Một số của đề tự chọn môn Toán lớp 9
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Một số của đề tự chọn môn Toán lớp 9, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
LÔØI NOÙI ÑAÀU
Tõ nh÷ng n¨m ®Çu cña thËp kØ 90, vÊn ®Ò ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc trong nhµ trêng phæ th«ng ë níc ta ®îc d luËn x· héi vµ c¸c c¸n bé gi¸o viªn trong ngµnh gi¸o dôc quan t©m rÊt nhiÒu .
Vµi n¨m gÇn ®©y , viÖc ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc theo tinh thÇn "lÊy häc sinh lµm trung t©m" ®· ®îc thùc hiÖn réng r·i kh¾p c¸c tØnh, thµnh trong tÊt c¶ c¸c cÊp häc phæ th«ng c¶ níc . H¬n n÷a, viÖc ®æi míi ch¬ng tr×nh-SGK hiÖn nay lµ mét cuéc "c¸ch m¹ng" ,®ßi hái gi¸o viªn ph¶i cã sù ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc .
Mét trong nh÷ng ®Þnh híng quan träng cña viÖc ®æi míi hiÖn nay lµ : T¨ng cêng h¬n n÷a tÝnh "ph©n hãa" trong häc sinh . ViÖc d¹y häc m«n häc tù chän (tríc ®©y)vµ c¸c chñ ®Ò tù chän (hiÖn nay)lµ mét trong nh÷ng biÖn ph¸p h÷u hiÖu thÓ hiÖn râ ®Þnh híng nµy .
B¾t ®Çu tµ n¨m häc 2002-2003 Bé GD&§T ®· híng dÉn thùc hiÖn DHTC cho mét sè m«n häc thuéc khèi líp 8 vµ 9 (2 tiÕt /tuÇn). N¨m häc 2006-2007 viÖc d¹y häc c¸c chñ ®Ò tù chän ®· ®îc triÓn khai ®¹i trµ cho tÊt c¶ c¸c khèi líp tõ 6 ®Õn 9. Nh vËy ,viÖc d¹y häc tù chän ®· mang tÝnh ph¸p quy.
Th«ng qua c¸c tiÕt d¹y häc C§TC , gi¸o viªn sÏ cã thªm ®iÒu kiÖn ®Ó ®æi míi ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y, tÝch lòy , trau dåi thªm chuyªn m«n nghiÖp vô ...MÆt kh¸c,còng th«ng qua c¸c tiÕt d¹y mµ ph¸t hiÖn ra nh÷ng häc sinh cã n¨ng khiÕu ®ång thêi gióp häc sinh kh¾c phôc ®îc nh÷ng thiÕu sãt cña m×nh trong qu¸ tr×nh häc tãan....Häc sinh cã ®iÒu kiÖn cñng cè kiÕn thøc , ph¸t huy kh¶ n¨ng ,n¨ng khiÕu cña b¶n th©n vÒ m«n häc .
Trªn c¬ së ®Æc ®iÓm ch¬ng tr×nh tãan THCS , qua thùc tiÔn gi¶ng d¹y mét sè n¨m .B¶n th©n t«i ®· ®óc kÕt ®îc mét sè kinh nghiÖm khi d¹y vµ «n tËp cho häc sinh líp 9 .Víi môc ®Ých h×nh thµnh trong nhµ trêng mét sè vÊn ®Ò vµ c¸c chñ ®Ò tù chän & ®Ó trao ®æi cïng c¸c ®ång nghiÖp . T«i tiÕn hµnh tæng hîp vµ biªn so¹n mét sè chñ ®Ò Tãan 9 gåm :
*Chñ ®Ò 1: C¨n thøc bËc hai.
*Chñ ®Ò 2: HÖ ph¬ng tr×nh .
*Chñ ®Ò 3: Ph¬ng tr×nh bËc hai.
*Chñ ®Ò 4: Hµm sè vµ ®å thÞ .
*Chñ ®Ò 5: TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn.
*Chñ ®Ò 6: Tø gi¸c néi tiÕp .
