có :
 là góc chung , ( cmt )
=>∆IAM~∆ICA ( g-g ) => => IA2=IM.IC
Từ đó suy ra IB=IA => I là trung điểm của AB
4/BH=AM
Trong tam giác ABH có M và I lần lượt là trung điểm của AH và AB => MI là đường trung bình tam giác AHB => BH//IM => ( 2 góc sole trong )
Ta lại có : ( Tứ giác BMDC nội tiếp ) theo như trên ta lại có : BD=DC=> ( quan hệ cung va dây ) => ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) => => tam giác BHM cân => HB=HM từ đó suy ra
HA=2HB
5/AD=AL
Trong tam giác ADL ta có : I là C lần lượt là trung điểm của AB và BL => IC là đường trung bình của tam giác ABL => IC//AL
Từ IC//AL => ( 2 góc ở vị trí đồng vị ) ,mà ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM ) => => Tứ giác ABDL nội tiếp ( 2 góc cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) => mà ta lại có do AB//CD=>
 ( 2 góc ở vị trí sole trong ) mà ( cmt) mà ta lại có
 ( Tứ giác ABDL nội tiếp ) => => tam giác ADL cân=>AD=AL
6/ Khoảng cách từ B xuống IH
Dựng BK_|_IH , IQ_|_AH , BP_|_AH . Ta cần tính BK
Ta có : AB2=OA2-R2= 5R2-R2=4R2,Ta có : AB2=AM.AD
=>AB2=AM ( AM+DM ) =>AM2+AM.R -4R2=0
∆= > 0 , 
=>Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
 ( nhận ) , ( loại )
Ta tìm được : BH=HM=AM =, AH= 
Đặt HP= n , AP=m, ta có : m+n=AH= 
BH2-HP2=AB2-AP2( = BP2) => -n2=4R2-m2
=>(m-n)(m+n)= == 
=> m-n= .Từ đó ta tìm được :
2m= += 
= =>m =ta tìm được 
n=-= = 
BP= = 
Để ý rằng BH//IM và BP//IQ => 2 tam giác HBP và MIQ đồng dạng tức là
IQ=BP /2 =, MQ =n/2 = 
Ta lại có : HQ =HM + MQ = + = 
Để ý rằng do I là trung điểm của AB nên S∆HBI =∆IHA
=>BK.HI=IQ.HA => BK= 
= 
= 
Bài 6 : Từ 1 điểm A ngoài (O;R), Kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là tiếp điểm .Gọi I là trung điểm của AB ,CI cắt (O) tại E ,AE cắt (O) tại D ,OA cắt BC tại L OB cắt DC tại M .Đường thẳng qua E vuông góc với CE cắt OA tại F ,cắt OB tại P và cắt (O) tại Q
. 1/ Chứng minh : M là trung điểm của DC
2/DC cắt OA tại H ,Chứng tỏ : Tứ giác HIEM nội tiếp được
3/QE cắt OB tại P .Chứng minh : P là trung điểm của OB
4/Chứng minh : CF//OB và tứ giác OBFC là hình thoi
 Bài giải
.
1/ M là trung điểm của DC
Xét tam giác IBE và tam giác ICB ta có :
 là góc chung , ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BE )
∆IBE~ ∆ICB ( g-g )=> má IB= IA =>
Xét tam giác IAE và tam giác ICA ta có :
 là góc chung , (cmt)
=>∆IAE~∆ICA ( c-g-c )=> mà => => AB//DC ( 2 góc ở vị trí sole trong ) => ( 2 góc sole trong ) mà
 ( gov1 tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BC ) => => tam giác BDC cân => BD=BC mà OD=OC =R => OB là trung trực của DC => M là trung điểm của DC và OB_|_DC
2/ Tứ giác HIEM nội tiếp
Ta có : OB=OC=R ,AB=AC ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) => OA là trung trực của BC => LB=LC và OA _|_BC
Xét trong tam giác ABC có L và I lần lượt là trung điểm của BC và BA => LI là đường trung bình tam giác BAC => IL//AC=> ( 2 góc sole trong ) mà
 ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung CE )=> => Tứ giác BIEL nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) => . Xét tam giác CEL và tam giác CBI ta có :
 là góc chung , ( cmt )
=>∆CEL~∆CBI ( g-g) => => CE.CI=CL.CB
Xét trong 2 tam giác vuông BMC và HLC ta có :
CosC= => CB.CL =MC.HC .Từ đó CE.CI=CM.CH=> 
Xét tam giác CME và tam giác CIH ta có :
 là góc chung , ( cmt )
=>∆CME~∆CIH ( c-g-c )=> => Tứ giác HMEI nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )
3/ P là trung điểm của OB
Xét trong tứ giác CMPE ta có : => Tứ giác CMPE nội tiếp ( tổng 2 góc đối =180* ) => Từ đó suy ra Đến đây dễ thấy BM_|_CH từ đó suy ra CP_|_IH
Ta có : CP_|_HI và BM_|_CH từ đó dễ dàng suy ra . Ta có :
 ( cùng phụ với góc ABC ).Xét tam giác AIH và tam giác BPC ta có
 ( cmt), ( cmt )
