Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn toán

1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG 
MỘT SỐ CHUYÊN ðỀ 
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
BỘ MƠN TỐN 
CẦN THƠ − 2006 
2 
LỜI NĨI ðẦU 
 Nhằm đáp ứng yêu cầu ngày càng cao trong cách dạy và học bằng phương 
pháp mới, đặc biệt trong việc giảng dạy, bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi của các trường 
THPT trong phạm vi Thành phố Cần Thơ. Tổ Tốn − Tin học của trường THPT chuyên 
Lý Tự Trọng phối hợp cùng với bộ phận chuyên mơn của Sở Giáo dục − ðào tạo cố 
gắng biên soạn một số chuyên đề nhằm đáp ứng một phần nào đĩ những yêu cầu trên. 
 Trong lần Hội thảo này, chúng tơi gửi đến các bạn đồng nghiệp, những người cĩ 
nhiều tâm huyết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi một số chuyên đề sau 
 Chuyên đề 1. Nguyên lý Dirichlet và các ứng dụng. 
 Chuyên đề 2. Dãy số − Phương trình hàm. 
 Chuyên đề 3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. 
 Chuyên đề 4. Một giáo án dạy học theo phương pháp mới trong chương trình 
 phân ban lớp 10. 
 Hy vọng rằng, qua những chuyên đề trên sẽ giúp ích một phần nào cho các anh 
chị đồng nghiệp tích lũy được nguồn tư liệu phong phú trong quá trình giảng dạy, bồi 
dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, trong quá trình biên soạn tài liệu khơng thể tránh khỏi 
những sai sĩt. Mong các đồng nghiệp thơng cảm và gĩp ý. Mọi thư từ gĩp ý xin vui 
lịng gửi về một trong hai địa chỉ sau 
 − Phịng GDTrH Sở Giáo dục − ðào tạo Thành phố Cần Thơ, 
 − Tổ Tốn − Tin học trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Thành phố Cần Thơ 
 (ðiện thoại: 071.821428). 
3 
MỤC LỤC 
Chuyên đề Trang 
1. Nguyên lý Dirichlet 4 
2. Phương pháp sai phân 13 
3. Phương trình hàm 18 
4. Một số gợi ý chứng minh bất đẳng thức đồng bậc 24 
5. Giáo án bài dạy: Hệ thức lượng trong tam giác 32 
4 
NGUYÊN LÝ DIRICHLET 
ðặng Bảo Hịa 
A. LỜI MỞ ðẦU. 
 Trong số các nguyên lý của tốn học dùng để chứng minh các bài tốn về số học, 
đại số, dãy số, hình học, suy luận logic, thì nguyên lý Dirichlet được xây dựng khá 
đơn giản nhưng tính hiệu quả của nĩ trong chứng minh rất cao. Dạng đơn giản của 
nguyên lý này là: “Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái lồng thì tồn tại ít nhất một lồng 
nhốt 2 con”, hay tổng quát hơn: “Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng trong đĩ n = k.m + r 
(r ≠ 0), thì tồn tại 1 lồng nhốt ít nhất k + 1 con thỏ”. Bởi vậy nguyên lý Dirichlet cịn 
được gọi là nguyên lý Chuồng và Thỏ (hay là nguyên lý của những ngăn kéo). 
 Bản chất nguyên lý Dirichlet là một định lý về tập hợp hữu hạn. Ta cĩ thể phát 
biểu chính xác nguyên lý này là: “Cho hai tập hợp A, B khác rỗng, cĩ số phần tử là hữu 
hạn và trong đĩ số phần tử của tập A nhiều hơn số phần tử của tập B. Nếu với một quy 
tắc nào đĩ, mỗi phần tử của tập A cho tương ứng với một phần tử của tập B thì tồn tại 
hai phần tử khác nhau của tập A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của tập B”. 
 Nguyên lý Dirichlet được xây dựng bởi nhà Bác học người ðức, gốc Pháp, Peter 
Gustap Leigen Dirichlet (1805 – 1859). Sau đây chúng ta xét một số bài tốn mà việc 
chứng minh nĩ hồn tồn dựa vào nguyên lý Dirichlet. 
B. NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG SỐ HỌC. 
Bài tốn 1. Cho 100 số tự nhiên bất kỳ a1, a2, , a100. Chứng minh rằng trong các số ấy, 
cĩ một số mà tổng của chúng chia hết cho 100. 
Giải. 
ðặt 
100
1
i i
i
S a
=
= ∑ . Cĩ hai trường hợp: 
TH1: Nếu tồn tại Si ≡ 0 (mod 100) thì ta cĩ ngay đpcm. 
