Một số bài tập học sinh giỏi toán 7 có đáp án

MỘT SỐ BÀI TẬP HSG TOÁN 7 CÓ ĐÁP ÁN
(Các em tự giải sau đó mới đối chiếu hoặc xem đáp án)
A. PHẦN ĐỀ BÀI
Bài 1. 
	Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trường THCS đã trồng được một số cây. Biết tổng số cây trồng được của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng được của các lớp.
Bài 2. 
	Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông cân ACD (), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE (). Đường thẳng ED cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng EA cắt đường thẳng BD tại M. 
Chứng minh: DF = DM 
Bài 3. Thực hiện phép tính:
 
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
Bài 5: 	Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Bài 6: Tìm x, y biết: 

Bài 7: Cho biểu thức: P =
Rút gọn P?
Tìm giá trị của x để P = 6
Bài 8: Tìm x biết: 	a) (1)
	b) c) 
	c) x - 3 = 0
Bài 9:
a) Tính : M = 
b)Tìm x, biết: .
Bài 10: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.


Bài 11: 
 Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A tại M cắt cạnh AB , AC lần lượt tại E và F . 
 Chứng minh :
EH = HF 
.
 .
BE = CF .

B. PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1:
	Gọi số cây trồng được của các lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là a, b, c. Theo bài ra ta có:
 (a + b) : (b + c) : (c + a) = 4 : 5 : 7. Hay: 
=> (a + b) = 4k; (b + c) = 5k; (c + a) = 7k => (a + b) + (b + c) + (c + a) = 4k + 5k + 7k
=> a + b + b + c + c + a = 16k
=> 2a + 2b + 2c = 16k => 2(a + b + c) = 16k => (a + b + c) = 16k : 2
=> (a + b + c) = 8k mà (a + b) = 4k => c = 4k ; (b + c) = 5k => a = 3k ; (c + a) = 7k => b = 1k 
=> a: b: c =3k : 1k : 4k = 3 : 1 : 4. Vậy số cây trồng được của các lớp 7 tỷ lệ với các số 3, 1, 4


A
B
C
F
D
E
M

Bài 2: +) Xét CBD và ADE có: 
 CD = AD (gt), BD = DE (gt)
 (cùng phụ )
 => CDB =ADE (c.g.g) => (1)
 +) Xét FDB và MDE có:	
 (gt), BD = ED (gt)
 ( theo 1)
 => FDB = MDE => DF = DM
 

Bài 3:

 = 
 =
= 
(Tổng (1 + 3 + 5 + 7 +…+49) có (49-1):2+1 = 25 số hạng nên tổng bằng [(1+49).25]:2)

Bài 4:
Để giải bài này ta áp dụng tính chất dấu bằng xẩy ra khi A và B cùng dấu (hay A.B 0)
A= = =|x – 2013 + 2014 – x| =|1|
(Do x – 2014 và 2014 – x là 2 số đối nhau nên |x – 2014| = |2014 – x|) 
=> A |1| => A 1
=> Giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi (x- 2013).(2014 – x) 0
TH1: x – 2013 0 và 2014 – x 0 
=> x 2013 và x 2014 => 2013 x 2014
TH2: x - 2013 < 0 và 2014 – x < 0 
=> x 2014 (không có số x nào thỏa mãn cả 2 điều kiện này)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi 2013 x 2014.
Bài 5:
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) 
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) = k 
Do đó (2) a2 + b2 + c2 = 
=> => k2. = 24309 => k2 = 32400
k = 180 và k =
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =, ta được: a = ; b =; c =
Khi đó ta có só A =+( ) + () = . 
Bài 6:
 Ta có: 
=> => 12 = 6x => x = 2
Thay x = 2 vào biểu thức ta có: = 5(3y – 2) = 5 . 7
=> 3y – 2 = 7 => 3y = 9 => y = 3
Vậy x = 2, y =3.
Bài 7:
a) TH1: Khi 3x - 3 0 3x 3 x 1 ta có |3x - 3| = 3x - 3
Khi đó P = = 3x - 3 + 2x +1 = 5x - 2
	Khi 3x - 3 3x x < 1 ta có: |3x - 3| = 3 - 3x
Khi đó P = = 3 - 3x + 2x + 1 = -x + 2
Vậy P = 5x - 2 khi x 1 ; P = -x + 2 khi x < 1.
b) TH1: Khi x 1 thì P = 6 => 5x - 2 = 6 => 5x = 8 => x =8/5 (Thỏa mãn đk x 1)
	Khi x -x + 2 = 6 => -x = 4 => x = 4 (Không thỏa mãn đk x <1)
Vậy khi x = 8/5 thì P = 6.
Bài 8:
 	a) Ta có: x - 2 0 x 2; 2x + 3 0 2x -3 x 
(Lập bảng xét dấu ra giấy nháp để dễ theo dõi từng trường hợp) 
Ta có: 
+ Với thì: (1) ó 2 – x + 2x +3 – x = -2 ó 0x = -7 ( KTM)
+ Với thì (1) ó 2 – x – 2x – 3 – x = -2 ó - 4x = - 1 => x = (TM)
+ Với x > 2 thì (1) ó x - 2 – 2x – 3 – x = -2 ó - 2x = 3 => x = (KTM) 
Vậy x = 
b) Hướng dẫn: Vì |x + 1| 0; ; (z + 3)2 0 với mọi số x nên: 
 khi cả 3 số hạng đều bằng 0 ta được kết quả x = -1; 
y =2 và z = -3.
	c) x - 3 = 0 . - 3. = 0 (-3) = 0
=> = 0 hoặc - 3 = 0
=> x = 0 hoặc = 3 => x = 9
Vậy x = 0 hoặc x = 9

Bài 9:
a) Ta có: 
 
 
 
b) vì nên = Suy ra 	hay 
=> x - 1 = 2 hoặc x - 1 = -2
TH1: x - 1 = 2 => x = 3
TH2: x - 1 = -2 => x = -1
Vậy x = 3 hoặc x = -1
Bài 10:
Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c
Ta có: 	(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:
	(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu
Vây: c’ – c = 4 hay 
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.

Bài 11:
a)C/m được (g-c-g) Suy ra EH = HF 
b) Từ Suy ra 
Xét có là góc ngoài suy ra 
 có là góc ngoài suy ra 
 vậy 
 hay .
c) áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 
 ta có HF2 + HA2 = AF2 hay 
d) C/m Suy ra AE = AF và 
Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) 
 C/m được 
 và có (cặp góc đồng vị) 
do do đó cân CF = CD ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF