Một số bài toán ứng dụng phương pháp tính nhanh Lớp 5

Bài Toán 1 : Tính tổng 1x5x6+2x10x12+20x24x4+9x45x54/1x3x5+2x6x10+4x12x20+9x27x45=
5x6x(1+2x2x2+4x4x4+9x4x4)/3x5x(1+2x2x2+4x4x4+9x9x9)=
5x6/3x5=2
Bài Toán 2 : Tính tổng
1 - 1/2 + 1 - 1/6 + 1 - 1/12 + 1 - 1/20 + 1 - 1/30 + 1 - 1/42 + 1 - 1/56 + 1 - 1/72 + 1 - 1/89
Đặt A  = 1 - 1/2 + 1 - 1/6 + 1 - 1/12 + 1 - 1/20 + 1 - 1/30 + 1 - 1/42 + 1 - 1/56 + 1 - 1/72 + 1 - 1/89
=  (1 + 1 + 1 + .... 1 + 1) + (1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90)
= 9 - (1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + 1/5x6 + 1/6x7 + 1/7x8 + 1/8x9 + 1/9x10)
Mỗi phân số thành phần trong biểu thức () ta tách được như sau:
   1/1 x 2 = 1- 1/2
   1/2 x 3 = 1/2 - 1/3
   1/3 x 4 = 1/3 - 1/4
   ........
   1/9 x 10 = 1/9 - 1/10
Như vậy:
A  = 9 - (1-1/2 + 1/2-1/3 + 1/3-1/4 + 1/4-1/5 + 1/5-1/6 + 1/6-1/7 + 1/7-1/8 + 1/8-1/9 + 1/9-1/10)
    = 9 - (1 - 1/10)
    = 9 - 9/10
    = 81/10
                                               Đáp số: 81/10
Bài Toán 3 : Tính tổng 1/7 +1/91 +1/247 + 1/475 + 1/775 + 1/1147 
Đặt A=1/7 +1/91 +1/247 + 1/475 + 1/775 + 1/1147 
A=1/(1.7)+1/(7.13)+1/(13.19)+...+1/(31... 
A=(1/6)x( 1 - 1/7 + 1/7 - 1/13 +... +1/31-1/37) 
A=(1/6)x(1-1/37) 
A=(1/6)x(36/37) 
A=6/37 
Bài Toán 4 : Tính tổng. 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + ... + 1/45 
Đặt B= 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + ... + 1/45 
Nhân tử và mẫu với 2
B= 2/(2.3) + 2/(3.4) + 2/(4.5) + ... + 2/(9.10) 
Đưa tử ra ngoài :
B= 2x(1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/9 - 1/10) 
B= 2x(1/2-1/10) 
B= 4/5
Bài Toán 5 : Tính tổng. 1/10 + 1/15 + 1/21+ 1/28+ 1/36+1/45+1/55+1/66 = ? 
nhan ca tu va mau cho 2 sau đó đặt nhân tử chung là 2 ta được 
đề = 2(1/20 + 1/30 + 1/42+ 1/56+1/72+1/90+1/110+1/132) 
= 2[1/(4.5) +1/(5X6) + 1/(6X7) + 1/(7x8) + 1/(8x9) + 1/(9x10)+ 1/(10x11) + 1/(11x12)] 
biến đổi : 1/(4x5) = 1/4 - 1/5....tương tự ta được 
= 2[(1/4 - 1/5 ) + (1/5-1/6) + (1/6-1/7) +(1/7-1/8)+(1/8-1/9)+(1/9-1/10)+(1/10 - 1/11)+ (1/11-1/12)] 
mo ngoac rut gon het lại 
= 2(1/4 - 1/12) = 1/3
Bài Toán 6 : Tính tổng: 1/1x2x3 +1/2x3x4 +1/3x4x5 + ..... +1/18x19x20=
=1/2[1/1x2 - 1/2x3] + 1/2[1/2x3 - 1/3x4] + 1/2[1/3x4 - 1/4x5] + ... + 1/2[1/18x19 - 1/19x20] 
=1/2[1/1x2 - 1/2x3 + 1/2x3 - 1/3x4 + 1/3x4 - 1/4x5 + ... + 1/18x19 - 1/19x20] 
=1/2[1/2 - 1/19x20] 
=1/2x189/380 
=189/760
Bài Toán 7 : Tính tổng: 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + . + 9 x 10
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 9x10
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 9x10x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 9x10x(11-9)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 9x10x11 - 8x9x10.