Mçi néi dung kiÕn thøc ®Ò cã c¸c vÝ dô vµ bµi tËp c¬ b¶n b¸m s¸t ch¬ng tr×nh vµ chia thµnh d¹ng phï hîp víi nhiÒu ®èi tîng häc sinh(cã nhiÒu néi dung n©ng cao) .c¸c bµi tËp vµ vÝ dô chñ yÕu ®îc sö dông trong SGK thuéc ch¬ng tr×nh cò(c¸ nh©n ®· tõng ¸p dông) .
MÆc dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn ,song cã lÏ kh«ng
thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt . T«i rÊt mong nhËn ®îc sù ñng hé ,gãp ý cña c¸c
thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó sím cã thÓ hoµn thiÖn h¬n
CH Ủ Đ Ề 1:
CĂN BẬC HAI: CÁC PHÉP TÍNH & BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CHỨA CBH
A.TÓM TẮT KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN
VẤN ĐỀ 1: Nhắc lại một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta có thể sử dụng riêng rẽ hoặc phối hợp các phương pháp: Đặt nhân tử chung; Áp dụng các hằng đẳng thức ;Nhóm, tách,them bớt cùng một hạnh tử; Sử dụng nghiệm của đa thức hoặc dùng sơ đồ Hoocne,...
1. Phương pháp dặt nhân tử chung :
Ví dụ 1: 14a3b - 7a2b2 + 35ab3 = 7ab.2a2 - 7ab.ab+ 7ab.5b2 = 7ab(2a2 - ab +5b2)
Ví dụ 2: x3 + x2 +x+1 = x2(x+1)+x+1 = (x+1)((x2+1)
2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức :
Ví dụ 1: a2 -1 +b2+2ab = a2+b2+2ab -1 = (a +b)2-1 = (a +b-1)(a +b+1)
Ví dụ 2: (x+y)3 - (x-y)3 = [ (x+y) - (x-y)][(x+y)2 + (x+y)(x-y) + (x-y)2]
= 2y(x2+y2+2xy +x2 - y2 + x2+y2-2xy )
= 2y(3x2+y2)
3. Phương pháp nhóm các số hạng :
Ví dụ 1: phân tích thành nhân tử đa thức : x2+y+xy+x
C1: Ta có : x2+y+xy+x = (x2+x) + (y+xy) = x(x+1) +y (x+1) =(x+1) (x+y)
C2: Ta có : x2+y+xy+x = (x2 +xy)+(y+x) = x(x+y) +(y +x)=(x+1) (x+y)
Ví dụ 2: ax2 + ay2 -bx2 -by2 +b - a = (ax2 -bx2) +(ay2 - by2) +b - a
= x2(a -b) +y2(a - b) -(a - b) =(a - b)(x2+y2 -1)
4. Phương pháp tách hạng tử:
Ví dụ : x2 - 6x + 5
C1: x2 - 6x + 5 = x2 - x - 5x + 5 = x(x-1)- 5(x-1) =(x-1)(x -5)
C2: x2 - 6x + 5 = x2 - 1 - 6x + 6 = (x -1)(x +1)- 6(x-1) =(x-1)(x +1-6) =(x-1)(x -5)
C3: x2 - 6x + 5 = 6x2 - 6x - 5x2 + 5 = 6x(x-1)- 5(x2 -1) = 6x(x-1)- 5(x -1)(x +1)
= (x-1)[6x - 5(x +1)] = (x-1)(x -5)
C4: x2 - 6x + 5 = x2 - 6x +9 - 4 = (x-3)2 - 22 = [(x-3)-2][(x-3)+2] = (x-1)(x -5)
* Còn một số cách tách khác nữa , xin mời bạn đọc .
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
Ví dụ 1: x5 + x + 1 = x5 + x2 - x2 + x + 1 = x2(x3 -1) + (x2 + x + 1)
= x2(x - 1)(x2 + x + 1) +(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x2(x - 1)+1]
= (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)
Ví dụ 2: x4 + 64 = (x2)2 + 82 = (x2)2 +2.x2.8 + 82 - 16x2 = (x2 + 8)2 - (4x)2
= (x2 - 4x + 8 )(x2 + 4x +8)
6. Phương pháp dùng nghiệm của đa thức :
Giả sử đa thức f(x) có một nghiệm x= a thì (x - a) là một nhân tử và ta có :
f(x) =(x - a).g(x) . Trong đó: g(x) là thương của phép chia đa thức f(x) cho (x - a)
Ví dụ :Đa thức x3 + 2x + 3 có một nghiệm là -1 nên một nhân tử của tích là :
x- (-1) = x + 1. Ta có :(x3 + 2x + 3) : (x + 1) = x2 -x + 3
Vậy :x3 + 2x + 3 = (x + 1)(x2 -x + 3)
7. PP sử duïng sô ñoà hooùcne :
Cho ña thöùc: f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +..+ a1x + a0 vaø nhò thöùc x - . Ta luoân vieát ñöôïc : f(x) = P(x) (x -) + r
Baèng caùch söû duïng sô ñoà hooùcne:
an
an-1
an-2
..