TH2: Nếu Si ≡ r (mod 100), 1,100, 1,99i r= = thì theo nguyên lý Dirchlet tồn tại Sj, Sk 
( , 1,100, )j k j k= ≠ sao cho Sj ≡ Sk (mod 100) hay Sj – Sk ≡ 0 (mod 100) (đpcm). 
Bài tốn 2. Chứng minh rằng trong 52 số nguyên tùy ý luơn tồn tại hai số mà tổng hoặc 
hiệu của chúng chia hết cho 100. 
Giải. 
Một số nguyên khi chia cho 100 thì cĩ tất cả 51 loại số dư 0, ±1, ±2, , ±50. Từ đĩ với 
52 số nguyên tùy ý a1, a2,, a52 khi chia cho 100 thì phải cĩ ít nhất 2 số cĩ cùng một 
loại số dư. Khơng mất tổng quát giả sử 2 số đĩ là a1 và a2 thỏa a1 ≡ r1(mod 100), 
a2 ≡ r2(mod 100). Khi đĩ: 
 + Nếu r1 = r2 thì a1 – a2 ≡ 0(mod 100) 
 + Nếu r1 = - r2 thì a1 + a2 ≡ 0(mod 100) 
Vậy bài tốn được chứng minh. 
Bài tốn 3. Chứng minh rằng cĩ vơ số số chia hết cho 
20061119 mà trong biểu diễn thập 
phân của các số đĩ khơng cĩ các chữ số 0, 1, 2, 3. 
Giải. 
Gọi a là số tự nhiên mà trong biểu diễn thập phân của nĩ khơng cĩ các chữ số 0, 1, 2, 3. 
Rõ ràng các số như vậy là vơ hạn. 
5 
 Xét dãy số 
20061119 1
, , ,..., ...
a
a aa aaa aaa aaa
+


số 
ðem chia tất cả các số này cho 
20061119 thì theo nguyên lý Dirichlet sẽ cĩ ít nhất hai số cĩ 
cùng một số dư. Giả sử hai số đĩ là ...
số m a
aaa aaa
 và ...
số n a
aaa aaa
 (n > m) 
Khi đĩ 
200611
... ... 19
số số n a m a
aaa aaa aaa aaa− ⋮
 
 
Hay 
 
200611
... 00...0 19
số 0số mn m a
aaa a
−
⋮
 
Vì (10, 19) = 1 nên ( )20061110 ,19 1mk = , suy ra 200611... 19
số n m a
aaa a
−
⋮
 (*) 
Do a là vơ số nên từ (*) ta suy ra đpcm. 
Bài tốn 4. Cho 5 số nguyên phân biệt a1, a2, a3, a4, a5. Xét tích sau đây: 
1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − − − − − − − − − − 
Chứng minh P ⋮ 288. 
Giải. 
Ta cĩ 288 = 25.32 và (2, 3) = 1 nên để chứng minh P⋮ 288 ta chỉ cần chứng minh P 52⋮ 
và P 23⋮ . 
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong n + 1 số nguyên tùy ý, luơn tồn tại hai số mà hiệu của 
chúng chia hết cho n. 
Từ đĩ trong 4 số a1, a2, a3, a4 sẽ cĩ hai số cĩ hiệu chia hết cho 3 và trong 4 số a2, a3, a4, 
a5 cũng cĩ hai số cĩ hiệu chia hết cho 3. Vậy P⋮32 (1) 
Lại theo nguyên lý Dirichlet trong 5 số đã cho cĩ ít nhất 3 số cĩ cùng tính chẵn lẻ. Chỉ 
cĩ thể cĩ hai trường hợp sau đây xảy ra: 
a. Nếu cĩ ít nhất 4 số cĩ cùng tính chẵn lẻ, thì từ 4 số này cĩ thể lập nên 24 6C = hiệu 
khác nhau cùng chia hết cho 2, do đĩ tích của chúng chia hết cho 26. Suy ra P⋮25. 
b. Nếu cĩ đúng 3 số cĩ cùng tính chẵn, lẻ thì khơng làm mất tính tổng quát giả sử các số 
đĩ là a1,a2, a3 cĩ cùng tính chẵn. Khi đĩ hai số cịn lại a4 và a5 cĩ cùng tính lẻ. Vậy 4 
hiệu sau đây cùng chia hết cho 2: a1 – a2, a1 – a3, a2 – a3, a4 – a5. Mặt khác trong 5 số đã 
cho cĩ ít nhất hai số khi chia cho 4 phải cĩ cùng một số dư, vì thế hiệu của chúng chia 
hết cho 4. Suy ra P⋮25. 
Tĩm lại trong mọi trường hợp ta đều cĩ P⋮25 (2) 
Từ (1) và (2) ta được P⋮288 (đpcm). 
Một số bài tập. 
Bài 1. Cho ba số a, a + k, a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh k chia 
hết cho 6. 
