Một số bài ôn tập môn Toán về tiếp tuyến

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Cho (m 1)x m(Cm) : y
x m
− += − . Định m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x0 = 4 thì 
song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục. 
y| = =|mf (x)
2
2
m
(x m)
−
− 
Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác 2( ) : y xΔ = − , ta phải có: 
2
| 2
m 2
mf 1 1 m (4 m) m
(4 m)
−= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =−
2 2 
 Cho 
2(3m 1)x m m(C) : y ,m 0.
x m
+ − += + ≠ Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành 
song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến. 
Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành 
2
0
m m 1x , m 0,
3m 1 3
− ⎧ ⎫= ∉⎨ ⎬+ ⎩ ⎭,1− 
2
|
2
4my
(x m)
= + 
Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x 
2
2 2
0 0 02
0
4m 1 4m (x m) x m x 3m
(x m)
= ⇔ = + ⇔ = ∨ = −+ 
2
2
m m m 1m
3m 1
1mm m3m 5
3m 1
⎡ − = −= ⎡⎢ + ⎢⎢⇔ ⇔ ⎢ = −−⎢− = ⎣⎢⎣ +
• tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1 m = −1
• 1m
5
= − tiếp tuyến tại 3 ,0
5
⎛⎜⎝ ⎠
⎞⎟ có pt : 3y x 5= − 
Cho m(C) : y x 1
x 1
= − + + .Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị vuông góc nhau 
Gọi là điểm cần tìm là đường thẳng (d) qua M0 0 0M (x ,y ) 0y k(x x ) y⇒ = − + 0 0 
(d) là t2 
0 0 0
2
0
mx 1 k(x x ) y kx k k kx y
x 1
11 k
(x 1)
⎧ − + = − + = + − − +⎪ +⎪⇔ ⎨⎪ − =+⎪⎩
0
0 0
mx 1 k(x 1) (1 x )k y
x 1
1x 1 k(x 1)
x 1
⎧ − + = + − + +⎪⎪ +⇔ ⎨⎪ + − = +⎪⎩ +
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
0 0
2
m 1x 1 x 1 (1 x )k y
x 1 x 1
1 1 k
(x 1)
⎧ − + = + − − − +⎪ + +⎪⇔ ⎨⎪ = −⎪ +⎩
[ ]
00 0
02
22 2
0 0
m 1 y 2y 2 (x 1)k kx 1 x 1
m 1 (1 k)(m 1) y 2 (x 1)k (1 k)(m 1)x 1
+⎧ +⎧= + − +⎪ ≠+ ⎪⎪ +⇔ ⇔⎨ ⎨+⎛ ⎞⎪ ⎪= − + + − + = − +⎜ ⎟ ⎩⎪ +⎝ ⎠⎩
0
0
2 2 2
0 0 0 0 0 0
y 2k
x 1
(x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*)
+⎧ ≠⎪ +⇔ ⎨⎪ + + − − − − + + − =⎩
Từ M0 kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau pt (*)⇔ có 2 nghiệm thỏa k1k2 = -1 và khác 0
0
y 2
x 1
+
+ 
0
0
2 2
0 0
y 2k
x 1 m 0
(x 1) (y 2) 4m
+⎧ ≠⎪ +⇔ ⇒⎨⎪ + + + =⎩
> 
Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị x 1y
x 3
+= − với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó 
vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 
|
2
4y ,
(x 3)
= − ∀ ≠− x 3 
Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là KT = -1 
. Gọi (x0,y0) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có 0| 2
00
T
x 54K y 1
x 1(x 3)
=⎡= ⇔ − = − ⇒ ⎢ =− ⎣
• 0 0 1x 1 y 1 (T ) : y x= ⇒ = − ⇒ = −
• 0 0 2x 5 y 3 (T ) : y x= ⇒ = ⇒ = − + 8
{ } { }1 2(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩ = ∩ = 
Cho hàm số x 2y f(x)
x 1
+= = − ; gọi đồ thị hàm số là (C) , và A(0,a).Xác định a để từ A kẻ được 2 tiếp 
tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox 
Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại 
00 0 0 0 0
|
(x )M (x ,y ) : y y f (x x )− = − 
0 0
0 02 2
0 0 0 0
x 2 x 23 3y (x x ) ; A(0,a) (T) : a
x 1 (x 1) x 1 (x 1)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⇔ − = − − ∈ − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( x ) 
00
22
0 00 0 0(x )
x 1x 1 0
g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0(a 1)x 2(a 2)x a 2 0