a1
a0
bn = an
bn-1 = bn + an-1
bn-2 = bn-1 + an-2
..
b1 = b2 + a1
b0 = b1 + a0
Vôùi P(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + bn-2xn-3 + ..+ b2x + b1 vaø r = a0
Roõ raøng , neáu r=0 , khi ñoù f(x) = P(x) (x -)
Vieäc söû duïng sô ñoà hooùcne thöôøng aùp duïng ñoái vôùi caùc ña thöùc baäc cao (töø baäc 3 trôû leân). Vaán ñeà ñaët ra laø : Ta phaûi ñoùan ñöôïc nghieäm cuûa f(x) . Vôùi chöông trình THCS ta thöôøng ñoùan nghieäm theo caùc caùch sau :
Neáu ña thöùc f(x) coù toång caùc heä soá baèng 0 thì 1 laø moät nghieäm cuûa f(x) . Do ñoù f(x) coù theå vieát : f(x) = (x - 1)P(x).
Neáu ña thöùc f(x) coù toång caùc heä soá cuûa caùc soá haïng baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa caùc soá haïng baäc leû thì -1 laø moät nghieäm . Do ñoù f(x) coù theå vieát : f(x) = (x + 1)P(x).
Tuy nhieân trong moät soá tröôøng hôïp cuï theå thì caû hai caùch ñoùan nghieäm nhö treân laø khoâng khaû thi . Khi ñoù , ta caàn phaûi söû duïng ñeán caùch thöù ba : Loaïi tröø caùc öôùc cuûa heä soá töï do khoâng laø nhieäm cuûa f(x) , baèng caùch : Neáu a laø nghieäm nguyeân cuûa f(x) vaø f(1) , f(-1) khaùc 0 thì va ñeàu laø soá nguyeân .
Ví duï :
Phaân tích caùc ña thöùc sau thaønh nhaân töû .
A(x) = x3 – 5x2 +8x – 4
B(X) = x3 – 5x2 +3x +9
C(X) = 4x3 – 13x2 +9x -18
Giaûi :
Toång caùc heä soá cuûa ña thöùc : 1 – 5 + 8 – 4 = 0 => x = 1 laø moät nghieäm cuûa A(X) . Ta coù sô ñoà sau :
+
1
+
-5
+
8
-4
=1
x
x
1
x
-4
4
0
Caùch thöïc hieän :
+ Vieát caùc heä soá cuûa A(x) (caùc heâï soá cuûa ña thöùc ñöôïc saép xeáp theo luõy thöøa giaûm daàn cuûa bieán ). Ta ñaët caùc heä soá cuûa A(x) theo thöù töï treân vaø caùc coät ôû doøng treân ( taø coät thöù hai ) .
+ ÔÛ doøng thöù hai , coät ñaàu tieân laø moät nghieäm , ba coät tieáp theo laø caùc heä soá töông öùng cuûa ña thöùc thöông , coät cuoái cuøng cho ta soá dö .
+ Keå töø coät thöù ba (doøng thöù hai) , moãi soá ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch : laáy nhaân vôùi soá cuøng doøng lieàn tröôùc , coäng vôùi soá cuøng coät ôû doøng treân .