Bài 2. Cho 1004 số nguyên từ 1 đến 2006. Chứng minh rằng trong các số ấy luơn tồn tại 
hai số thỏa số này chia hết cho số kia. 
Bài 3. Chứng minh rằng luơn tồn tại số tự nhiên n để 
2006
19 00...01n M⋮ 

số 0
Bài 4. Chứng minh rằng luơn tồn tại số tự nhiên A thỏa các chữ số của A chỉ bao gồm 
các chữ số 0, 2, 7, đồng thời A⋮20072007. 
6 
Bài 5. Cho 19 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng trong các số ấy tồn tại một số cĩ 
tổng các chữ số chia hết cho 10. 
Bài 6. Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp, tồn tại một số cĩ tổng các chữ số 
chia hết cho 11. 
Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p > 5, luơn tồn tại số n = 1111 thỏa 
n⋮p. 
Bài 8. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương cho trước, luơn tồn tại số cĩ dạng 
111...1000...0
p p
A =


số số
 thỏa A⋮n. 
Bài 9. Cho 2006 số tự nhiên đơi một khác nhau và nhỏ hơn 4010. Chứng minh rằng tồn 
tại 3 số thỏa tổng hai số này bằng số kia. 
Bài 10. Các số từ 1 đến 10 được xếp ngẫu nhiên chung quanh một đường trịn. Chứng 
minh rằng cĩ ít nhất ba số liên tiếp mà tổng của chúng ít nhất là 17. 
C. NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG ðỘ ðO. 
 ðối với độ dài, diện tích, thể tích cĩ một nguyên lý tương tự nguyên lý Dirichlet 
đối với tập hợp theo một nghĩa nào đĩ. Ta tạm gọi đĩ là nguyên lý Dirichlet đối với độ 
dài, diện tích, thể tích. 
 Trước hết ta xét trường hợp độ dài: 
 Trên đường thẳng cho đoạn AB cĩ độ dài a và một số đoạn AiBi ( 1,i n= ) cĩ tổng 
độ dài là b. Khi đĩ: 
 + Nếu b < a thì bên trong đoạn AB cĩ một điểm M nằm bên ngồi tất cả các đoạn 
AiBi. 
 + Nếu b > a và đoạn AB chứa tất cả các đoạn AiBi thì tồn tại ít nhất hai đoạn con 
AiBi cĩ điểm trong chung. 
Một cách tổng quát: 
 + Nếu b < ka thì bên trong đoạn AB tồn tại điểm M thuộc khơng quá k – 1 đoạn 
con. 
 + Nếu b > ka và đoạn AB chứa tất cả các đoạn AiBi thì cĩ ít nhất k + 1 đoạn con 
AiBi cĩ điểm trong chung. 
 Tương tự ta cĩ thể phát biểu nguyên lý Dirichlet cho trường hợp thay đoạn AB 
bởi cung AB nào đĩ các đoạn AiBi bằng cung i iA B của cùng một đường trịn. 
 Cũng hồn tồn tương tự ta cĩ thể phát biểu nguyên lý Dirichlet đối với diện tích 
hình (H) và các hình (H1), (H2),, (Hn) nằm trong mặt phẳng (hoặc nằm trên mặt cầu), 
cũng như đối với thể tích khối (V) và các khối (V1), V2),,(Vn) ở trong khơng gian. 
 Ngồi ra ở một số bài tốn ta cần đến khái niệm lân cận của một hình trong mặt 
phẳng. Cụ thể ta cĩ định nghĩa sau. 
ðịnh nghĩa. Trong mặt phẳng cho hình (H) và một số dương d. Ta gọi lân cận d của 
hình (H) là tập hợp tất cả các hình trịn cĩ tâm thuộc (H) và bán kính bằng d (ở đây để 
đơn giản ta xét hình trịn đĩng, tức là kể cả biên). 
 Như vậy lân cận d của hình (H) là tập hợp tất cả các điểm M cĩ khoảng cách từ 
M đến điểm gần nhất của (H) khơng vượt quá d. 
 Sau đây chúng ta xét một số bài tốn nguyên lý Dirichlet trong độ đo: 
Bài tốn 1. Trong hình vuơng cạnh bằng 1 vẽ một số đường trịn cĩ tổng chu vi bằng 10. 
Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng cắt ít nhất 4 đường trịn trong số đường trịn đã 
vẽ. 
Giải. 
7 
Giả sử hình vuơng cạnh bằng 1 đã cho là ABCD mà trong đĩ đã vẽ n đường trịn (Oi). 