=>∆AIH~∆BPC ( g-g )=> 
Xét tam giác BHC có HL và BM là 2 đường cao chúng cắt nhau tại O => O là trực tâm của tam giác BHC => OC_|_BH => ( cùng phụ với góc CBH ) mà OB=OC=R=> tam giác OBC cân => mà ( cmt ) => .Xét tam giác BAH và tam giác OBC ta có :
, =>∆BAH~∆OBC (g-g)=> 
Từ đó ta suy ra =>BO=2BP => P là trung điểm của OB
4/ Tứ giác OB//CF và tứ giác OBFC là hình thoi
Qua C kẻ đường thẳng song song với OB cắt QP tại G và cắt QB tại N
Ta có : tam giác QEC vuông tại E nội tiếp trong (O) => QC là đường kính của (O) => 3 điểm Q,O,C thẳng hàng
 OB//CN .Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác CQG và tam giác NQG
Ta có : mà OP=BP => CG=GN
Xét trong tam giác BCN có L và G lần lượt là trung điểm của BC và CN => LG là đường trung bình tam giác BCN => LG//BN => LG//BQ ta có : BC_|_OL , ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC ) => BQ_|_BC => BQ//OL => LG//OL => 3 điểm O,L,G thẳng hàng
Ta nhận thấy F thuộc OA và F thuộc QP
G thuộc OA và G thuộc QP
 =>F trung với G ( vì QP và OA cắt nhau tại 1 điểm suy nhất )=>OB//CF
OB//CF Áp dụng định lý ta lét ta có :
 mà BL=CL =>OL=FL
Xét trong tứ giác OBFC ta có :
LB=LC , OL =FL =>Tứ giác OBFC là hình bình hành lại có BC_|_OF => Tứ giác OBFC là hình thoi
Bài 7 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O;R) và AB<AC . Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D .Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC và AC lần lượt tại M
1/Chứng tỏ : 5 điểm B,O,N,C,D cùng thuộc 1 đường tròn , tam giác OND vuông và tam giác ANB cân
2/ Chứng minh : NB.NA=NM.ND
3/ AD cắt (O) tại I .Chứng minh : Tứ giác ANMI nội tiếp
4/ BI cắt DM tại K .Chứng minh : K là trung điểm của DM
5/Trên BD cắt P sao cho IP//DN ,AP cắt BC tại Q .Gọi G là trung điểm của DK .Chứng minh : 3 điểm Q,I,G thẳng hàng
 Bài giải
1/ 5 điểm B,O,N,C,D cùng thuộc 1 đường tròn ,tam giác OND vuông và tam giác ABN cân
Xét tứ giác OBDC ta có :
 =>Tứ giác OBDC nội tiếp ( tổng 2 góc đối =180* ) Do DC//AB => ( 2 góc đồng vị ) mà ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BC ) => => Tứ giác CNBD nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) => 5 điểm O,B,D,C,N cùng thuộc đường tròn đường kính OD .=> => tam giác OND vuông tại N
Do tứ giác CNOB nội tiêp nên do OB=OC=> tam giác OBC cân => mà dễ thấy 
=> => OA là phân giác của góc ANB Ta lại có : AB//DC và ON_|_DN => ON_|_AB .Trong tam giác ABC có ON đồng thời vừa là trung tuyến vừa là đường cao => tam giác ABN cân tại N
2/ NB.NC=NM.ND
Trong đường tròn đường kính OD ta có : DB=DC ( Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )=> ( liện hệ giữa cung và dây ) => ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) .Xét tam giác NBD và tam giác NCM ta có :
(cmt), ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN )
=>∆NBD~∆NCM ( g-g) => => BC.NC=NM.ND
3/ Tứ giác ANMI nội tiếp
Xét tam giác DBM và tam giác DNB ta có :
 là góc chung , ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )
=>∆DBM~∆DNB ( g-g ) => => DB2=DM.DN
Xét tam giác DIB và tam giác DBA ta có :
 là góc chung , ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BI )
=>∆DIB~∆DBA ( g-g )=> => DB2=DI.DA
Từ đó suy ta DI.DA=DM.DN=> .Xét tam giác DIM và tam giác DNA ta có : là góc chung , ( cmt )
=>∆DIM~∆DNA (c-g-c)=> => Tứ giác ANMI nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )
4/ K là trung điểm của DM
Theo như trên ta có : Tứ giác ANMI nội tiếp => mà ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung CI )=> .Xét tam giác KMI và tam giác KBM ta lại có : là góc chung , ( cmt )
=>∆KMI~∆KBM ( g-g) => => KM2=KI.KB
Do AB//DB cho nên ( 2 góc sole trong ) mà ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BI)=> 