+
Sô ñoà :
x
Ta coù theå vieát : A(x) = (x – 1) (x2 – 4x + 4) = (x – 1) (x – 2)2
Toång caùc soá heä soá cuûa soá haïng baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa caùc soá haïng baäc leû : 9 +(-5) = 1 + 3 = 4 => -1 laø moät nghieäm cuûa B(X) . Töômg töông töï , ta coù sô ñoà Hooùcne :
1
-5
3
9
-1
1
-6
9
0
Töø sô ñoà , ta coù : B(X) = x3 – 5x2 +3x +9
= (x + 1) (x2 – 6x + 9)
= (x + 1) (x – 3)2
c)Vôùi caùch laøm nhö treân , ta thaáy :
Toång caùc heä soá cuûa ña thöùc : 4 -13 + 9 – 18 = -18 ¹ 0
Toång caùc soá heä soá cuûa soá haïng baäc chaün cuûa ña thöùc C(x) baèng: - 13 – 18
Toång caùc soá heä soá cuûa soá haïng baäc leû cuûa ña thöùc C(x) baèng: 4 + 9
Roõ raøng: -13 – 18 ¹ 4 +9
Vaäy vôùi hai caùch ñoaùn nghieäm thoâng thöôøng nhö treân khoâng khaû thi ñoái vôùi ña thöùc naøy. Ta söû duïng phöông phaùp loaïi tröø nghieäm nhö sau:
Xeùt: C(1) = 4 – 13 + 9 – 18 = -18 ¹ 0
C(-1) = -4 – 13 – 9 – 18 = -44 ¹ 0
Roõ raøng 1 vaø -1 khoâng laø nghieäm cuûa C(x). Ta thaáy:
; ; ; ; ; ; khoâng nguyeân neân -3; 6; -6; 9; -9; 18; -18 khoâng laø nghieäm cuûa C(x).Vaø khoâng nguyeân neân 2 khoâng laø nghieäm cuûa C(x). Chæ coøn -2 vaø 3. Kieåm tra thaáy 3 laø nghieäm cuûa C(x).
Ta coù sô ñoà hooùcne:
4
-13
9
-18
3
4
-1
6
0
Theo sô ñoà Hooùcne ta coù:
C(x) = 4x3 – 13x2 + 9x – 18
= (x – 3) (4x2 – x + 6)
Nhaän xeùt: Ñoái vôùi caùc ña thöùc treân, neáu khoâng söû duïng sô ñoà Hooùcne vaãn phaân tích ñöôïc thaønh nhaân töû baèng caùch söû duïng phöông phaùp taùch nhoùm haïng töû. Chaúng haïn:
A(x) = x3 – 5x2 +8x – 4
= x3 – 4x2 +4x – x2 + 4x – 4
= ( x3 – 4x2 +4x ) – (x2 – 4x + 4)
= x (x2 – 4x + 4 ) – ( x – 2)2
= x( x – 2)2 – ( x – 2)2
= (x – 1) (x – 2)2
Bài tập vận dụng :
1. Tính nhanh :
a) 231,4 .14 - 140.13,14
b) (175 - 174):42
2. CMR : n3 + 3n2 +2n chia hết cho 3 , nÎZ
3. Giải các phương trình :
a. (2x -3)2 = (x + 5)2
b. x4 – 2x3 +10x2 - 20x = 0
c. x2(x-1) – 4x2+8x -4
4. Tính giá trị của biểu thức
A = 2x2 + 2y2-x2z + z - y2z - 2 ,Với x = y =1 ,z = -1
VẤN ĐỀ 3: Căn thức bậc hai
Định nghĩa và các tính chất
1. Nhắc lại một số tính chất của lũy thừa bậc hai :
+ a2 ³ 0 ,"a
+ a2 >b2 Û|a|>|b|: Nếu a,b>0 Thì a2>b2 Û a>b
Nếu a,bb2 Û a<b
+ a2 = b2 Û |a|=|b|Û a =± b
* Một số tính chất của bất đẳng thức :
Với 3 số a,b,c .Ta có :
* Nếu a ³ b Thì : a + c ³ b +c
* Nếu a £ b Thì : a + c £ b +c
* Nếu a ³ b Thì : ac ³ bc (c ³ 0)
* Nếu a ³ b Thì : ac £ bc (c < 0)
* a ³ b và b ³ c thì a ³ c
2. Căn bậc hai của một số :
* Định nhĩa : CBHSH của một số a³0 là số x ³0 sao cho a= x2 ,kí hiệu ;
Ta có :
CLưu ý :
+ a ³ 0: có 2 CBH đối nhau là (gọi là CBH dương của a hay CBHSH) và
-(gọi là CBH âm của a)
+ Số âm không có căn bậc hai.