Chiếu tất cả các đường trịn (Oi) lên cạnh AB. Hình chiếu của đường trịn (Oi) trên cạnh 
AB là đoạn thẳng AiBi bằng đường kính di của nĩ. Khi đĩ ta cĩ: 
1 1 1
1010 10 3 3
n n n
i i i i i
i i i
d A B A B ABpi pi
pi= = =
= ⇔ = ⇒ = > =∑ ∑ ∑ (1) 
Vì các đoạn AiBi chứa trong đoạn AB nên từ (1) suy ra tồn tại điểm M là điểm trong 
chung của ít nhất 4 đoạn AiBi nào đĩ. Khi đĩ đường thẳng (d) đi qua M, vuơng gĩc với 
AB cắt ít nhất 4 đường trịn cĩ hình chiếu là 4 đoạn AiBi nĩi trên (đpcm). 
Bài tốn 2. Trong hình vuơng cạnh bằng 10 kẻ 12 đoạn thẳng bất kỳ, mỗi đoạn cĩ độ dài 
bằng 1. Chứng minh rằng ta cĩ thể dựng được một hình trịn cĩ bán kính bằng 1 nằm 
trong hình vuơng đã cho và khơng cĩ điểm chung với bất kỳ đoạn nào trong 12 đoạn ấy. 
Giải. 
Xét lân cận 1 của đoạn AiBi. Nhận thấy lân cận 1 của đoạn AiBi là một hình gồm hai 
hình vuơng cạnh bằng 1 (chung cạnh AiBi, nằm về hai phía của AiBi ) và 
hai nửa hình trịn nằm ngồi hình chữ nhật MNPQ, cĩ tâm là Ai, Bi 
và bán kính bằng 1. Lân cận 1 của đoạn AiBi như vậy cĩ diện tích 
bằng 2 + pi. 
Xét hình vuơng cạnh bằng 10 chứa 12 đoạn thẳng AiBi ( 1,10i = ) 
mỗi đoạn cĩ độ dài bằng 1. Dựng hình vuơng EFIJ nằm trong 
hình vuơng ABCD, cĩ cạnh song song với cạnh của ABCD 
và cách các cạnh của ABCD một khoảng bằng 1 (Hình vẽ). 
Với mỗi đoạn AiBi ta dựng lân cận của nĩ. Tổng diện tích của 
12 lân cận 1 là 12(2 ) 12.5,15 61,8pi+ < = . Trong khi đĩ diện 
tích EFIJ là 64 > 61,8. Do vậy 12 lân cận 1 của các đoạn đã 
cho khơng phủ kín hết EFIJ. Suy ra tồn tại điểm O thuộc EFIJ 
thỏa O nằm ngồi tất cả các lân cận 1 của các đoạn AiBi . 
Từ đĩ hình trịn tâm O bán kính bằng 1 nằm trong ABCD (vì cĩ tâm nằm trong EFIJ) và 
khơng cĩ điểm chung với bất kỳ đoạn nào trong 12 đoạn đã cho (đpcm). 
Một số bài tập. 
Bài 1. Trong hình vuơng cạnh bằng 8 lấy 100 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng cĩ ít nhất 4 
điểm nằm trong một hình trịn bán kính bằng 1. 
Bài 2. Trên đoạn thẳng cĩ độ dài bằng 100 người ta lấy một số đoạn thẳng rời nhau và 
tơ các điểm của chúng bằng màu đỏ. Cho biết khoảng cách giữa hai điểm được tơ đỏ bất 
kỳ luơn khác 1. Chứng minh rằng tổng độ dài các đoạn tơ đỏ khơng vượt quá 50. 
Bài 3. Trong một hình trịn bán kính R < 9 kẻ 36 đoạn thẳng, mỗi đoạn cĩ độ dài bằng 1. 
Chứng minh rằng với một phương (d) bất kỳ cho trước luơn tồn tại một đường thẳng 
song song hoặc vuơng gĩc với (d) và cắt ít nhất 2 trong 36 đoạn thẳng trên. 
Bài 4. Trong mặt phẳng vẽ 4 gĩc nhọn. Chứng minh rằng 4 miền gĩc nhọn khơng thể 
phủ kín tồn bộ mặt phẳng. 
Bài 5. Trong hình (H) cĩ diện tích 100cm2 kẻ một đường gấp khúc cĩ độ dài 48cm. 
Chứng minh rằng trong (H) luơn tồn tại điểm M cĩ khoảng cách đến điểm gần nhất của 
(H) lớn hơn 1cm. 
Bài 6. Trong hình trịn bán kính bằng 1 kẻ một số dây cung. Biết rằng mỗi đường kính 
của đường trịn cắt khơng quá k dây cung. Chứng minh rằng tổng độ dài các dây cung 
bé hơn kpi . 
Ai Bi 
M N 
P Q 
A B 
C D 
E F 
I J 
8 
Bài 7. Trong hình vuơng cạnh bằng 100 vẽ một số đường trịn cĩ bán kính bằng 1. Biết 
rằng mỗi đoạn thẳng cĩ độ dài bằng 10 và nằm trong hình vuơng đã cho đều cắt ít nhất 
một đường trịn trong số các đường trịn nĩi trên. Chứng minh rằng số đường trịn đã vẽ 
khơng ít hơn 416. 