Xét tam giác KDI và tam giác KBD ta có :
 là góc chung , ( cmt )
=>∆KDI~∆KBD (g-g) => => KD2=KI.KB
Từ đó suy ra KM=KD=> K là trung điểm của DM
5/ 3 điểm Q,I,G thẳng hàng
Gỉa sử PI cắt BC tại L , IQ cắt AB tại S
Ta có : DL//MN .Áp dụng định lý ta lét trong tam giác DBK và tam giác MBK
 mà DK= MK => PI=IL
Ta có : AB//PL .Áp dụng định lý ta lét trong tam giác ta có :
 mà PI= IL => AS=BS
Gỉa sử SI cắt DK tại T Ta lại có : AB//DK .Lại áp dụng định lý ta –lét ta có :
 mà AS=BS => DT=KT => T là trung điểm của DK => G trùng với K =>3 điểm Q,I,G thẳng hàng
Bài 8 : Từ 1 điểm A ngoài (O;R) ,Kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là tiếp điểm và 1 cát tuyến ADE đến (O) sao cho D và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ OA khác nhau , Gọi H là giao điểm của OA và BC ,kẻ đường kính BK và DM của (O)
1/Chứng minh : CK//OA và tứ giác ABOC nội tiếp được , tứ giác BDMK là hỉnh chữ nhật
2/Chứng tỏ : Tứ giác DEOH nội tiếp
3/ OA cắt EK tại N .Chứng minh : 3 điểm M,N,B thẳng hàng
4/ MK cắt BC tại L , Gọi S là trung điểm của BL .Chứng minh : NS//AB
 Lời giải
1/ Chứng minh : CK//OA và tứ giác OABC nội tiếp ,Tứ giác BDMK là hình chữ nhật
Ta có : ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BK ) => BC_|_KC .Ta có : OA=OB=R ,AB=AC ( Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) => OA là trung trực của BC => HB=HC và OA_|_BC => OA//CK
Xét tứ giác ta có : Tứ giác ABOC nội tiếp ( tổng 2 góc đối =180* ) .Xét tứ giác BDKM ta có : OB=OK , OD=OM => Tứ giác BDKM là hình bình hành ta lại có : BK=DM => Tứ giác BDKM là hình chữ nhật
2/ Tứ giác DHOE nội tiếp
Xét tam giác ABD và tam giác AEB ta có
 là góc chung , ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến va 2 dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BD )=>∆ABD~∆AEB (g-g)=> => AB2=AD.AE
Xét tam giác OB vuông tại B có đường cao BH ta có : AB2=AH.AO ( hệ thức lượng trong tam giác vuông ) Từ đó suy ra AD.AE=AH.AO => 
Xét tam giác ADH và tam giác AOE ta có :
 là góc chung , ( cmt )
=>∆ADH~∆AOE (c-g-c) =>	 => Tứ giác DHOE nội tiếp ( góc ngoài 
bằng góc đối trong )
1/ Chứng minh : CK//OA và tứ giác OABC nội tiếp ,Tứ giác BDMK là hình chữ nhật
Ta có : ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BK ) => BC_|_KC .Ta có : OA=OB=R ,AB=AC ( Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) => OA là trung trực của BC => HB=HC và OA_|_BC => OA//CK
Xét tứ giác ta có : Tứ giác ABOC nội tiếp ( tổng 2 góc đối =180* ) .Xét tứ giác BDKM ta có : OB=OK , OD=OM => Tứ giác BDKM là hình bình hành ta lại có : BK=DM => Tứ giác BDKM là hình chữ nhật
2/ Tứ giác DHOE nội tiếp
Xét tam giác ABD và tam giác AEB ta có
 là góc chung , ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến va 2 dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BD )=>∆ABD~∆AEB (g-g)=> => AB2=AD.AE
Xét tam giác OB vuông tại B có đường cao BH ta có : AB2=AH.AO ( hệ thức lượng trong tam giác vuông ) Từ đó suy ra AD.AE=AH.AO => 
Xét tam giác ADH và tam giác AOE ta có :
 là góc chung , ( cmt )
=>∆ADH~∆AOE (c-g-c) =>	 => Tứ giác DHOE nội tiếp ( góc ngoài 
bằng góc đối trong )
3/ 3 điểm B,M,N thẳng hàng
Gọi F là giao điểm của DK và OA
Theo như trên ta đã có : , Do tứ giác EOHD nội tiếp => , do OE=OD =R => Tam giác ODE cân => , ta lại có : Từ đó suy ra =>=> ( cùng phụ với góc 2 bằng nhau ) .Ta có : ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BK ) .Xét tứ giác BDFH ta có : => Tứ giác BDFH nội tiếp => . Do tứ giác OEHD nội tiếp => ta lại có : ( liện hệ góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung ) .Từ tất cả trên suy ra
 => => BF//KE .Áp dụng định lý ta lét ta có : mà OB=OK => OF=ON , Dẩn đến tứ giác BFKN là hình bình hành => BN//DK ta lại có :BD_|_KD => BN_|_BD