* Một số tính chất :
+= (hay b³ 0)
+ < Û a < b(a,b³ 0)
+ =b
CLưu ý : +
+ Không được viết:
VÍ DỤ1:
a. Trong các số CBHSH của 9 là ;
b.= =7 ; ;
c.
VÍ DỤ2: Tìm x, biết :
a. x2 = 8
b.
c.
Giải :
a. Ta có: x2 = 8 Û x = = ±
b. Cách 1: Áp dụng tính chất:= ,vì 2 = => Û
Û Û Û x =5
Cách 2: Áp dụng tính chất:= b
Ta có: Û Û Û x =5
c.
VÍ DỤ 3: So sánh
a. 4 và ; b. và 7 ; c.và
Giải:
Cách 1:
a. Ta có : 4 = => 4 >
b. Tương tự : 7= =>7>
Cách 2: áp dụng tính chất a2>b2 Û a>b (a,b>0 )
a. Ta có: 42 =16; => 4 >
b. Tương tự: 72 =49; => 7>
c. Ta có: ()2 = 5
()2 = 2
=> <
Ta lại có :(5)2 = 75
(2)2 = 76
4.Điều kiện tồn tại : có nghĩa Û A ³ 0
Không phải bao giờ cũng có: = A. Tổng quát, ta có :
nếu A ³ 0
nếu A < 0
= =
* Một số tính chất : a,b Î IR
+ ÷ aú ³ a " a
a < 0
-a = b
a ³ 0
a = b
+ ÷ aú = ÷- aú
+ ÷ aú = b Û hay
a = b
a = - b
+÷ aú = ÷bú Û[
+÷ Xú ³ a Û - a³ X ³ a
+÷ Xú £ a Û - a£ X £ a
VÍ DỤ 4: Với giá trị nào của a thì các căn thức sau có nghĩa ?
a. ; b. ; c. ; d. ; e.
Giải:
a. có nghĩa Û hay a ³ 0
b. có nghĩa Û -3a ³ 0 hay a £ 0
c. Vì a2 +1 >0 " a nên có nghĩa với " a
d. có nghĩa Û 3 - a2 ³ 0 Û a2 £3Û -£a£
e. có nghĩa Û >0 Û>0 hay a>1
VÍ DỤ 5 :Tính
a. 2 ,a ³ 0 ; b. ,a <0 ; c. ,a <0
d. ; e. ; f.
Giải :
a. Ta có :2 = 2÷ aú = 2a (a ³ 0 )
b. Ta có = ÷ aú = -a (a <0)
c. Ta có = = 5a2 (a2³ 0 ")
d. = = -(1-) = .Vì 1-<0
e.= =
f. Ta có = 4-2.2+3 =22-2.2+()2 = (2-)2
=>==2-(ví 2->0)
5.Bài tập
1.Tìm các giá trị không âm của x để:
2. So sánh (không dùng máy tính):
a. và 4 ; b. 1- và
3. Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có căn bậc hai?
a.2x2 +3 ; b. 4x2+4x+1 ; c.-4x ; d.
1 với x£ 1
2x-1 với x>1
4. Chứng minh rằng : x +
5. Định x để các biểu thức sau có nghĩa:
a. 3+ ; b. ; c. ; d.
VẤN ĐỀ 2: Thực hiện các phép tính & biến đổi các căn thức bậc hai
1.Các phép tính :
1.1. Nhân ,chia các căn thức bậc hai:
Khai phương một tích 2 căn thức
A³ 0,B³ 0 Ta có :
Nhân 2 căn thức
Khai phương một thương 2 căn thức
Chia 2 căn thức
A³ 0,B> 0 Ta có :
1.2. Ví dụ :
* Cách sử dụng ,
Quy tắc:Muốn khai phương một tích các biểu thức không âm, ta có thể khai phương từng biểu thức, rồi nhân các kết đó với nhau.
Muốn nhân các CBH của các biểu thức không âm, ta có thể nhân các biểu thức trong CBH với nhau, rồi lấy CBH của kết quả đó .