Bài 8. Trong hình trịn cĩ diện tích S lấy 17 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 17 
điểm ấy cĩ 3 điểm thẳng hàng hoặc lập thành một tam giác cĩ diện tích bé hơn 
15
S
. 
Bài 9. Cho một số hữu hạn hình trịn mà tập hợp của chúng là một hình cĩ diện tích 
bằng 1. Chứng minh rằng ta cĩ thể chọn trong số các hình trịn đĩ một số hình đơi một 
nằm ngồi nhau và cĩ tổng diện tích khơng nhỏ hơn 1
9
. 
Bài 10. Trong hình vuơng cạnh bằng 50 ta dựng một đường gấp khúc cĩ tính chất: 
khoảng cách từ một điểm bất kỳ của hình vuơng đến điểm gần nhất của đường gấp khúc 
nhỏ hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng độ dài của đường gấp khúc ấy lớn hơn 1248. 
D. NGUYÊN LÝ DIRIHLET TRONG HÌNH HỌC. 
Bài tốn 1. Cho 2007 điểm trên mặt phẳng, biết rằng mỗi nhĩm 3 điểm bất kỳ của các 
điểm đĩ bao giờ cũng cĩ thể chọn ra 2 điểm cĩ khoảng cách bé hơn 1. Chứng minh rằng 
trong các điểm trên cĩ ít nhất 1004 điểm nằm trong một đường trịn bán kính bằng 1. 
Giải. 
Ta cĩ 2007 = 2. 1003 + 1 
Gọi A là một điểm trong 2007 điểm đã cho. Vẽ đường trịn tâm A bán kính bằng 1 (ký 
hiệu (A, 1)). Nếu tất cả 2006 điểm cịn lại đều nằm trong đường trịn (A, 1), thì hiển 
nhiên bài tốn đã được giải. 
Giả sử cĩ điểm B nằm ngồi đường trịn (A, 1), tức là AB > 1. Khi đĩ dựng đường trịn 
(B, 1), ta chứng minh tất cả 2007 điểm đã cho nằm trong (A, 1) hoặc (B, 1). 
Thật vậy, lấy C bất kỳ và ta xét nhĩm 3 điểm A, B, C. Theo giả thiết AB > 1 nên 
AC < 1 hoặc BC < 1, khi đĩ C nằm trong đường trịn (A, 1) hoặc đường trịn (B, 1). Như 
vậy 2007 điểm đã cho nằm trong hai đường trịn (A, 1) và (B, 1). Theo nguyên lý 
Dirichlet phải cĩ một đường trịn chứa ít nhất 1004 điểm (đpcm). 
Bài tốn 2. Cho 6 điểm trong mặt phẳng sao cho bất kỳ 3 điểm nào cũng là đỉnh của một 
tam giác mà các cạnh của nĩ đều cĩ chiều dài khác nhau. Chứng minh rằng luơn tồn tại 
một cạnh vừa là cạnh nhỏ nhất của tam giác này, vừa là cạnh lớn nhất của tam giác 
khác. 
Giải. 
Ta tơ màu đỏ cạnh nhỏ nhất của tam giác và tơ màu xanh 2 cạnh cịn lại. Ta chứng minh 
tồn tại một tam giác cĩ 3 cạnh cùng màu đỏ. 
Thật vậy từ điểm A trong 6 điểm đã cho, nối với 5 điểm cịn lại ta được 5 cạnh. Do chỉ 
cĩ hai màu nên trong 5 cạnh này phải cĩ ít nhất 3 cạnh cùng màu, giả sử là 3 cạnh AB, 
AC và AD. 
Nếu AB, AC, AD cùng màu đỏ, khi đĩ do tam giác BCD cĩ một cạnh màu đỏ chẳng hạn 
là BC nên dẫn đến tam giác ABC cĩ các cạnh cùng màu đỏ. 
Nếu AB, AC, AD cùng màu xanh thì tam giác BCD cĩ 3 cạnh cùng màu đỏ. 
Với tam giác cĩ 3 cạnh cùng màu đỏ thì cạnh lớn nhất của tam giác ấy chính là cạnh 
thỏa yêu cầu bài tốn (đpcm). 
Bài tốn 3. Cho một đa giác lồi 17 đỉnh. Người ta dùng 3 màu xanh, vàng, đỏ để tơ hết 
tất cả các cạnh và các đường chéo của đa giác ấy. Chứng minh rằng luơn tồn tại một tam 
giác cĩ ba đỉnh là đỉnh của đa giác mà các cạnh của nĩ được tơ bởi cùng một màu. 
9 
Giải. 
