Một số bài toán chứng minh, khó của bậc trung học

Một số bài toán chứng minh, khó của bậc trung học


I .Phương pháp giải các bài chứng minh :

 Một số cách giải bài toán chia hết :

Cách 1 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p .

Vd : Chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số và chỉ một số chia hết cho 3 .
Giải

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a, a +1, a + 2 ( a thuộc N ) 
Ta xét 3 trường hợp :
TH1: a chia cho 3 dư 0
Suy ra : a chia hết cho 3
TH2: a chia cho 3 dư 1 
Ta có : a = 3q + 1
 a + 2 = 3q +1 + 2
 a + 2 = 3q + 3
 a + 2 = 3q + 3 .1
 a + 2 = 3.(q + 1 )
Suy ra : a +2 chia hết cho 3 
TH3 : a chia cho 3 dư 2
Ta có : a = 3q + 2
 a + 1 = 3q +2 + 1
 a + 1 = 3q + 3
 a + 1 = 3q + 3 .1
 a + 1 = 3.(q + 1)
Suy ra : a + 1 chia hết cho 3 
Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp có duy nhất 1 số chia hết cho 3 .

Cách 2 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một hợp số m ta phân tích m = p .q

a) Nếu ƯCLN ( p,q ) = 1 thì ta lần lượt chứng minh A(n) chia hết cho p , A(n) chia hết cho q rồi suy ra A(n) chia hết cho p .q hay A(n) chia hết cho m .

Vd : Chứng minh tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 .
Giải

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n +2 . Tích của chúng là : 
A(n) = n .( n + 1 ) .( n +2 )

* Ta chứng minh A(n) chia hết cho 2
Trong 2 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 2
Suy ra : A(n) chia hết cho 2 .

*Ta chứng minh A(n) chia hết cho 3
Trong 3 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có duy nhất 1 số chia hết cho 3
Suy ra : A(n) chia hết cho 3
*Mà : ƯCLN( 2;3 ) = 1
Do đó : A(n) chia hết cho 2 .3
Hay : A(n) chia hết cho 6
Vậy tích 3số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 .

b) Nếu ƯCLN( p,q ) khác 1 thì ta tìm cách phân tích A(n) thành tích của các thừa số trong đó có thừa số chia hết cho p, thừa số khác chia hết cho q .

Vd : Chứng minh rằng tích 2 số chẵn liến tiếp chia hết cho 8 .
Giải

Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n thuộc N ) 
Ta có : Tích của chúng là A(n) = 2n .( 2n + 2 )
 = 2 .n .2 .( n + 1 )
 = 2 .2 .n .( n + 1 )
 = 4n .( n +1 )
Ta có : 4 chia hết cho 4
 n .( n + 1 ) chia hết cho 2 ( vì n ; n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp )
Suy ra : A(n) chia hết cho 8
Vậy tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 .

Cách 3 : 

a) Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta có thể phân tích A(n) thành tổng rồi chứng minh tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho m . 
 
Vd : Chứng minh A(n) = n^2 + 3n chia hết cho 2 .
Giải

Ta có : A(n) = n^2+ 3n 
 = n^2 + n + 2n
	 = n .n + n .1 + 2 .n
	 = n .( n + 1 ) + 2n
Ta có : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 ( vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp )
 2n chia hết cho 2
Suy ra : A(n) chia hết cho 2
Vậy A(n) = n^2 + 3n chia hết cho 2 . 

b) Để chứng minh A(n) không chia hết cho m ta có thể phân tích A(n) thành tổng rồi chứng minh một số hạng nào đó của tổng không chia hết cho m còn tất cả các số hạng khác đều chia hết cho m .
Cách 4 :
Ta có thể sử dụng tính chất sau để chứng minh chia hết :
Nếu : a = 1bs(d) + r thì 
 a^n = 1bs(d) + r ^n ( 0 < r < d )
Vd : Chứng tỏ A(n) = n . ( n^2 – 49 ) . ( n^2 + 49 ) chia hết cho 2 . 
Giải
Ta xét 2 trường hợp :
TH1 : n là số chẵn 
Suy ra : n chia hết cho 2 
Do đó : n . ( n.n – 49 ) . ( n.n + 49 ) chia hết cho 2
Vậy A(n) chia hết cho 2
TH2 : n là số lẻ 
Suy ra : n = 1bs(2) + 1
 n^2= 1bs(2) + 1^2
 n^2= 1bs(2) + 1
Do đó : n^2 – 49 
 = 1bs(2) + 1 – 49 
 = 1bs(2) – 48 
Vì 1bs(2) + 48 chia hết cho 2 nên n^2 – 49 chia hết cho 2
Hay n . ( n^2 – 49 ) . ( n^2 + 49 ) chia hết cho 2
Vậy A(n) chia hết cho 2 . 