VÍ DỤ 1 : a. ; b. ; c.
d. (a³ 0) ; e. (a>0) ; f. 3
Giải :
a. =
b. =
c. =
d. =
e. =
f. 3 =
* Cách sử dụng
Quy tắc: Muốn khai phương của (A³ 0,B>0 ), ta có thể khai phương lần lượt A và B, sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
Muốn chia CBH của A³ 0 cho CBH của B>0, ta có thể chia A cho B, rồi khai phương kết quả đó (tức là lấy CBH của )
VÍ DỤ 2: Tính
a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. (5
Giải :
a. =
b. =
c. =
d. =
e. =
f. (5=
2.Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai:
2.1. Đưa thừa số ra hoặc vào trong dấu căn.
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
· B³ 0. Ta có :
Đưa thừa số vào trong dấu căn
VÍ DỤ 3:
a.=
b. 2a2 = (b³ 0)
VÍ DỤ 4: So sánh các cặp số
a. 3 và
b. và
Giải:
Bằng cách đưa thừa số ra hoặc vào trong CBH và so sánh biểu thức trong CBH, ta có:
a. =<3 Vậy <3
b.==
= => >
2.2.Khử mẫu của biểu thức lấy căn-Trục căn thức :
· Mẫu thức không phải là bình phương: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức của mẫu để trở thành bình phương, rồi khai phương đưa ra ngoài dấu căn.
* (A³ 0,B¹0)
*
· Mẫu thức có dạng tổng hoặc hiệu các CBH: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu để làm mất CBH ở mẫu.
*
* (A,B>0 ,A¹B)
VÍ DỤ 5: Trục căn thức ở mẫu .
a.
b.
c.
d.
VÍ DỤ 6: Tính giá trị các biểu thức
a.
b. với
Giải:
a.
b. =
= a+b-2=
với =>=
2.3.Bài tập tự giải :
1.Tính :
a. (2+). ; b. ; c. ; d.
e. ; f. ; g.
2. Chứng minh rằng : , với x,y>0 và x¹y
3.Rút gọn và tính giá trị các biểu thức:
a. ; b.,a=b=
3. Thực hiện các phép tính - Rút gọn các biểu thức có chứa căn thức bậc hai
CLưu ý: Ở trên, ta đã nhắc lại một số phép tính và biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai. Các bài tập tự giải ở trên dùng để cho học sinh rèn luyện kĩ năng vận dụng các phép tính và biến đổi. Trong nội dung tiếp theo này chúng ta chỉ đề cập đến một số.
Ví dụ về thực hiện các phép tính - Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
Trước hết hãy nhắc lại một số khái niệm:
3.1 Căn thức bậc hai đồng dạng: Là những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn.
3.2. Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai : Muốn rút gọn các biểu thức chứa các căn thức bậc hai ,trước hết phải thực hiện các phép biến đổi các căn thức(đưa thừa số ra -vào dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu), đưa chúng về dạng các căn thức bậc hai đồng dạng, rồi thực hiện các phép tính.
VÍ DỤ 7: Rút gọn các biểu thức sau .
a. ; b.(; c. (a,b >0)
Giải :
a. =
=(6-3-=
b.(=(
=(=(-2 =-
c.
VÍ DỤ 8: Rút gọn các biểu thức sau
a. A = ,(x>0,x¹ 1)
b. B = ,(x,y³0,x¹ y)
Giải:
Nhận xét: Để rút gọn các biểu thức như trên ta đã sử dụng các phép biến đổi và các phép tính để ước lược các căn thức đồng dạng. Để cho đơn giản, khi thực hiện các phép biến đổi, ta có thể sử dụng phương pháp "hữu tỉ hóa" để đơn giản các căn thức rồi biến đổi(bài tóan lớp 8) .
Chẳng hạn: Có thể rút gọn hai biểu thức trên bằng phương pháp "hữu tỉ hóa" như sau:
Đặt a= ; b= Ta có:
Như vậy, có thể thấy rằng: Việc "hữu tỉ hóa" sẽ giúp cho việc biến đổi các biểu thức trở nên đơn giản hơn rất nhiều (các biểu thức trở thành biểu thức hữu tỉ). Khi đó, việc rút gọn các biểu thức cũng trở nên không còn khó khăn nữa.
CLưu ý: Câu b còn thể được phát biểu dưới dạng khác như sau: Chứng minh giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.