≠⎧− ≠⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = − − + + + =− − + + + =⎩ ⎪⎩
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi 
0(x )
g 0= có 2 nghiệm phân biệt khác 1 
và | 2
2
g
a 1 0
(a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1
g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0
⎧ − ≠⎪Δ = + − + − > ⇔ − < ≠⎨⎪ = − − + + + ≠⎩
Khi đó gọi là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox 1 1 1 2 2 2M (x ,y ),M (x ,y )
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
x 2 x 2 x x 2(x x ) 4y y 0 0 0 (1)
x 1 x 1 x x (x x ) 1
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + +⇔ < ⇔ < ⇔ <⎜ ⎟⎜ ⎟− − − + +⎝ ⎠⎝ ⎠
Trong đó x1,x2 là nghiệm của có 0g(x ) 0=
1 2
1 2
2(a 2)x x
a 1
a 2x x
a 1
+⎧ + =⎪⎪ −⎨ +⎪ =⎪⎩ −
 (1) a 2 4(a 2) 4(a 1) 9a 60 0
a 2 2(a 2) a 1 3
+ + + + − +⇔ < ⇔+ − + + − − < 
20 a 2 a 13
3Đk 2 a 1
⎫⇔ ⇔ > − ⎪⇒ − < ≠⎬⎪− < ≠ ⎭
Cho hàm số có đồ thị (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của 
(C) tại M đi qua gốc toạ độ 
3 2y 2x 3x 12x 1= + − −
Ta có | 2 0 0y 6x 6x 12 , M(x ,y )= + − ⇒ tiếp tuyến tại M (C)∈ 
| 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 00(x )
y y (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)= − + = + − − + + − − 
(T) qua gốc toạ độ O(0,0) 3 2 20 0 0 0 0: 4x 3x 1 0 (x 1)(4x x 1) 0+ + = ⇔ + − + =
0 0x 1 y 12 M( 1,1⇔ = − ⇒ = ⇒ − 2) 
Cho hàm số 31y x x
3 3
= − + 2 có đồ thị (C) . Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị (C) 
vuông góc với đường thẳng 1 2y x
3 3
= − + 
Gọi 30 0 0
1A x , x x
3 3
⎛ − +⎜⎝ ⎠
2 ⎞⎟ là điểm bất kỳ thộc (C) . 
Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc 200
|
(x )k y (x 1) (1)= = − 
Do (T) vuông góc với đường thẳng 1 2y x
3 3
= − + k 3⇒ =
Khi đó 20 0x 1 3 x 2− = ⇔ = ±
Vậy 1 2
4A 2, ,A ( 2,0)
3
⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Cho hàm số 
2x 3x 6y
x 1
− += − , đồ thị (C) . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số 
(C) , tìm toạ độ tiếp điểm 
Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) 
QuaO
Hệ số góc k
⎧⎨⎩ (T) : y kx⇔ =
2
2
2
x 3x 6 kx
x 1
x 2x 3 k
(x 1)
⎧ − + =⎪ −⎪⇔ ⎨ − −⎪ =⎪ −⎩
 có nghiệm 
2 2(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x
x 1
⎧ − − + = − −⇔ ⎨ ≠⎩
2x 6x 3 0
x 3 6
x 1
⎧ − + =⇔ ⇔ =⎨ ≠⎩
± 
Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C) 
1
2
M (3 6,3 6 3)x 3 6 y 3 6 3
M (3 6, 3 6 3x 3 6 y 3 6 3
⎡⎡ ⎡ = + −= + = −⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢ = − − −= − = − − ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣ )
Cho hàm số 3 2y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)= − − − + + −
 1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1 
 2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 
1.m =1 
2. 3(C) : y x 3x ; A(a,2) (d) : y 2 (d) : y k(x a) 2= − ∈ = ⇒ = − +
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 
3
2
x 3x k(x a) 2
3x 3 k
⎧ − = − +⎨ − =⎩
2
x 1
f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0
= −⎡⇔ ⎢ = − + + + =⎣ 
Qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) có 2 nghiệm khác 1 f(x) 0⇔ =
f
( 1)
0
f 0−
Δ >⎧⇔ ⎨ ≠⎩
2(3a 2) 8(3a 2) 0 a a
3
2 3a 2 3a 2 0 a 1
⎧+ − + > 2⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨+ + + + ≠⎩ ⎪ ≠ −⎩
Vậy điểm cần tìm là A(a,2) ; 2a a 2 a
3
 ∧ ≠ −1
1
Cho hàm số , đồ thị (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ 
được 3 tiếp tuyến đến (C) 
4 2y x 2x= − + −
Gọi A(0,a) , (d) là đường thẳng qua A dạng Oy∈ : y kx a= + 
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ : 
4 2
4 2
3
x 2x 1 kx a
3x 2x 1 a 0 (1)
4x 4x k
⎧− + − = + ⇔ − − − =⎨− + =⎩
Từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi (1) phải có 3 nghiệm 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
1 a 0 a 1⇔− − = ⇔ = − . Khi đó 4 2 23x 2x 0 x 0 x
3
− = ⇔ = ∨ = ± 
Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1) 
Cho hàm số ; đồ thị (C) 3 2y x 3x 2= − +
 1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy 
 2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên 
1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng y k(x 1)= − là tiếp tuyến của (C) khi hệ 
3 2
2
x 3x 2 k(x 1
3x 6x k
⎧ − + = −⎨ − =⎩
)
3
b
 có nghiệm 3(x 1) 0 x 1 k 3⇔ − = ⇒ = ⇒ = −
Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : kẻ đến (C) y 3x= − +
2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng y 3x= − + 
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ : 
3 2
2
x 3x 2 3x b
3x 6 3
⎧ − + = − +⎨ − = −⎩
3 2b x 3x 2
b 3 (T) : y 3x 3
x 1
⎧ = − +⇔ ⇒ = ⇒ = −⎨ =⎩
+ 
(T) (d)≡ vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A 
Cho hàm số 
4
2xy 3x
2 2
= − + 5
a
, có đồ thị (C) 
 1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ Mx = .CMR hoành độ các giao điểm của 
tiếp tuyến (d) với đồ thị là nghiệm của phương trình 2 2 2(x a) (x 2ax 3a 6) 0− + + − = 
 2.Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thị tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm 
qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ 
1.Gọi 
4 4
2 2
(a)
|
(a)
a 5 a 5M a, 3a (C) y 3a y 2a(a 3)
2 2 2 2
⎛ ⎞− + ∈ ⇒ = − + ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
2 
Tiếp tuyến tại M có phương trình 2 4 23 5y 2a(a 3)x a 3a
2 2
= − − + + 
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là : 
4
2 2 4x 5 33x 2a(a 3)x a 3a
2 2 2
− + = − − + +2 5
2
2
2 2 2(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔ − + + − = 
2.Qũy tích trung điểm K 
Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có 
2 nghiệm khác a 
2x 2ax 3a 6+ + −
| 2 2
2 2 2
a 3a (3a 6) 0
a 1a 2a 3a 6 0
⎧⎧ ⎪⇔⎨ ⎨ ≠+ + − ≠ ⎪⎩ ⎩
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Khi đó 
K
4 2
K K K
x a ; x 3; x
K 7 5y x 9x
2 2
⎧ = − ≤ ≠⎪⎨ = − + +⎪⎩
1
Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong 4 27y x 9x
2 2
5= − + + và giới hạn bởi 1 x 3≠ ≤ 
Cho hàm số có đò thị là (Cm).Định m để các tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại A và 
B điểm cố định vuông góc nhau 
4 2y x 2mx 2m= − + − +1
x
Điểm cố định A(-1,0) B(1,0) và | 3y 4x 4m= − +
| |
A By 4 4m ;y 4 4m⇒ = − = − + 
Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau | |BAy .y 1⇔ = − 
3 5(4 4m)(4m 4) 1 m m
4 4
⇔ − − = − ⇒ = ∨ = 
Cho hàm số x 1y
x 1
+= − có đồ thị (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ 
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) 
Gọi A(0,a) qua A có phương trình Oy∈ (d)⇒ y kx a= + 
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 