A x 3 = 9x10x11
A = 9x10x11 : 3
A = 330
Bài Toán 7 : Tính tổng: 1x2x3 + 2x3x4 +3x4x5+....+ 2010 x2011 x 2012
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A =1x2x3 + 2x3x4 +3x4x5+....+ 2010 x2011 x 2012
A x 4 =1x2x3x4 + 2x3x4x4 +3x4x5x4+....+ 2010 x2011 x 2012x4
A x 4 =1x2x3x4 + 2x3x4x(5+1) +3x4x5x(6-2)+....+ 2010 x2011 x 2012x(2013-2009)
A x 4 =1x2x3x4 + 2x3x4x5-1x2x3x4+3x4x5x6-2x3x4x5+....+ 2010 x2011 x 2012x2013-2009x2010x2011x2012
A x 4 = 2010 x2011 x 2012x2013
A = 2010 x2011 x 2012x2013/4
Bài Toán 8 : Tính hiệu : 9/10-1/90-1/72-1/56-1/42-1/30-.-1/2
Đặt A = 9/10 -( 1/90 + 1/72 + ... + 1/2) 
= 9/10 - { 1/( 9.10) + 1/(9.8) + ... + 1/( 2.1)} 
= 9/10 - ( 1/9 - 1/10 + 1/8 - 1/9 + ...+ 1 - 1/2) ( 1/90 = 1/(9.10) = 1/9 - 1/10) 
= 9/10 - ( 1 - 1/10) 
= 0
Bài 1:
        Tính nhanh
999999999:81-123456789:10+11111111,1         (9 chữ số 9 và 9 chữ số 1)
999999999:81-123456789:10+11111111,1
= 12345679    –    12345678,9 + 11111111,1        
= 0,1 + 11111111,1
= 11111111,2
Bài 2:
a).
2/9 + 6/27 + 8/36 + 12/54 + 16/72 + 18/81 =
2/9 x 6 = 4/3
b).
(1-2/5)x(1-2/7)x(1-2/9)xx(1-2/99)=
3 x 5 x 7 x  x 97     =     3/99
5 x 7 x 9 x .x 99 
c).
Gọi A= 1/2+1/4+1/8+1/16++1/1024
Nhân A với 2:
Ax2 = 1+1/2+1/4+1/8+..+1/512
Ax2 – A = 1+1/2+1/4+1/8+..+1/512 – (1/2+1/4+1/8+1/16++1/512+1/1024)
A = 1 – 1/1024 = 1023/1024
Cách 2:
(1-1/2)+(1/2-1/4)++(1/512-1/1024) =
1 – 1/1024 = 1023/1024
Cách 3: Ta thấy :
1/2+1/4=1-1/4=3/4
1/2+1/4+1/8=1-1/8
1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16
1/2+1/4+1/8+1/16++1/1024=1-1/1024=1023/1024
Bài 3:
Tính tổng: 1x2+3x4+5x6+......+99x100
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 99x100
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 99x100x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 99x100x(101-98)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 99x100x101 - 98x99x100.
A x 3 = 99x100x101
A = 99x100x101 : 3
A = 333300
Bài 4:
        Tính nhanh.
        8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500
8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500
= (2x4)/(3x3) x (3x5)/(4x4) x (4x6) / (5x5) x ... x (49x51) / 50x50)
= 2x4x3x5x4x6x...x49x51 / 3x3x4x4x5x5x...x50x50 (giản ước tử và mẫu)
= (2x51) / (3x50)
= 17/25
Bài 5:
        Tính nhanh:
        1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100
1/1x2x3= ½ x(1/(1x2) – 1/(2x3)    
1/2x3x4= ½ x(1/(2x3) – 1/(3x4)
1/3x4x5= ½ x(1/(3x4) – 1/(4x5)    
1/98x99x100= ½ (1/(98x99) – 1/(99x100)
A = ½ x (1/1x2 – 1/2x3 + 1/2x3 – 1/3x4 + 1/3x4 – 1/4x5  + .. + 1/98x99 – 1/99x100)
A = ½ x (1/1x2 – 1/99x100) =1/2 x ( ½ - 1/9900)
= ½ x (4950/9900 – 1/9900) =1/2 x 4949/9900
A = 4949/19800
Bài 6:
        Tính: A=1x2x3 + 2x3x4 ++ 100x101x102
A=1x2x3 + 2x3x4 ++ 100x101x102
Nhân A với 4 ta có :
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x 4 + 3x4x5x4 ++100x101x102x4
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + ... + 100x101x102x(103 - 99)
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + ... + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102
Sau khi cộng - trừ giản ước ta có : A x 4 = 100x101x102x103
A = 100 x101x102x103 : 4 = 26527650 
Bài 7:
Tính nhanh: 11 x 34 – ( 34 + 6 x 34 + 102)
Tính nhanh:
11x34-(34+6x34+102) = 11x34 – [34x(1+6+3)] =  11x34 – 10x34 = 34 
Bài 8:
Tính nhanh:         2x3+3x4+4x5+5x6+....+29x30
            Giải
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 29x30
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 29x30x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 29x30x(31-28)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 29x30x31 – 28x29x30.
A x 3 = 29x30x31
A = 29x30x31 : 3
A = 8990