Một số bài toán tổng hợp hình học phẳng kỳ I ( lớp 9)

Một số bài toán tổng hợp hình học phẳng kỳ i
( lớp 9)
Bài toán hệ thức.
 1.Cho ABC, AB = 1, =1050, =600. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED//AB ( D thuộc AC). Chứng minh rằng:
 2.Cho hình thoi ABCD với = 1200. Tia Ax tạo với tia AB thành và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng:
 3.Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt CD tại F. Chứng minh rằng:
 4.Cho hình chữ nhật ABCD với AD = mAB (m > 0). Lấy điểm M trên cạnh BC, đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P. Chứng minh rằng:
 5.Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng:
 6.Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OD BC, OE CA, OF AB. Hãy xác định vị trí của điểm O để OD2+OE2+OF2 nhỏ nhất.
 7.Cho ABC có =1200, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: 
a2 = b2+c2+bc
 8.Cho ABC có BC = a, AC = b, AB = c và các đường cao tương ứng lần lượt là ha, hb, hc. Chứng minh rằng:
Dấu “=” khi nào?
 9.Cho ABC vuông cân đỉnh A, M là một điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng:
2MA2 = MB2 + MC2
 10.Cho ABC có =300. Dựng phía ngoài ABC, ACD đều. Chứng minh rằng:
BD2= AB2 + BC2
 11.Cho a, b, c là số đo của các góc nhọn thoả mãn:
 cos2a+cos2b+cos2c≥2. Chứng minh: (tga. tgb. tgc)2 ≤ 1/8.
 12.Gọi A, B, C là các góc của tam giác ABC. Tìm điều kiện của tam giác ABC để biểu thức:
 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy?
 13.Cho ABC có các đường trung tuyến MB, NC vuông góc với nhau, chứng minh rằng: cotgB + cotgC ≥ 
Bài toán 1:
 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Từ điểm A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt tại E, F.
Chứng minh A, E, M, O thuộc một đường tròn.
Chứng minh EO OF.
Chứng minh EF = AE+BF và AE.BF là không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn (O).
Tìm vị trí của M để chu vi tứ giác( hoặc diện tích) tứ giác AEFB nhỏ nhất.
Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp EOF.
AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? vì sao?
Gọi I là giao điểm của MO và PQ. Tìm quỹ tích của I khi M di chuyển trên nửa đường tròn (O).
Kẻ MH AB( H thuộc AB). Chứng minh EB đi qua trung điểm của MH.
Cho EO = a. Tính MH theo R và a.
 Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp EOF. Chứng minh rằng:
Bài toán 2: 
 Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Từ M trên trên đường tròn khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax tại C, cắt By tại D và cắt đường thẳng BA tại E. Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng:
1. và suy ra MN AB.
2. 
3. 
4. N là trung điểm của MH.
5. Cho OD = d; OB = R.Tính MH theo d và R.
Bài toán 3:
 Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Người ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh AI.BK = AC.CB
Chứng minh ∆ABP vuông.
Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình ABKI lớn nhất.
Bài toán 4:
 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M ( khác điểm A, B) vẽ tiếp tuyến xy tại M. Kẻ AD, BC vuông góc với xy tại D, C.
Chứng minh MD = MC.
Chứng minh AD + BC không đổi khi M thay đổi trên nửa đường tròn (O).
Chứng minh AD, AB là tiếp tuyến của đường tròn (M) đường kính DC.( hoặc là kẻ MH AB tại H. Chứng minh rằng DH HC và MH2 = AD.BC ).
Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Bài toán 5: 
Cho nửa đường tròn (O;R), AB = 2R. Vẽ dây AC = R, BD = R.
Chứng minh rằng 
Kẻ AE CD và BF CD. Chứng minh CE = DF.
Tính EF theo R.
Chứng minh rằng 
Bài toán 6: 
 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (O) với A, B là hai tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC của đường tròn. Chứng minh rằng, PC cắt AH tại trung điểm E của AH.
Bài toán 7: 
 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Bán kinh OC AB, M là điểm trên nửa đường tròn (O) ( khác A, B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt OC và cắt tiếp tuyến tại A lần lượt tại D và E, AE cắt BD tại F. Chứng minh rằng EA.EF = R2.
Bài toán 8: 
 Cho ABC nhọn. Gọi O là trung điểm của BC dựng đường tròn tâm O đường kính BC, vẽ đường cao AD của ABC và các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi E là giao điểm của MN và AD. Chứng minh rằng AE.AD = AM2.
Bài toán 9:
 Cho đường tròn (O;r) nội tiếp ABC tiếp xúc BC tại D vẽ đường kính DE; AE cắt BC tại M. Chứng minh rằng BD = MC.
Bài toán 10:
Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). H là trực tâm của ABC, vẽ OKBC.
Chứng minh rằng AH = 2OK.