Cách 5 :
Có thể sử dụng các công thức sau đây để chứng minh chia hết :
 a^2 – b^2 = ( a – b ) .( a + b ) (1)
 a^2 – b^2 = ( a + b ) . ( a^2 – ab + b^2 ) (2)
 a^3 + b^3 = ( a + b ) . ( a^2 – ab + b^2 ) (3)
Một cách tổng quát :
a^2 – b^n = ( a – b ) .M
với n là số bất kì . Trong đó :
M = a^ n – 1 + a^ n – 2 . b + .....+ a .b^ n – 2 + b^n – 1 
a^n – b^n = ( a + b ) . N
với n là số chẵn . Trong đó :
N = a^n – 1 + a^n – 2 .b + .....+ ab^n – 2 + b^n – 1 
a^n + b^n = ( a + b ) .P
với n là số lẻ . Trong đó : 
N = a^n – 1 – a^n – 2 .b + .....+ ab^n – 2 + b^n – 1 
Do đó :
Theo (1)và(2) :
_ a^n – b^n chia hết cho a – b ( nếu a khác b và n là số bất kì ) .
_ a^n – b^n chia hết cho a + b ( nếu a khác b và n là số chẵn ) .
Theo (3) :
_ a^n + b^n chia hết cho a + b ( nếu a khác b và n là số lẻ ) .

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp :
Ta xét A(n) là số nhỏ nhất . Rồi giả sử nó đúng với số k . Tiếp theo, ta cân chứng minh nó đúng với k + 1 . 
Vd : Chứng tỏ : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 . 

Giải
*Xét n = 0, ta có :
0 .( 0 + 1 ) = 0 . 1 = 0
Mà : 0 chia hết cho 2
Do đó : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 với n = 0
*Giả sử : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 với n = k, 
có nghĩa là k .( k + 1 ) chia hết cho 2 
*Ta cần chứng minh : n .( n + 1 ) chia hết cho 2 với n = k +1
Ta có : ( k + 1 ) . ( k + 1 + 1)
 = ( k + 1 ) . ( k + 2 )
 = ( k + 1 ) . k + ( k + 1 ) .2 
Ta có : k . ( k + 1 ) chia hết cho 2
 ( k + 1 ) . 2 chia hết cho 2 
Suy ra : ( k + 1 ) . ( k + 1 + 1 ) chia hết cho 2 
Vây n .( n + 1 ) chia hết cho 2 .

II . Các kiến thức tổng quát thường được sử dụng chứng minh : 

Tính số đoạn thẳng của một hình :
( n – 1 ) . n : 2 ( n là số điểm và từ 2 điểm trở lên )

Công thức tính một tổng nhiều số hạng :
Số số hạng : ( số cuối – số đầu ) : khoảng cách + 1
Tổng số hạng : ( số cuối + số đầu ) : 2 . số số hạng 

So sánh hai lũy thừa :
1/Cách so sánh :
 a) Nếu a > b thì a^n > b^n ( vd : 9 > 8 thì 9^2 > 8^2 )
 b) Nếu m > n thì a^m > a^n ( vd : 5 > 3 thì 2^5 > 2^3 )
2/Để so sánh 2 luỹ thừa ta thường dùng các công thức sau : Lũy thừa của lũy thừa; Lũy thừa của một tích; Lũy thừa của một thương .
3/Chú ý : Nếu a^m = a^n thì m = n ( a khác 0, a khác +/– 1 )

Tính chất của ƯC( a,b )
Nếu : a chia hết cho d,b chia hết cho d . Suy ra : a + b chia hết cho d ( hoặc a – b chia hết cho d ) ( a, b thuộc N )
 
III . Một số kiến thức bổ sung : 

Thuật tính Euclide :
Ta có :
a = b . q + r 
b = q 1 . r + r 1 
r = r 1 . q 2 + r 2 
r 1 = r 2 . q 3 + r 3
.....
r n = r ( n +1 ) . q ( n +2 ) + r( n +2 ) 
r ( n + 1 ) = r ( n + 2 ) . q ( n + 3 ) + 0
ƯCLN ( a ; b ) = r ( n + 2 ) 
Một cách khái quát :
Muốn tìm ƯCLN của hai số đã cho, nếu hai số đã cho mà số lớn không chia hế cho số nhỏ thì ƯCLN của hai số đó là số dư cuối cùng khác 0 trong dãy phép chia liên tiếp . 