Gọi A là một đỉnh nào đĩ của đa giác. Nối A với các đỉnh cịn lại ta được tất cả 16 cạnh 
(được hiểu là cạnh hoặc đường chéo của đa giác). Do chỉ cĩ ba màu nên trong số 16 
cạnh ấy phải cĩ ít nhất 6 cạnh được tơ bởi một màu. Khơng mất tổng quát ta gọi 6 cạnh 
ấy là AAi ( 1,6i = ) được tơ bởi màu xanh. Khi đĩ cĩ hai trường hợp: 
TH1: Nếu tồn tại 1 cạnh AiAk ( , 1,6;i k i k= ≠ ) được tơ bởi màu xanh thì tam giác AAiAk 
thỏa yêu cầu bài tốn. 
TH2: Nếu mọi cạnh AiAk ( , 1,6;i k i k= ≠ ) chỉ được tơ bởi hai màu vàng và đỏ thì trong 5 
cạnh A1Ai ( 2,6i = ) cĩ ít nhất 3 cạnh được tơ bởi cùng một màu. Khơng mất tổng quát 
giả sử ba cạnh ấy là A1A2, A1A3, A1A4 được tơ bởi màu đỏ. Khi đĩ ta xét tam giác 
A2A3A4: Nếu tồn tại một cạnh của tam giác này được tơ bởi màu đỏ, chẳng hạn đĩ là 
cạnh A2A3, thì tam giác A1A2A3 thỏa yêu cầu bài tốn. Ngược lại mọi cạnh của tam giác 
A2A3A4 được tơ bởi màu vàng thì tam giác này cũng thỏa yêu cầu bài tốn. 
Vậy trong mọi trường hợp ta luơn cĩ tam giác thỏa yêu cầu của bài tốn (đpcm). 
Một số bài tập. 
Bài 1. Trong hình vuơng cạnh bằng 4 cho trước 33 điểm, trong đĩ khơng cĩ 3 điểm nào 
thẳng hàng. Người ta vẽ các đường trịn cĩ bán kính đều bằng 2 và cĩ tâm là các điểm 
đã cho. Hỏi cĩ hay khơng 3 điểm trong số các điểm nĩi trên sao cho chúng đều thuộc 
vào phần chung của 3 hình trịn cĩ tâm cũng chính là ba điểm ấy? 
Bài 2. Cho một hình vuơng và 9 đường thẳng, trong đĩ cứ mỗi đường thẳng đều chia 
hình vuơng thành hai tứ giác cĩ tỷ số diện tích là 2
3
. Chứng minh rằng trong số 9 đường 
thẳng ấy cĩ ít nhất ba đường đồng quy. 
Bài 3. Trong đường trịn đường kính bằng 5 ta lấy 10 điểm tùy ý. Chứng minh rằng 
trong 10 điểm ấy tồn tại hai điểm với khoảng cách giữa chúng bé hơn 2. 
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD và 25 đường thẳng thỏa mỗi đường trong chúng chia 
ABCD thành 2 hình thang cĩ tỷ số diện tích bằng 1
3
. Chứng minh rằng trong 25 đường 
thẳng ấy, tồn tại 7 đường đồng quy tại một điểm. 
Bài 5. Trên một đường trịn người ta tơ màu xanh một số cung sao cho hai cung màu 
xanh bất kỳ khơng cĩ điểm chung và tổng độ dài các cung được tơ màu xanh nhỏ hơn 
nửa chu vi đường trịn. Chứng minh rằng cĩ ít nhất một đường kính của đường trịn mà 
hai đầu của nĩ khơng bị tơ màu. 
Bài 6. Trong hình vuơng cĩ cạnh bằng 1 cĩ 101 điểm tùy ý. Chứng minh rằng cĩ ít nhất 
5 điểm nằm trong hình trịn bán kính bằng 1
7
. 
Bài 7. Cho đường trịn bán kính bằng 1 và n điểm A1, A2,, An trên mặt phằng. Chứng 
minh rằng trên đường trịn cĩ thể tìm được điểm M sao cho MA1 + MA2 + + MAn ≥ n. 
Bài 8. Trong mặt phẳng cho 6 hình trịn sao cho tâm của mỗi hình trịn nằm ngồi tất cả 
các hình trịn khác. Chứng minh rằng khơng cĩ điểm chung nào cho cả 6 hình trịn đĩ. 
Bài 9. Cho mặt cầu tâm O bán kính R = 1. 
 a. Tìm số điểm lớn nhất cĩ thể đặt trên mặt cầu sao cho khoảng cách giữa 2 điểm 
bất kỳ trong chúng khơng bé hơn 2 . 
 b. Tìm số điểm lớn nhất cĩ thể đặt trên mặt cầu sao cho khoảng cách giữa 2 điểm 
bất kỳ trong chúng lớn hơn 2 . 
