Một số bài tập hình học 10 hay và khó

Thầy Trịnh Quang Hũa-THPT Hiệp Hũa 3- Hiệp Hũa - Bắc Giang 
MỘT SỐ BÀI TẬP HèNH HỌC 10 HAY VÀ KHể 
Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng: 
4AD BD AC BC MN   
    
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn: ADACABAM3  
Bài 3. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho: 0MC3MB  , NC3AN  , 0PBPA  
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. 
Bài 4. Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. 
a. CMR: véctơ MC2MB5MA3v  không đổi. 
b. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MCMBMC2MB2MA3  
Bài 5. Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao 
cho: 
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c. 22 OB
1
OA
1
 nhỏ nhất 
Bài 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông, N là điểm 
tuỳ ý trên cạnh BC. Tính: 
a. MD.MCMB.MA  b. NB.NA c. BA.NO 
Bài 7. Cho nửa đường tròn đường kính AB có AC, BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. 
Chứng minh rằng: 2ABBD.BEAC.AE  
Bài 8. Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C. Chứng minh rằng: . . . 0MA BC MB CA MC AB  
     
Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đường cao AB=h. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho: 
a. BDCI b. ACDI c.BMCN với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD. 
Bài 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho: 
a.    0MCMA.MBMA  b. 22 aMC.MBMB2  với BC=a. c. AB.ACAB.AM  
Bài 11. Cho tam giỏc ABC cú A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8). 
 a) Tớnh AB AC.
 
. Chứng minh tam giỏc ABC vuụng tại A. 
 b) Tỡm tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. 
 c) Tỡm toạ độ trực tõm H và trọng tõm G của tam giỏc ABC. 
 d) Tớnh chu vi, diện tớch tam giỏc ABC. 
 e) Tỡm toạ độ điểm M trờn Oy để B, M, A thẳng hàng. 
 f) Tỡm toạ độ điểm N trờn Ox để tam giỏc ANC cõn tại N. 
 g) Tỡm toạ độ điểm D để ABDC là hỡnh chữ nhật. 
 h) Tỡm toạ độ điểm K trờn Ox để AOKB là hỡnh thang đỏy AO. 
 i) Tỡm toạ độ điểm T thoả TA TB TC2 3 0  
   
 k) Tỡm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. 
l) Tỡm toạ độ điểm I sao cho IA +IB nhỏ nhất 
Bài 12. Hóy tỡm trong tam giỏc ABC một điểm M sao cho tớch cỏc khoảng cỏch từ M đến ba cạnh cú giỏ trị lớn 
nhất. 
Bài 13.Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp (O) và ba số , ,   sao cho 0     . Tỡm điểm M thuộc (O) 
để biểu thức | |T MA MB MC    
  
đạt GTLN, GTNN ? 
Bài 14. Cho tam giỏc ABC khụng đều nội tiếp đường trũn (O). Tỡm trờn đường trũn điểm M để cú tổng bỡnh 
phương khoảng cỏch từ đú đến ba đỉnh tam giỏc là nhũ nhất, lớn nhất. 
Bài 15. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Gọi là gúc  giữa hai trung tuyến BD và CK. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 
của cos 
Bài 16: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh là a. Trờn hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điềm di dộng E và F sao 
cho AE+EF+FA=2a. 
a) Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luụn luụn tiếp xỳc với một đường trũn cố định. 
b) Tỡm vị trớ của E,F sao cho diện tớch tam giỏc CEF lớn nhất. Tỡm giỏ trị lớn nhất đú. 
Bài 17. Cho tam giỏc ABC thay đổi cú AB=6 và CA=2CB. Tỡm giỏ trị lớn nhất của diện tớch tam giỏc ABC. 
Thầy Trịnh Quang Hũa-THPT Hiệp Hũa 3- Hiệp Hũa - Bắc Giang 
Bài 18. Cho đường thẳng d và ABC . Với mỗi điểm D thuộc d dựng điểm M sao cho DM DA DB DC  
   
. 
Tỡm độ dài nhỏ nhất của DM

. 
Bài 19. Cho 3 điểm A, B, C và đường thẳng d. Tỡm điểm M thuộc d để biểu thức sau đạt giỏ trị nhỏ nhất: 
 T = . 2. .MA MB MB MC
   
Bài 20. Cho ABC cú  060A  . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 3T MA MB MC   . 
Bài 21. Cho ABC trọng tõm G nội tiếp đường trũn  ;O R . G ọi M là một điểm thuộc đường trũn đường kớnh 
OG. Giả sử AM, BM, CM cắt  O theo thứ tự tại cỏc điểm ', ', 'A B C .CMR: 3
' ' '
MA MB MC
MA MB MC
   
Bài 22. Cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũn tõm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua 
cỏc đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tõm của tam giỏc ABC và L là trọng tõm tam giỏc MNP. Chứng minh 
rằng OA OB OC OH  
   
 và ba điểm O, H, L thẳng hàng. 
Bài23.Cho tứ giỏc lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bờn trong tứ giỏc sao cho 
   MAB MBC MCD MDA     . Chứng minh đẳng thức sau:
2 2 2 2
cot
2 . .sin
AB BC CD DA
AC BD


  
 , 
trong đú  là số đo gúc giữa hai đường thẳng AC và BD. 
Bài 24. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuụng gúc Oxy, cho tam giỏc ABC ngoại tiếp đường trũn tõm I . 
Cỏc đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC tại cỏc điểm 
  7 5 13 51; 5 , ; , ;
2 2 2 2
M N P
       
   
 (M, N, P khụng trựng với cỏc đỉnh của tam giỏc ABC). Tỡm tọa độ cỏc đỉnh 
A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm  1; 1Q  và điểm A cú hoành độ dương. 
Bài 25. Cho tam giác ABC có đường cao CH, H thuộc AB. Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của AB, CH. 
Đường thẳng d di động song song với AB cắt AC, BC lần lượt tại M và N. Vẽ hình chữ nhật MNPQ với P, Q 
thuộc AB. J là tâm của hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng. 
Bài 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD, biết điểm (7;2)E thuộc đoạn BD, đường 
thẳng AB cú phương trỡnh 1 0x y   và đường thẳng AD cú phương trỡnh 7 17 0x y   . Tỡm tọa độ 
cỏc đỉnh A, B, C, D. 
Bài 27. Cho tam giỏc ABC. M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giỏc; ký hiệu , ,a b cS S S lần lượt là diện tớch 
cỏc tam giỏc MBC, MCA, MAB. Chứng minh rằng: . . . 0a b cS MA S MB S MC  
   
. 
Bài 28. Tam giỏc ABC cú 3 cạnh a; b; c thỏa món: c4 – 2(a2 + b2)c2 + a4 + b4 + a2b2=0.Tớnh gúc C của ABC 
Bài 29. Cho hỡnh vuụng ABCD; E, F là cỏc điểm xỏc định bởi BCBE
3
1
 , CDCF
2
1
 , đường thẳng AE 
cắt BF tại I. Chứng minh rằng gúc AIC bằng 90o 
Bài 30: 
a)Tam giỏc ABC cú độ dài cỏc cạnh là a, b, c và cú diện tớch bằng 1. Chứng minh rằng: 
2 2 22012 2010 1005 4 2010a b c   . 
 b) Cho tam giỏc ABC cú AB = c, AC = b và  060 .BAC  Cỏc điểm M, N được xỏc định bởi 2MC MB 
 
và 2NB NA 
 
. Tỡm hệ thức liờn hệ giữa b và c để AM và CN vuụng gúc với nhau. 
c) Cho tam giỏc ABC. Trờn cỏc cạnh BC, CA và AB của tam giỏc đú, lần lượt lấy cỏc điểm ',A 'B và '.C Gọi 
,aS ,bS cS và S tương ứng là diện tớch của cỏc tam giỏc ' ',AB C ' ',BC A ' 'CA B và ABC. Chứng minh bất 
đẳng thức 
3
.
2a b c
S S S S   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào? 
Chỳc cỏc em thành cụng