G là trọng tâm của ABC. Chứng minh rằng H, G, O thẳng hàng.
Bài toán 11:
 Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm AB. E là trọng tâm ACD. Chứng minh rằng OE CD.
Bài toán 12:
 Cho 2 đường tròn đồng tâm O có bán kính R, r (R > r). A và M là 2 điểm thuộc đường tròn nhỏ ( A chuyển động, M cố định). Qua điểm M, ta vẽ dây BC của đường tròn lớn sao cho BC AM. Chứng minh rằng:
MA2+MB2+MC2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm A.
Trọng tâm G của ABC là điểm cố định.
Bài toán 13:
 Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (O) ( A khác B, C). Đường phân giác trong của của ABC cắt đường tròn (O) tại K (K khác A), hạ AH BC.
Đặt AH = x tính diện tích ABC theo R, x. Tìm x sao cho diện tích ABC đạt giá trị lớn nhất.
Chứng minh rằng khi A thay đổi tổng AH2+HK2 luôn là đại lượng không đổi.
Tính của ABC, biết rằng 
Bài toán 14:
 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ một dây AC. Gọi M là điểm chính giữa của cung AC. H là giao điểm của OM và AC.
Chứng minh OM//BC.
Từ C kẻ tia song song và cùng chiều với tia BM, tia này cắt đường thẳng OM tại D. Chứng minh MBCD là hình bình hành.
AM kéo dài cắt CD tại K. Đường thẳng KH cắt AB tại P. Chứng minh ∆APH đồng dạng với ∆ACB.
Bài toán 15: 
 Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây AC và tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn ( Bx cùng trong nửa mặt phẳng bờ AB). Đường phân giác của góc CAB cắt BC tại F, cắt nửa đường tròn tại H, cắt Bx tại D.
Chứng minh FB = BD và HF = HD.
Chứng minh ∆HBD đồng dạng với ∆CAF.
Chứng minh DB2 = DH.DA
Gọi M là giao điểm của AC với Bx. Chứng minh MB2= MC.MA
Bài toán 16: 
 Cho ∆ABC vuông tại A. Ta vẽ các nửa đường tròn nằm ngoài tam giác, lấy AB và AC làm đường kính. Một cát tuyến qua A cắt nửa đường tròn AB ở D, nửa đường tròn AC ở E.
Tứ giác BDEC là hình gì?
Gọi F là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đường vuông góc với DE tại F đi qua một điểm cố định khi cát tuyến quay xung quanh A.
Tìm quỹ tích của các điểm F.
Với vị trí nào của cát tuyến DAE, độ dài của DE là cực đại, khi đó tứ giác BDEC là hình gì?
Bài toán 17: 
 Cho đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. BC là tiếp tuyến chung ngoài( B, C lần lượt là tiếp điểm của (O) và (O’) với tiếp tuyến). Tiếp tuyến chung trong cắt BC tại I. Chứng minh rằng,
I là trung điểm của BC.
ABC và OIO’ lần lượt vuông tại A, I.
 Các tứ giác DIEA và ABKC là hình chữ nhật.( D là giao điểm của AB và OI, E là giao điểm của AC và O’I. Kéo dài đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) lần lượt tại điểm thứ 2 là G, H. Gọi K là giao điểm của GB và HC)
Kéo dài AC cắt (O) tại F. Chứng minh B, O, F thẳng hàng.
Gọi M là trung điểm của OO’. Chứng minh MI DE.
Bài toán 18:
 Cho hai đường tròn (O1;R1) và (O2;R2) tiếp xúc ngoài tại A. Lấy điểm B và C trên đường tròn (O1) và (O2) sao cho .
Chứng minh O1B//O2C.
Nối BC cắt O1O2 tại D. Tính O2D theo R1, R2.
Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh I thuộc một đường tròn cố định.
Chứng minh AH không vượt quá 
Bài toán 19: 
 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. M là một điểm thuộc đoạn OA. Vẽ đường tròn (O’;) đường kính MB. Gọi I là trung điểm của đoạn MA, kẻ dây cung CD AB tại I. Đường thẳng BC cắt (O’) tại K.
ACMD là hình gì? Vì sao.
Chứng minh D, M, K thẳng hàng.
Chứng minh MC DB.
Chứng minh đường thẳng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Xác định vị trí M trên đoạn OA để diện tích IKO’ lớn nhất.
Bài toán 20: 
 Cho đường tròn (O;R) và (O’;r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D ( khác A).
Chứng minh AC = AD.
Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB AB.
Nối Avới O cắt (O) tại điểm thứ 2 là G, nối A với O’ cắt (O’) tại điểm thứ 2 là Q. Chứng minh AB GQ.
Bài toán 21: 
 Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF (A, E thuộc (O) và B, D thuộc (O’)).
Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh rằng AOM đồng dạng BMO’
Chứng minh rằng AE BF.
Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh rằng ba điểm O, N, O’ thẳng hàng.