10 
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho n – giác lồi A1A2An cĩ tất cả các đỉnh 
đều là điểm nguyên. Biết rằng hình n – giác đĩ (bao gồm tất cả các điểm thuộc miền 
trong và thuộc biên) khơng chứa bất cứ một điểm nguyên nào khác ngồi các đỉnh Ai 
( 1,i n= ). Tìm giá trị lớn nhất cĩ thể cĩ của số n. 
E. NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG DÃY SỐ VÀ SUY LUẬN LOGIC. 
Bài tốn 1. Cho 100 số tự nhiên a1, a2,, a100 thỏa : 
100
1
100 ( 1,100) , 200i i
i
a i a
=
≤ = =∑ . 
Chứng minh rằng trong các số đĩ luơn tồn tại một số số cĩ tổng bằng 100. 
Giải. 
a. Nếu tất cả các số đều bằng nhau thì từ giả thiết a1 = a2 =  = a100 = 2. Khi đĩ ta chỉ 
cần chọn 50 số thì tổng của chúng sẽ thỏa yêu cầu bài tốn. 
b. Nếu a1 ≠ a2 ta xây dựng dãy gồm 100 số 
 S1 = a1, S2 = a2, S3 = a1 + a2, , S100 = a1 + a2 + + a99. 
 + Nếu tồn tại 100( 1,100)iS i =⋮ . Khi đĩ do 0 < Si < 200 nên Si = 100 thỏa yêu cầu 
bài tốn. 
 + Nếu mọi Si ( 1,100)i = đều khơng chia hết cho 100 thì theo nguyên lý Dirichlet 
tồn tại ít nhất hai số ( ), , 1,100;i kS S i k i k= ≠ sao cho Si ≡ Sk (mod 100). Giả sử Sk > Si, 
khi đĩ ta cĩ Sk – Si ⋮ 100. Mặt khác do 0 < Si < 200 nên suy ra Sk – Si = 100 thỏa yêu cầu 
bài tốn. 
Vậy bài tốn được chứng minh. 
Bài tốn 2. Cho 69 số nguyên dương phân biệt khơng vượt quá 100. Chứng minh rằng 
cĩ thể chọn được 4 số a, b, c, d trong các số ấy sao cho a < b < c và a + b + c = d. 
Giải. 
Khơng mất tổng quát gọi a1, a2, , a69 là các số đã cho thỏa 1 ≤ a1 < a2 <  < a69 ≤ 100. 
Suy ra a1 ≤ 32. Ta thành lập 2 dãy số: 
 1 < a2 + a1 < a3 + a1 <  < a69 + a1 ≤ 132 và 1 < a3 – a2 < a4 – a2 < < a69 – a2 <100 
Hai dãy trên gồm 134 số mà số hạng trên mỗi dãy đều khác nhau. Vậy tồn tại ít nhất hai 
số ở hai dãy trên bằng nhau hay tồn tại { }, 3;4;...;69i j∈ sao cho: ai + a1 = aj – a2. 
Suy ra a1 + a2 + ai = aj và a1 < a2 < ai (đpcm). 
Bài tốn 3. Trên bàn cờ 10 × 10 chúng ta viết các số từ 1 đến 100. Mỗi một hàng chúng 
ta chọn số lớn thứ 3. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một hàng cĩ tổng các số trong 
hàng ấy nhỏ hơn tổng các số lớn thứ 3 đã được chọn. 
Giải. 
Ta ký hiệu các số lớn thứ 3 trên mỗi hàng là a0, a1, , a9 trong đĩ a0 > a1 >  > a9. 
Khi đĩ số phần tử lớn hơn a0 nhiều nhất là 20 (bao gồm 2 số lớn hơn a0, 2 số lớn hơn a1, 
, 2 số lớn hơn a9). 
Suy ra a0 ≥ 80. Lập luận tương tự ta cũng cĩ a1 ≥ 78. 
Vì a2 > a3 >  > a8 ≥ a9 + 1 ⇒ ai ≥ a9 + 9 – i ( 2,8)i = 
Từ đĩ a0 + a1 + a2 + + a9 ≥ 80 + 78 + (a9 + 7) + (a9 + 6) +  + a9 + 1 + a9 
 ≥ 8a9 + 180 (1) 
Xét tổng S các số thuộc hàng cĩ chứa a9 là số lớn thứ 3. Ta cĩ: 
 S ≤ 100 + 99 + a9 + a9 – 1 + a9 – 2 +  + a9 – 7 ≤ 8a9 + 171 (2) 
(1) và (2) cho ta S < a0 + a1 + + a9 (đpcm). 
11 
Một số bài tập. 