VẤN ĐỀ 3: Một số dạng tóan cơ bản
Nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng rút gọn các biểu thức, trước hết hãy cho học sinh rèn luyện thành thạo kĩ năng tính tóan, khai triển, phân tích các biểu thức thành tích qua các bài tóan dưới đây (BT 1,2,3).
3.1. Nhắc lại một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (chỉ ví dụ đối với các biểu thức chứa CBH):
CLưu ý: Việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng phân tích các biểu thức thành tích là một trong những vấn đề rất cần thiết. Bởi lẽ, nếu học sinh không thành thạo công vệc này thì sẽ rất khó khăn trong việc thực hiện các phép bến đổi - rút gọn các biểu thức.
- Đặt nhân tử chun: Sử dụnh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Ví dụ :
-Dùng hằng đẳng thức: Sử dụng định nghĩa CBH và các hằng đẳng thức quen thuộc.
Ví dụ :
a. =
- Nhóm các số hạng: Sử dụng các tính chất của phép cộng đại số.
Ví dụ :
b. = b(=b
=
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Ví dụ :
x -5 + 6 = ()2 -2-3+6 = (-2) -3(-2) =(-2) (-3)
C Lưu ý : Nếu đặt =a , ta có : x -5 + 6 = a2 - 5a + 6
* Đôi khi có nhiều biểu thức đòi hỏi phải phối hợp các phương pháp cùng lúc.
BÀI TÓAN 1: Tính và rút gọn các biểu thức
Dạng 1(Tự giải)
a.
b.
c.
Dạng 2:Tính.
a. ; b. ; c.
Giải :
c. =
=
=2+- =2=6
d. =
e. Áp dụng cách giải Ví dụ 4.1:
=
BÀI TÓAN 2: Rút gọn các biểu thức
*Dạng tổng : Rút gọn biểu thức
A=
Giải :
ĐK : x >1
C Lưu ý : Học sinh có thể thực hiện việc quy đồng cả 3 phân thức mà không để ý đến phân thức , như thế sẽ gặp khó khăn khi thực hiện công việc rút gọn biểu thức đã cho .
*Dạng tích hoặc thương: Rút gọn biểu thức
B=
Giải :
*Dạng phối hợp: Rút gọn biểu thức
C=
CCần lưu ý học sinh đến thứ tự thực hiện các phép biến đổi.
BÀI TÓAN 3: Chứng minh đẳng thức (còn gọi là đồng nhất thức)
a.M =
b.N =
Giải :
a.Có thể "hữu tỉ hóa": Đặt
M =
b. ĐK: -1< a< 1
VT =
BÀI TÓAN 4. Bài tóan có nội dung liên quan đến biểu thức rút gọn.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức với giá trị cho trước của biến.
Ví dụ: Xem ví dụ 6b
Áp dụng :
Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đó
Ví dụ 1:
Giải:
ĐK : x³ 0 , x ¹ 9 (*)
-4
-2
-1
1
2
4
-1
1
2
4
5
7
x
/
1
4
16
25
49
Ta thấy: Các giá trị x tìm được ở trên đều thỏa mãn ĐK (*). Vậy: x Î { 1;4;16;25;49}
CLưu ý: Khi x nguyên thì hoặc nguyên (x chính phương), hoặc vô tỉ (x không chính phương). Nếu là số vô tỉ thì -3 là số vô tỉ. Khi đó không nguyên .Vậy cũng phải nguyên .
Ví dụ 2:
Giải: ĐK: x³ 0, x ¹ 9 (**)
C Chú ý: Phân thức có giá trị dương khi và chỉ khi tử và mẫu của nó cùng dấu !
x>9 [theo (**)]
Ví dụ 3:
Giải: x³ 0, x ¹ 9 (***)
CChú ý: Muốn chứng minh A< m (mÎIR), ta xét hiệu A - m
+ Nếu A - m A<m. (điều ngược laị tương tự)
Theo (***): 0 £
AD:
Dạng 3: Chứng minh một tính chất nào đó của biểu thức :
Ví dụ :
Giải : => Cần chứng minh > 0
Thật vậy, ta có :
=> P
Dạng 4: Giải phương trình
Ví dụ: Xem bài tóan 6, hoặc ví dụ trong vấn đề 1
AD:
BÀI TÓAN 5: TÓAN TỔNG HỢP
GiảI các bài tóan sau:
ĐS: 0£ a ¹ 1
ĐS: 0£ x ¹ 1
ĐS: 0£ x ¹ 1
ĐS:0£ x ¹ 9
Bài tập :
BÀI TÓAN 6: Giải phương trình vô tỉ .