2
2
2
x 1 kx a
x 1 2xx 1 a (a 1)x 2(a 1)x a 1 0 (1
2 x 1 (x 1)k
(x 1)
+⎧ = +⎪ + −−⎪ ⇒ = + ⇔ − − + + + =⎨ − − −⎪ =⎪ −⎩
) 
Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C) (1)⇔ có 1 nghệm 
™ Xét (1) 1a 1 0 a 1 4x 2 0 x A(0,1)
2
− = ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒ 
™ a 1 0 a 1 a 1 A(a, 1
' 0 2a 2 0
⎧ − ≠ ≠⎧⇔ ⇔ = − ⇒⎨ ⎨Δ = + =⎩⎩
)−
Cho hàm số x 1y
x 1
−= + có đồ thị (C) 
Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị và góc giữa 2 
tiếp tuyến đó bằng 
4
π 
Gọi M(x0,y0) tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng 0 0y x M(x ,x )∈ = ⇔ ⇒ 0y k(x x ) x0= − + (d) 
Phương trình hoành độ của (d) và (C) 0 0
x 1kx kx x (1)
x 1
−− + = + 
Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép 2 0 0 0 0kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔ + − + − + − + =
 có nghiệm kép 2 2 2 2
0 0 0
k 0
(1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2)
≠⎧⇔ ⎨Δ = + − + + − =⎩
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc 
4
π 
(2)⇔ có 2 nghiệm phân biệt thỏa 
2
1 2 1 2
1 2 1 2
k k k k
tan 1 1
1 k .k 4 1 k .k
⎛ ⎞− −π= = ⇔ =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
00
2 22 2
0 0 0
1 2 1 2 0 0
k
x 1x 1 0
8(x 1) 0 2(x 3) x 15 1(k k ) 5k .k 1 0 (1 x ) x 1
≠⎧+ ≠⎧ ⎪⎪⇔ Δ = + > ⇔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎨ + − 0− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ − − = + +⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩
0
02
0
x 1 M( 7, 7)
x 7
x 1 8 M( 7, 7)
⎧≠ − − −⎧ ⎪⇔ ⇔ = ± ⇒⎨ ⎨+ =⎩ ⎪⎩
Cho Parabol . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp 
tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45
2(P) : y 2x x 3= + −
0
Gọi M(0,m) . Phương trình qua M có hệ số góc k là y kOy∈ x m (d)= + 
Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là : 
2 22x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+ − = + ⇔ + − − − = 
(d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép 0⇔Δ = 
2k 2k 8m 25 0 (2⇔ − + + = )
5
Có 1 2 1 2k k 2 ; k .k 8m 2+ = = +
Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 450 khi 0 2 1
1 2
k ktan 45 1
1 k .k
−= = + 
2 2
1 2 1 2 1 2(k k ) 4k k (1 k k )⇔ + − = + (3) 
Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 450 khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3) 
|
22
k m 31 8m 25 0
16m 112m 193 04 4(8m 25) (8m 26)
< −⎧Δ = − − = ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ + + =− + = + ⎩⎩
3 14 3 14m m
4 4
+ −⇔ = − ∨ = 
Vậy 1 2
3 14 3 14M 0, ,M 0,
4 4
⎛ ⎞ ⎛+ −−⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎟⎠
Cho hàm số 
2xy
x 1
= − gọi đồ thị là (C) . Tìm trên đường y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể 
kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập nhau góc 450
Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4 
Gọi (T) là đường thẳng 
QuaA(a,4)
có dạng: y k(x a) 4
Có hệ số góc là k
⎧ = − +⎨⎩ 
Và mọi đường thẳng (T1) và (T2) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng : 
1 2y k (x a) 4 và y k (x a) 4= − + = − + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Do (T1) và (T2) tạo nhau 1 góc 450 khi 0 1 2
1 2
k ktan 45
1 k .k
−= + 
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 k k ) (k k ) (1 k k ) (k k ) 4k k 0 (1)⇔ + = − ⇔ + − + + = 