Bài 1. Xét A là một tập con của tập hợp các số tự nhiên sao cho trong 1999 số tự nhiên 
liên tiếp bất kỳ luơn cĩ một số nằm trong A. Chứng minh rằng luơn tồn tại hai số trong 
A thỏa số này chia hết cho số kia. 
Bài 2. Giả sử a1, a2, , an là dãy số thực cho trước. Chứng minh rằng luơn tồn tại một 
số thực x sao cho tất cả các số a1 + x, a2 + x, , an + x đều là số vơ tỷ. 
Bài 3. Cho 8 số thực x1, x2, , x8 tùy ý. Xét 6 số sau đây: 
 x1x3 + x2x4, x1x5 + x2x6, x1x7 + x2x8, x3x5 + x4x6, x3x7 + x4x8, x5x7 + x6x8. 
 Chứng minh rằng trong 6 số ấy cĩ ít nhất một số khơng âm. 
Bài 4. Trong một trại hè quốc tế cĩ 21 bạn thiếu nhi đến từ các châu lục: Á, Âu, Mỹ, 
ðại Dương. Biết rằng mỗi bạn nĩi được một trong hai thứ tiếng Anh, Pháp. Chứng minh 
rằng luơn tồn tại 3 bạn cùng một châu lục nĩi chuyện được với nhau mà khơng cần đến 
phiên dịch. 
Bài 5. Chứng minh rằng trong 6 người bất kỳ luơn tồn tại 3 người đơi một quen nhau 
hoặc đơi một khơng quen nhau. 
Bải 6. Cĩ 2006 con thỏ nhốt vào 1003 cái chuồng, mỗi chuồng nhốt 2 con. Sau mỗi 
ngày người ta lại thay đổi vị trí ở của thỏ sao cho khơng cĩ 2 con nào đã ở chung 
chuồng trước đĩ lại nằm chung chuồng một lần nữa. Hỏi tối đa cĩ bao nhiêu ngày làm 
được như vậy. 
Bài 7. Dãy số tự nhiên (an) được xác định bởi: 
1
1
2
( 1) 1, *
n n
a
a n a n N+
=

= + + ∈
 Trong mặt phẳng cho an + 1 điểm khác nhau, trong đĩ khơng cĩ ba điểm nào 
thẳng hàng. Tất cả các đoạn thẳng nối những điểm này được tơ bởi n màu đã cho. 
 Chứng minh rằng với mọi n = 1, 2, tồn tại tam giác cĩ các đỉnh là các điểm 
trong các điểm đã cho mà những cạnh của nĩ được tơ bởi cùng một màu. 
Bài 8. Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tơ bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. 
 Chứng minh rằng luơn tồn tại một hình chữ nhật cĩ bốn đỉnh được tơ bởi cùng 
một màu. 
Bài 9. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đĩ khơng cĩ ba điểm nào thẳng hàng thuộc mặt 
phẳng với hệ tọa độ Oxy. Biết rằng mỗi điểm đều cĩ các tọa độ là những số nguyên. 
 Chứng minh rằng cĩ ít nhất ba tam giác tạo thành cĩ diện tích là số nguyên. 
Bài 10. Giả sử số hữu tỷ r
s
 với r, s ∈ N và 0 < r < s, đựoc viết dưới dạng thập phân: 
 1 2 30, , , ,...
r k k k
s
= 
 Chứng minh rằng trong dãy số 
1 1
2
2 1 2
3 2
3 1 2 3
10.
10 . (10 )
10 . (10 10 )
.......................................
rl k
s
rl k k
s
rl k k k
s
= −
= − +
= − + +
cĩ ít nhất hai số giống nhau. 
12 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Báo Tốn học và Tuổi trẻ. 
[2] Các chuyên đề về Số học của GS. Phan Huy Khải. 
[3] Chuyên đề nguyên lý Dirichlet của TS. Nguyễn Hữu ðiển. 
[4] Các bài tốn chọn lọc của GS. Phan ðức Chính. 
[5] Chuyên đề nguyên lý Dirichlet của PGS. Nguyễn Văn Xoa, PTS. Nguyễn Vũ Lương. 
[6] Graph của GS Hồng Chúng. 
[7] Chuyên đề Số học và Hình học của Ths. Nguyễn Vũ Thanh. 
13 
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN 
Trần Diệu Minh 
 Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh 
vực khoa học và kỹ thuật, nội dung của nĩ là đưa bài tốn cần xét về việc giải phương 
trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân. Trong phần này chúng ta đề cập tới việc 
giải một số phương trình sai phân cơ bản với mục đích đi tìm số hạng tổng quát của một 
dãy số mà chủ yếu là đi tìm nghiệm tổng quát của phương trinh sai phân tuyến tính và 
khảo sát một vài dạng phương trình sai phân mà ta cĩ thể tuyến tính hố. 
1. ðịnh nghĩa. 
 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm un theo biến n l