Vd : Tìm ƯCLN ( 152; 60 ) 
Giải
Ta có : 
152 : 60 = 1 dư 32
60 : 32 = 1 dư 28
32 : 28 = 1 dư 4
28 : 4 = 7 dư 0
Vây ƯCLN ( 152; 60 ) = 4 

Kiến thức nhận biết chữ số tận cùng :
1/Tích các số lẻ là 1 số lẻ . 
2/Tích của một số tận cùng bằng 5 với 1 số lẻ bất kì là 1 số có chữ số tận cùng bằng 5 .
3/Tích của 1 số tận cùng bằng 0 với 1 số tự nhiên là 1 số có chữ số tận cùng bằng 0 .
4/Tích của 1 số chẵn với 1 số tự nhiên là 1 số chẵn . 
5/Chữ số tận cùng của 1 lũy thừa :
..... 1^n = ..... 1
..... 5^n = ..... 5
..... 6^n = ..... 6
..... 7^4n = ..... 1
..... 9^2n = ..... 1
..... 9^4n = ..... 1
..... 2^4n = ..... 6 
..... 4^4n = ..... 6
..... 8^4n = ..... 6
..... 4^2n = ..... 6

IV . Các bài toán chứng minh ở Trung học :

Các bài toán chứng minh đại số :
1/Chứng minh n + 2 / n + 1 là phân số tối giản .
2/Chứng minh rằng : 12^2n +1 + 11^n +2 chia hết cho 133 . 
3/Chứng minh rằng 4^n + 15n – 1 chia hết cho 9 .
4/Chứng tỏ :
/a/ lớn hơn hoặc bằng 0 (a thuộc Z ) .
/a/ lớn hơn hoặc bằng a (a thuộc Z ) .
5/Cho a;b thuộc Z . Chứng tỏ : a – b và b – a là hai số đối nhau .
6/Chứng minh phân số sau là phân số tối giản :
m + 2 / m + 3 .
m + 3 / m + 4 .
2m + 1 / 3m + 1 .
7/Cho a / b là PSTG . Chứng tỏ các phân số sau tối giản :
a / a + b . 
a / a – b . 
8/Chứng minh : 1 / a – 1 / a + k = k / a .( a + k ) . 
9/Chứng tỏ : ( n + 5 ) . ( n + 10 ) chia hết cho 2 .
10/Chứng minh : 1 / 5 + 1 / 13 + 1 / 25 + 1 / 41 + 1 / 61 + 1 / 85 + 1 / 113 < 1 / 2 .
11/Cho a / b > c / d . Chứng tỏ : ad > bc . 
12/Cho ad > bc . Chứng tỏ : a / b > c / d .
13/Chứng minh : 2^10 + 5^12 là hợp số . 
14/Chứng minh : 2005 . 2007 . 2009 . 2011 + 16 là số chính phương . 
15/Chứng minh rằng : 
Nếu ( 4a + 3b ) chia hết cho 7 thì ( 3a + 4b ) chia hết cho 7 .
Nếu ( 5a + 3b ) chia hết cho 13 thì ( 4a + 31b ) chia hết cho 13 .
Nếu ( 2a + 3b chia hết cho 5 thì ( 9a + 11b ) chia hết cho 5 . 
16/Cho S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ….. + 2^100 . Chứng minh rằng : S chia hết cho 15 . 
17/Chứng minh : 10^n chia cho 45 luôn dư 10 .
18/Chứng minh rằng : ( 43^42 – 17^17 ) chia hết cho 10 .
19/Chứng minh : 2^5 + 3^5 chia hết cho 5 . 
20/Cho a / b > c / d . Chứng tỏ : a + b / b > c + d / d .
21/Chứng minh rằng : Nếu a không chia hết cho 3 thì a = 1bs(3) +/– 1 .
22/Chứng minh rằng : Nếu a không chia hết cho 3, b không chia hết cho 3 thì 
a + b chia hết cho 3 hoặc a – b chia hết cho 3 ( a > b ) .
23/Chứng tỏ : 
Số aaaaaa chia hết cho 7 .
Số abcabc chia hết cho 11 .
24/Chứng tỏ : Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 .
25/Chứng tỏ : Tổng 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 6 .
26/Chứng tỏ : ( n + 2 ) . ( n + 3 ) chia hết cho 2 ( n thuộc N ) .
27/Chứng minh : Nếu 3a + 7b + 4c chia hết cho 9 thì 6a + 2b + 5c chia hết cho 9 .
28/Cho A = 11^9 +11^8 + 11^7 + ….. + 11^1 + 1 . Chứng tỏ : A chia hết cho 5 .
29/Cho B = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ….. + 2^59 + 2^60 . Chứng minh : B chia hết cho 3, cho 7 và cho 15 .
30/Chứng minh rằng :
10^n + 8 chia hết cho 9 . 
10^n – 1 chia hết cho 9 . 
10^2k – 1 chia hết cho 9 .
31/Chứng tỏ :
n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 2 .
n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 3 .
n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 6 .