Do (T) là tiếp tuyến của đồ thị (C)
2x k(x a) 4
x 1
⇔ = − +− có nghiệm kép 
2(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔ − − − − + − = có nghiệm kép khác 
1 22 2
k 11 k 0
k (a 1) 4(a 2) 0 (2)(a 1) k 4(a 2)k 0
⎧ ≠⎧− ≠⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎡ ⎤− − − =Δ = − − − = ⎪⎪ ⎣ ⎦⎩⎩
Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 450 khi phương trình (2) có 2 nghiệm k1,k2 (k 1)≠ 
và thỏa mãn hệ thức (1) 
2
k 0
4(a 2)k
(a 1)
=⎧⎪ −⎨ =⎪ −⎩
 thỏa mãn (1) khi 
2
2
22
2
4(a 2)k 1 a 3(a 1)
a 1
4(a 2) a 2a 7 0k 0.(1 0) 0 4.0 0
(a 1)
−⎧ = ≠ ≠⎧⎪ −⎪ ⎪⇔ ≠⎨ ⎨−⎡ ⎤⎪ ⎪ + − == + − + + = ⎩⎢ ⎥⎪ −⎣ ⎦⎩
a 1 2
a 1 2
⎡ = − −⇔ ⎢ = − +⎢⎣
2
2
Vậy 1 2A ( 1 2 2,4) , A ( 1 2 2,4)− − − + 
Cho hàm số 
2x x 2y
x 1
+ += − có đồ thị (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị tại A vuông 
góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thị 
Giả sử 0 0
0
4A x ,x 2
x 1
⎛ + +⎜ −⎝ ⎠
⎞⎟ là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận 
0 0
0
4AI 1 x ,1 x
x 1
⎛ ⎞⇒ = − − −⎜ ⎟−⎝ ⎠
uur
Như vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI AI
uur
Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc 
|
2
0 0
0(x )
4k y 1 a 1,1
(x 1) (x 1)
⎛ ⎞= = − ⇒ = −⎜− −⎝ ⎠
r
2
4 ⎟ là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó (d) (AI) a.AI 0⊥ ⇔ =
r uur
0
4x 1 8⇒ = ± 
Vậy có 2 điểm 
4 4
4 4
1 24 4
4 3 8 8 4 3 8 8A 1 8, , A 1 8,
8 8
⎛ ⎞ ⎛− + + +− +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎟⎠
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Cho hàm số 
2x 3x 2y
x
− += .Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp 
tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau 
Gọi M(1,m) .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : x 1∈ = y k(x 1) m= − + 
 Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ 
2
2
2
x 3x 2 k(x 1) m
x
x 2 k
x
⎧ − + = − +⎪⎪⎨ −⎪ =⎪⎩
 ( I ) có 2 nghiệm thỏa mãn 1 1
2 2
(x ,k )
(x ,k )
⎧⎨⎩ 1 2
k .k 1= − 
Từ ( I ) 2(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒ + − + = ≠
Theo ycbt 
2 2
1 2
2 2
1 2
m 2 0
' 4 2(m 2) 0
(x 2) (x 2). 1
x x
⎧⎪ + ≠⎪⎪⇔ Δ = − + >⎨⎪ − −⎪ = −⎪⎩
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
m 2
m 0
(x x ) 2 (x x ) 2x x 4 (x x )
⎧ ≠ −⎪⎪⇔ <⎨⎪ ⎡ ⎤− + − + = −⎪ ⎣ ⎦⎩
2 2
2 m 0
2 4 42 4
m 2 m 2 m 2 m 2
− ≠ <⎧⎪ ⎡ ⎤⇔ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
22
+
2
2 m 02 m 0
m 3
m 6m 2 0 m 3 7
− ≠ <⎧− ≠ <⎧ ⎪⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨+ + = = − ±⎪⎩ ⎩
7− ± 
Vậy 1 2M (1, 3 7) , M (1, 3 7)− − − + 
Cho hàm số .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ 
thị (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. 
3y x 3x= + 2
Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành 
Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng : y k(x m)= − 
(d) là tiếp tuyến (C) khi 
3 2
2
x 3x k(x m)
( I )
3x 6x k
⎧ + = −⎨ + =⎩
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trị k 
sao cho 2 trong 3 giá trị đó tích bằng -1 
Khi đó ( I ) 3 2 2 2x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0⎡ ⎤⇔ + = + − ⇔ + − − =⎣ ⎦
2
x 0
2x 3(1 m)x 6m 0 (*)
=⎡⇔ ⎢ + − − =⎣ 
Theo ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
2 m 33m 10m 0
1 m 0m 0
3
 ⎢⇔ ⇔⎨ ⎢− < ≠≠⎩ ⎣
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và 1 2
1 2
2x x (m 1
3
x x 3m
⎧ + = −⎪⎨⎪ = −⎩
)
Khi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì 2 21 1 1 2 2 2 3k 3x 6x , k 3x 6x , k 0= + = + = 
Theo bài toán : 2 21 2 1 1 2 2k k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1= − ⇔ + + = −
1m
27
⇒ = thỏa hoặc m < −3 1 m 0
3
− < ≠ 
Vậy 1M ,0
27
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Cho hàm số 
22x x 1y
x 1
− += − có đồ thị (C) . Tìm trên trục hoành 4 điểm từ đó dựng được tiếp tuyến hợp 
với Ox góc 450 . Viết phương trình tiếp tuyến đó 
Tiếp tuyến hợp với Ox góc 450 là tiếp tuyến có hệ số góc k 1= ± 
TH1: | 2
2k y 1 2 1 x 1 2
(x 1)
= = ⇔ − = ⇒ = ±− 
1
2
(T ) : y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2
(T ) : y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2
⎡⎡ ⎡ = + −= − = −⇒ ⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢ = + += + = + ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣
TH2: | 2
2 2k y 1 2 1 x 1
(x 1) 3
= = − ⇔ − = − ⇔ = ±− 
3
4
2 2x 1 y 3 5 (T ) : y x 4 2 63 3
(T ) : y x 4 2 62 2x 1 y 3 5
3 3
⎡ ⎡= − = −⎢ ⎢ ⎡ = − − −⎢ ⎢⇒ ⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢ = − + +⎢⎣= + = +⎢ ⎢⎣ ⎣
Cho hàm số có đồ thị (C) 3 2y x 3x 2= − +
1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua 23A , 2
9
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) 2 tiếp tuyến vuông góc 
1.Tiếp tuyến (C) qua A : 23y k x 2
9
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Ta có : 
3 2
2
23x 3x 2 k x 2
9
3x 6x k
⎧ ⎛ ⎞− + = − −⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎨⎪ − =⎩
 2(x 2)(3x 10x 3) 0⇒ − − + =
x 2, k 0
x 3, k 9
1 5x , k
3 3
⎡⎢ = =⎢⇔ = =⎢⎢ = = −⎢⎣
 tiếp tuyến ⇒
(d) : y 2
(d) : y 9x 25
5 6(d) : y x
3 2
⎡⎢ = −⎢ = −⎢⎢ = − +⎢⎣
1
7
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
2.Gọi A(a,-2) y 2∈ = −
Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc là k , có phương trình y k(x a) 2= − − 
Điều kiện (T) và (C) tiếp xúc nhau là: 
3 2
2
2
x 3x 2 k(x a) 2
(x 2) 2x (3a 1)x 2 0
3x 6x k
⎧ − + = − − ⎡ ⎤⇒ − − − + =⎨ ⎣ ⎦− =⎩
2
1 2 1 2
x 2 ; k 0 y 2
3a 1g(x) 2x (3a 1)x 2 0 có x x ;x .x 1
2
= = ⇒ = −⎡⎢⇔ −⎢ = − − + = + = =⎣
Để từ A dựng 2 tiếp tuyến vuông góc khi g(x) = 0 có 2 nghiệm x1,x2 sao cho k1(x1).k2(x2) = -1 
2
2 2
1 2 1 1 2 2
g
(2)
5a 1 a0 (3a 1) 16 0 3
k .k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1 27a 55
g 0 a 2 a 2
⎧ Δ > ⎪⎧ ⎧ − − > ⎪⎪ ⎪⇔ = − ⇔ − − = − ⇔ =⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪≠ ≠ ≠⎩⎩ ⎪⎩
55 55a A ,
27 27
⎛ ⎞⇔ = ⇒ −⎜ ⎟⎝ ⎠2
2
Cho hàm số . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó dựng được 3 tiếp tuyến đến 
đồ thị 
3 2y x 3x= − + −
Gọi A(a,2) y 2∈ =
Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k có phương trình : y k(x a) 2= − + là tiếp tuyến của (C) khi hệ : 
 có nghiệm 
3 2
2
x 3x 2 k(x a) 2
3x 6x k
⎧− + − = − +⎨− + =⎩
2
2
(x 2) 2x (3a 1)x 2 0 x 2 0
2x (3a 1)x 2 g(x) 0
⎡ ⎤⇒ − − − + = ⇔ − =⎡⎣ ⎦ ⎢ − − + = =⎣
Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 thỏa : 
g
(2)
50 3(a 1)(3a 5) 0 a 1 a
3
g 0 a 2 a 2
⎧Δ >⎧ + − > ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨≠ ≠⎩⎪ ⎪⎩ ≠⎩
Vậy 5a 1 a a
3
 ∧ ≠ 2 
