Một số bài tập về Bất đẳng thức

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
o000o
Daïng 1: Chöùng minh BÑT baèng tính chaát cô baûn
Nhoùm 3:
¯ 
¯
Nhoùm 2:
¯
¯
Nhoùm 1:
¯ a > b Û a – b > 0
¯ [(a > b)Ù(b > c)] Þ (a > c) 
¯ a > b + c Û a - c > b
¯ a > b Û a + c > b + c.
 A. CAÀN NHÔÙ: 
Nhoùm 5:
¯ 
¯
Nhoùm 4:
¯ 
¯ Chuù yù: Töø caùc keát quaû treân, suy ra keát quaû töông töï cho A < B; A ³ B; A £ B.
 B. BAØI TAÄP:
 Baøi 1: CMR
Neáu (a>b Ù ab>0) thì . b) a2 + ab + b2 ³ 0 c) a2 + b2 + c2 ³ ab+bc+ca. 
2(1 - a)2 ³ 1 – 2a2 e) (1+ a2)(1+ b2) ³ (1 + ab)2 f) 4(a3+ b3)³ (a + b)3 "a, b ³ 0.
 g) (a3 + b3)2£ (a2 + b2)(a4 + b4) h)"a, b ³ 0 i) "a,b>0
 j) a2+b2+c2+d2 ³ (a+b)(c+d) k) a2+ b2+ c2+ d2+ e2 ³ a(b+c+d+e) l) 3(a2+ b2+c2) ³ (a+b+c)2 
 m) (a3+ b3) ³ ab(a+ b) "a, b³ 0 n) "a>b>0 o) "a>2 
p) "a ³0
 q) r) 
 s) Neáu thì x3 > y3 + z3 t) Neáu thì . 
Daïng 2: Duøng baát ñaúng thöùc ñaëc bieät
 A. CAÀN NHÔÙ:
 1/ Baát ñaúng thöùc CAUCHY: (So saùnh trung bình coäng & trung bình nhaân) 
 a) Ñònh lyù: Cho a ³ 0; b ³ 0; c ³ 0. Ta coù: 
 ¯. Daáu baèng xaûy ra Û a = b.
 ¯. Daáu baèng xaûy ra Û a = b = c.
b) Heä quaû:
¯ Neáu 2 soá döông coù toång khoâng ñoåi thì tích cuûa chuùng lôùn nhaát khi chuùng baèng nhau.
¯ Neáu 2 soá döông coù tích khoâng ñoåi thì toång cuûa chuùng nhoû nhaát khi chuùng baèng nhau.
2/ Baát ñaúng thöùc BOUNIACOVSKY: (B.C.S)
 Cho a; b; c; dÎR. Ta coù:
ïac + bdï £ hoaëc (ac + bd)2 £ (a2+ b2).(c2+ d2)
Daáu baèng xaûy ra Û ad = bc.
3/ Baát ñaúng thöùc TRÒ TUYEÄT ÑOÁI: Cho a, bÎR. Ta coù:
¯ - ïaï £ a £ ïaï
¯ôôaô-ôbôô £ ôa + bô ôaô+ïbï. 
Daáu baèng xaûy ra Û ab ³ 0.
 4/ Baát ñaúng thöùc TAM GIAÙC: 
Cho a, b, c laø 3 caïnh tam giaùc. Ta coù:
ôôbô-ôcôô< a <ôbô+ïcï.
BAØI TAÄP:
 Baøi 2: CMR 
 a) ; "a,b ¹ 0. b) "a,bÎR. 
 Baøi 3: CMR
 a) b) (a+b)(ab+4)³ 8ab "a,b ³ 0 
 c) a + b + 1 ³ d) £ ab "a,b ³ 1 
 e) "a,b,c,d ³ 0. f) Neáu a; b; c ³ 0; a+b+c=1 thì (1-a)(1–b)(1–c)³8abc. 
 Baøi 4: CMR 
 a) b) c) x2 + 
 Baøi 5: CMR
 a)ï15sinx + 8cosxï£ 17 b) Neáu a + b ³ 1 thì 2a2 + 2b2 ³ 1 
c) Neáu a; b ³ c ³ 0 thì d) Neáu 4x - y = 1 thì x2 + y2 ³; 4x2 + y2 ³.
 Baøi 6: Cho DABC coù 3 caïnh a, b, c - p laø nöûa chu vi - S laø dieän tích. CMR:
 a) p > a; p > b; p > c. b) abc ³ (a + b – c)(b+ c – a)(c + a – b).
 c) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). d) a4 + b4 + c4 ³ 16S2.
Trong caùc baát ñaúng thöùc treân, daáu baèng xaûy ra khi naøo ?
 Baøi 7: Tìm gtnn cuûa caùc haøm soá sau ñaây:
 a) y = f(x) = b) ; "x>1 c) y = f(x) =
d) y= f(x)= e) ; "x>0
 Baøi 8: Tìm gtln cuûa caùc haøm soá sau ñaây: 
 a) y = f(x) = x(3 – x) "xÎ[0; 3] b) y = f(x)= x(8 – 2x) "xÎ[0; 4] 
 c) y = f(x) = d) y = f(x) = sin2x.cosx "xÎ[0o; 90o] 
 Baøi 9: Tìm gtln & gtnn cuûa haøm soá: y = f(x) = "xÎ[1; 4].
 Baøi 10: 
 a) Tìm hcn coù chu vi lôùn nhaát & noäi tieáp trong nöûa ñöôøng troøn taâm O, baùn kính R cho tröôùc.
 b) Ngöôøi ta caét boû 4 hình vuoâng nhoû baèng nhau ôû 4 goùc 1 taám bìa hình vuoâng caïnh a ñeå 
 laøm 1 caùi hoäp khoâng naép. Tính caïnh hình vuoâng nhoû ñeå hoäp coù theå tích V lôùn nhaát ?
 c) Cho DABC ñeàu caïnh a. Ngöôøi ta döïng 1 hình chöõ nhaät MNPQ coù caïnh MN naèm treân
 caïnh BC & 2 ñænh P, Q theo thöù töï naèm treân 2 caïnh AC & AB. Xaùc ñònh vò trí ñieåm M
 sao cho dt(MNPQ) lôùn nhaát ? Tính gtln ñoù.
 Gv: Ñoã Khaùnh Giang