32/Chứng minh : ( a + b ) . ( a – b ) = a^2 – b^2 .
33/Cho A = 1 + 3 + 5 + ..... + ( 2n – 1 ) với n thuộc N . Chứng minh A là số chính phương .
34/Cho A = n . ( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 ) . Chứng tỏ rằng : A chia hết cho 2, 3, 6 .
35/Chứng minh rằng : Nếu 2x + y chia hết cho 17 thì 3x – 7y chia hết cho 17 và ngược lại .
36/Chứng minh : Nếu a không chia hết cho 3 thì a = 1bs(3) +/– 1 . 
37/Chứng tỏ : Nếu a không chia hết cho 3, b không chia hết cho 3 thì a + b/a – b chia hết cho 3 .
38/Chứng minh rằng : Nếu 3x + 5y chia hết cho 7 thì x + 4y chia hết cho 7 và ngược lại .
39/Chứng tỏ rằng : 
n.( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 ) chia hết cho 2 
n.( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 ) chia hết cho 3
n.( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 ) chia hết cho 6
40/Chứng minh : Nếu 2x + 3y chia hết cho 13 thì 3x + 11y chia hết cho 13
41/Giả sử x = a/m, y = b/m ( a,b,m thuộc Z, m > 0 ) và x < y . Hãy chứng tỏ rằng nếu cho z = a + b/2m thì ta có x < z < y
42/Chứng minh rằng : Nếu a/b 0 ) thì a/b < a + c/b + d < c/d
43/Hãy chứng tỏ 2 số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau .
44/Chứng minh : ƯCLN ( a,b ) = 1, biết :
a) a = n + 1 
 b = 3n + 2 
b) a = 14n + 17 
 b = 21n +25
45/Chứng tỏ: 3^n+2 – 2^n+2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10
46/Cho a/b = c/d 
Chứng minh rằng: (7a^2 + 3ab)/(11a^2 – 8b^2) = (7c^2 + 3cd)/(11c^2 – 8d^2).

Các bài toán chứng minh hình học :
1/Cho góc xOy tù; At song song với Ox; Az song song với Oy sao cho zAt là góc nhọn. Chứng minh rằng : góc zAt + xOy = 180 độ 
2/Cho a vuông góc với c; b vuông góc với c; đường thẳng c cắt đường thẳng b tại B; điểm A nằm trên đường thẳng a; điểm C nằm trên đường thẳng b sao cho AB vuông góc với AC. Chứng minh : góc Abc = góc ACB ( không được dùng tính chất của tam giác ) 
3/Cho tam giác ABC có tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Qua A vẽ đường thẳng song song với BD cắt BC ở E. Chứng tỏ : góc BAE = góc BEA 
4/Cho tam giác ABC có góc B = góc C. Vẽ AH vuông góc với BC. Chứng minh : góc BAH = góc CAH.
5/Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa AC vẽ AD vuông góc với AB và bằng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa AB vẽ AE vuông góc với AC và bằng AC. Cho M là trung điểm của BC, đường thẳng AM cắt DE tại H. Chứng minh AH vuông góc với DE.
6/Cho tam giác ABC; tia phân giác góc B và đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C cắt nhau ở M. Tia phân giác góc C và đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B cắt nhau ở N.
a) Chứng minh: Góc BNC = góc BMC 
b) Chứng minh rằng: Góc BMC = Góc  : 2
7/Cho tam giác ABC có góc A = 900. Vẽ AH vuông góc BC (H thuộc BC ). Tia phân giác của góc C và góc BAH cắt nhau ở I. Chứng tỏ: Góc AIC = 900
8/Cho đường thẳng a song song đường thẳng b, đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b.
a)Chứng minh: Hai tia phân giác của hai góc so le trong song song với nhau.
b)Chứng minh rằng: Hai tia phân giác của hai góc trong cùng phía bù nhau( không dùng tính cất của tam giác).
c)Chứng tỏ: Hai tia phân giác của hai góc đồng vị song song với nhau. 
9/Cho góc BAE = 1000; góc EAC = 1200; góc ACD = 1400. Chứng minh: AB song song CD.