Cho họ đường cong (m 1)x m(Cm) : y ,m 0
x m
− += − ≠ .Chứng minh rằng (Cm) tiếp xúc 1 đường thẳng cố 
định tại 1 điểm cố định khi m: thay đổi 
Gọi (x0,y0) là điểm cố định mà (Cm) đi qua khi 00
0
(m 1)x m
y
x m
− += − 
0 0 0 0(x y 1)m x (y 1) 0 :⇔ + − − + = có nghiệm m 0∀ ≠ ; 0x m≠ 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
0 0 0 0
0 0 0 0
x y 1 0 x 0 x 2
x (y 1) 0 y 1 y 1
⎧+ − = = =⎧ ⎧⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨+ = = = −⎪⎩ ⎩⎩
Điều kiện ; nên A(0,1) thỏa bài toán m 0∀ ≠ 0x m≠
Vậy A(0,1) là điểm cố định mà (Cm) đi qua 
Ta lại có 
2 2
| |
2 2(0)
m my y 1 ;
(x m) (0 m)
=− −= ⇒ = − ∀− − m 0≠ 
Vậy phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại A là |A A(0)y y y (x x )− = − 
y x 1⇔ = + 
Cho hàm số ,đồ thị là (C) . Tìm trên đường thẳng y = -4 những điểm A mà từ đó có thể 
kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 
3y x 12x 12= − +
Gọi A(a,-4) y 4∈ = − (d) : y k(x a) 4⇒ = − −
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 
3
2
x 12x 12 k(x a) 4
3x 12 k
⎧ − + = − −⎨ − =⎩
2
x 2
g(x) 2x (4 3a)x 8 6a 0
=⎡⇔ ⎢ = + − + − =⎣ 
Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt g(x) 0⇔ = có 2 nghiệm phân biệt khác 2 
(2)
g
40 a 4 a
3
g 0 a 2
⎧ ⎧Δ > ⎪ ⎪⇔ ⇒⎨ ⎨≠⎪ ⎪ ≠⎩⎩
Vậy những điểm 4A(a, 4);a 4 a a 2
3
− ∧ ≠ thỏa bài toán 
Cho hàm số , có đồ thị là (C) 4 3y x 4x 3= − +
 1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt 
 2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thị song song với tiếp tuyến vừa kể . Cho biết hoành 
độ tiếp điểm 
 3.Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo tham số m , suy ra số nghiệm phương trình : 
 4 3x 4x 8x m 0− + + =
1.Tiếp tuyến tại 2 điểm của (C) dạng y ax b= + (d) 
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: 4 3x 4x 3 ax b− + = + 
4 3x 4x ax 3 b 0⇔ − − + − = (1) 
Để (d) tiếp xúc (C) thì phải có đồng thời 2 nghiệm kép 
4 3 2x 4x ax 3 b (x ) (x )⇔ − − + − = −α −β 2 
4 3 4 3 2 2 2x 4x ax 3 b x 2( )x ( 4 )x 2 ( )x⇔ − − + − = − α +β + α +β + αβ − αβ α +β 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Đồng nhất thức 2 vế 
2 2
2 2
2 2
4 0
2 ( ) a a 8
3 b b 1
α+β = α +β =⎧ ⎧⎪ ⎪α +β + αβ = αβ = −⎪ ⎪⇔⎨ ⎨αβ α +β = = −⎪ ⎪⎪ ⎪α β = − = −⎩ ⎩
2
1tiếp tuyến : y 8x 1 (d ) 
hoành độ tiếp điểm : 1 3 ; 1 3
= − −⎧⎪⇒ ⎨ α = − β = +⎪⎩
2.Tiếp tuyến song song y 8 x= − −1
Ta có | 3 2y 8 4x 12x 8 x 1 y 0
x 1 3
x 1 3
= − ⇔ − = − ⇔ = ⇒ =⎡⎢ = −⎢⎢ = +⎣
)Vậy tiếp tuyến thứ 2 có phương trình 2y 8x 8 (d= − + 
3. 3 34 4x 4x 8x m 0 x 4x 3 8x m− + + = ⇔ − + = − + 3
Là phưong trình hoành độ giao điểm giữa 34(C) : y x 4x 3
(d) : 8x m 3
⎧ = − +⎨ − +⎩
{ } { }
{ }
1
2
(d ) Oy 0, 1 , (d) Oy 0,3 m
(d ) Oy 0,8
∩ = − ∩ = −
∩ = 
 -m + 3 m Nghiệm phương trình 
 +∞ m < -5 2 nghiệm 
 8 m = -5 3 nghiệm (có 1 nghiệm kép x = 1) 
 -5 < m < 4 4 nghiệm phân biệt 
 -1 m = 4 2 nghiệm kép x = 1 3 ±
 −∞ m > 4 Vô nghiệm 
Cho hàm số 
2(3m 1)x m my
x m
+ − += + , m 0≠ có đồ thị là (Cm) 
 1.Với giá trị nào của m thì giao điểm của đồ thị với trục hoành , tiếp tuyến sẽ song song với 
đường thẳng y = x – 20 . Viết phương trình tiếp tuyến ấy 
 2.CMR : (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định 
 3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua 
1.
2
2
0 0
m m 1(Cm) Ox : (3m 1)x m m 0 x ;m 0;m
3m 1 3
−∩ + − + = ⇔ = ≠ ≠+ − 
Ta có : 
2 2
| |
02 2
4m (3m 1)y y
(x m) 4m
+= ⇒ =+ 
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 10 
2
|
0 2
(3m 1)y 1
4m
+ 1⇔ = ⇔ = 
10 0
20 0
A( 1,0) , (T ) : y x 1m 1 , x 1 , y 0
3 31 3 B ,0 , (T ) : y xm , x , y 0
5 55 5
− =⎡= − = − =⎡ ⎢⎢⇔ ⇔ ⎛ ⎞⎢⎢
+
= −= − = = ⎜ ⎟⎢⎣ ⎝ ⎠⎣
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
2.Gọi đường thẳng cố định là y = ax + b 
Phương trình hoành độ giao điểm : 
2(3m 1)x m m ax b
x m
+ − + = ++ [ ]2 2ax (a 3)m b 1 x m (b 1)m 0⇔ + − + − + + − = 
ĐKTX : [ ]2 2
a 0a 0
m
(a 10a 9)m 2 (a 3)(b 1) 2a(b 1) m (b 1) 00
≠⎧≠⎧ ∀ ⇔⎨ ⎨ − + + − − − − + − =Δ =⎩ ⎩ 2
1
2
a 1
(T ) : y x 1
a 9
(T ) : y 9x 1
b 1
⎧ =⎡ = +⎧⎪⎢⇔ ⇔=⎨ ⎨⎣ = +⎩⎪ =⎩
3.Gọi A(1,a) x 1∈ =
Ycbt : 
23m 1 m mA (Cm)Khi: a
1 m
+ − +∉ = + vô nghiệm m 
2m (a 4)m a 1⇔ + − + − = 0 vô nghiệm m khi m 0Δ < 
2a 12a 20 0 2 a 10⇔ − + < ⇔ < < 
Những điểm mà (Cm) không qua là A(1,a) ; 2 a 10< < 
Cho đường cong ; đồ thị (C) 3y 3x 4x= −
 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó đi qua M(1,3) 
 2.Tìm trên đường cong y = -9x + 8 những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C) và chúng 
vuông góc nhau 
1.Gọi (d) là đường thẳng qua M(1,3) và có hệ số góc là k có pt : y = k (x – 1) và có x0 là hoành độ tiếp 
điểm , khi đó ta có : 30 0 0 0
2
0
0
3x 4x k(x 1) 3 x 0 ; k 3 ; y 3x
3 12x k 3x ; k 24 ; y 24x 27
2
⎧ − = − + ⇔ = = =⎧⎪⎨ ⎨− =⎩ = = − = − +⎪⎩
2.Gọi . Mọi đường thẳng qua A có hệ số góc là k đều có phương trình : A(a, 9a 8) y 9x 8− + ∈ = − +
y k(x a) 9a 8= − − + và x0 là hoành độ tiếp điểm khi hệ 
3
0 0
2
0
3x 4x k(x a) 9a 8
3 12x k
⎧ − = − − +⎨ − =⎩
 có nghiệm 
0
2
0 0 0
0
2
0 0( )x
(x 1) 2x (2 3a)x 2 3a 0
x 1 ; k 9
f 2x (2 3a)x 2 3a
⎡ ⎤⇔ − − − + − =⎣ ⎦
= =⎡⇔ ⎢ = − − + − =⎣ 0
Theo bài toán ta có = 0 có 2 nghiệm phân biệt 0( )xf
2 2(2 3a) 8(2 3a) 0 a a 2 (*)
3
⇔ − − − > ⇔ > ∨ < − 
0( )xf = 0 thỏa k1.k2 = -1 
0
2 2
1 2
2 2 2
1 2 1 1 1 2 1 2 (x )
(3 12t )(3 12t ) 1
9 36 (t t ) 2t t 144t t 1 Với t t là 2 nghiệm của f = 0 
⇔ − − = −
⎡ ⎤⇔ − + − + = −⎣ ⎦
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Gọi (Cm) là đồ thị 
2x (1 2m)x my f (x)
x 1
+ − −= = − . Hãy xác định giá trị m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và 2 
tiếp tuyến đó vuông góc với 
Giải
2
2
x 2x my ' f '(x)
(x 1)
+ += = + ; 
my x 2m ;(m 0)
x 1
= − + ≠+ 
(Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình : 2x (1 2m)x m 0+ − − = (1) có hai nghiệm 
phân biệt khác -1 ⇔
2
2
(1 2m) 4( m) 0
( 1) (1 2m)( 1) m 0
⎧Δ = − − − >⎪⎨ − + − − − ≠⎪⎩
⎧⎨ đúng. ⇔
24m 1 0
m 0
+ >
≠⎩
≠Vậy với m thì (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt với 0 1 2( ,0), ( ,0)M x N x 1 2,x x là 2 nghiệm của 
phương trình (1). Khi đó ta có : 1 2x x 2m 1+ = − và 1 2x x m= − 
Tiếp tuyến tại M, N vuông góc nhau ⇔ 1 2'( ) '( ) 1f x f x = − 
( )