V.Một số bài toán khó ở Trung học :
1/Từ công thức bài 8 phần IV, hãy tính các tổng sau :
S = 1 / 1 . 2 + 1 / 2 . 3 + 1 / 3 . 4 + ..... + 1 / 99 . 100
X = 1 / 6 + 1 / 12 + 1 / 20 + ..... + 1 / 19 . 20
R = 2 / 5 . 6 + 2 / 6 . 7 + 2 / 7 . 8 + ...... + 2 / 99 . 100
2/Tìm chữ số tận cùng :
3^4
3^8
3^20
3^2003
7^2005
3/So sánh :
27^11 và 81^8
625^5 và 125^7
3^2n và 2^3n ( n thuộc N*)
21^15 và 27^5 . 49^8 
4/Từ công thức bài 32 phần III, hãy tính tổng sau :
M = 100^2 – 99^2 + 98^2 – 97^2 + ..... + 2^2 – 1^2 .
5/Rút gọn phân số sau :
2 . 4 + 2 . 4 . 8 + 4 . 8 . 16 + 8 . 16 . 32 / 3 . 4 + 2 . 6 . 8 + 4 . 12 . 16 + 8 . 24 . 32
6/Trên một hòn đảo có hai loại người : chỉ nói thật và chỉ nói dối . Có một hành khách ghé thăm đảo và tới thăm một gia đình có vài người sống . Anh ta hỏi : “ Ở đây có bao nhiêu người nói dối ? ” . Một người trong gia đình trả lời : “ Có ít nhất một trong số chúng tôi thuộc nhóm người nói dối . ” . Vậy người này thuộc nhóm nói dối hay nói thật ?
7/Đố vui : Bản di chúc khó thực hiện .
Một người cha khi mất đi để lại gia tài gồm 23 con ngựa và một bản di chúc như sau :
“Chia cho hai đứa con 2/3 số ngựa, góp 1/6 sốngựa cho quỹ của cả làng, dành 1/8 số ngựa để giúp trẻ em nghèo, và không giết thịt bất cứ con ngựa nào . ” . Bản di chúc thật “ hóc búa ” vì 23 con ngựa không chia hết cho 3,6,8 . Tuy nhiên, hai người con vẫn hoàn thành tâm nguyện của cha mình . Họ đã làm điều đó như thế nào ?
8/So sánh các lũy thừa sau :
16^19 và 8^25 
1331^4 và 144^6
7 . 2^13 và 2^16
10^30 và 2^100
333^444 và 444^333
9/Đố vui : Tranh chấp gia tài .
Ngày xưa, có một ông quan được thưởng 3 hòm vàng do lập công lớn ( biết 3 hòm vàng bằng nhau và chia hết cho 7 ) . Lúc trước khi mất, vợ ông đang có bầu, ông dặn : “Nếu sinh con trai thì con 2 hòm, mẹ 1 hòm . Nếu sinh con gái thì con 1 hòm, mẹ 2 hòm . ” . Nhưng, sau khi ông quan mất, bà lại sinh đôi một trai, một gái . Liệu có cách nào để thực hiện đúng như lời của vị quan nọ ?
10/Cho x : y : z = 2 : 5 : 7. Cho M = (x – y + z) /(x + 2y – z ). Tính M
11/ Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 200. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính góc ADB và góc ADC.
12/So sánh: 
a)64^4 và 21^12
b)3^21 và 2 ^31
c)99^20 và 9999^10
d)3^34 và 5^20