*Chú ý : Có nhiều dạng phương trình vô tỉ và các phương pháp giải các phương trình vô tỉ đó. Tuy nhiên, chỉ xin đưa ra 3 dạng phương trình phổ biến hay gặp trong chương trình để tham khảo.
Dạng 1: (1)
* Đây là dạng phương trình vô tỉ đơn giản nhất (các bài tập trong SGK chủ yếu là các phương trình dạng này .Tuy nhiên,biểu thức g(x) thường là biểu thức số)
Sơ đồ giải :
g(x)³0
f(x) =[g(x)]2
VÍ DỤ 1(BÀI 60/33 SGK TÓAN 9 TẬP 1): Giải phương trình
(1)
Giải :
Û
Û =16 hay Û x+1 =16 Û x = 15 (tmđk)
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm: x = 15
VÍ DỤ 2: Giải phương trình
(2)
Có thể giải phương trình theo sơ đồ hoặc các cách như sau:
CÁCH 1: Theo sơ đồ trên ,ta có :
Û
Û
Giải phương trình 2x2 -3x -2 = 0 ,được x1= 2(tmđk) ,x2= (loại)
Vậy S =
CÁCH 2:
(2)
Û
Û
Û
Vậy S =
CÁCH 3:
Û
Û
Û Vậy S =
CÁCH 4:
( 2)
Û
Giải ra ta có: x1= 2, x2 =
Kết luận: S =
Dạng 2:
Sơ đồ giải :
VÍ DỤ : Giải phương trình
Giải :
Dạng 3: (hoặc ) (3)
f(x)³0
g(x)³0
h(x)³0
Sơ đồ giải :
ĐK1: (*) Bình phương hai vế của (3) ,ta được:
ĐK2: [h(x)]2 -³0 . Bình phương hai vế của (3'), ta được phương trình dạng 1.
VÍ DỤ 1 :
Giải :
Cách 1:Û(3)
x³-1
x³4 Û x³4
x+1³0
x-4³0
ĐK1: Û
Bình phương hai vế (3) ,ta được : x +1+x - 4+2
Û2=12-2x hay:=6 - x (3')
Đk2: x£ 6 =>(3') Û = x2-12x+36 Û 9x = 40 Û x =
Kết hợp Đk1 và ĐK2, ta có: 4£ x£ 6 =>x =(tmđk)
Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm: x =
Cách 2: Với x³4 , ta có . Nhân hai vế của (3) với (biểu thức liên hợp của
Ta được :
Từ (3) và (3'), ta có hệ:
Cộng hai vế hai phương trình của hệ, được: (*)
Bình phương hai vế (*), ta được: x +1=
VÍ DỤ 2: Giải phương trình (4)
12-x³0
x-7³0
x+1
(4) Û
7£ x£ 12 (*)
ĐK: Û
Bình phương hai vế (4), ta được: x+1 =12-x+x-7+2
Û 2 (4') .Với (*) Bình phương hai vế (4'), ta được :
4()=x2 -8x +16
Û
Giải ra được: x1= 8,x2 = Thỏa mãn (*)
Vậy: S =
VẤN ĐỀ 3: Khai thác kết quả một bài tóan
Ví dụ 4.1
(trích SKKN năm học 2005-2006)
Trong ví dụ 4.1f. Ta có: = 4-2.2+3 =22-2.2+()2 = (2-)2
=>==2-(vì 2->0)
Nhận xét: Baøi toaùn laø ruùt goïn caùc bieåu thöùc chöùa CBH, nhưng bieåu thức döôùi daáu khoâng phaûi laø một bình phöông. Nhö vaäy ñeå ruùt goïn ( ñöa 7- 4 ra ngoaøi daáu ) ta phaûi bieán ñoåi 7- 4 thaønh bình phöông cuûa moät hieäu ñể aùp duïng HÑT = ÷ A ÷
Khai thaùc baøi toaùn : Haõy aùp duïng caùch giaû treân vaø xeùt tieáp caùc baøi taäp sau :
BAØI TOAÙN 1.1 : Ruùt goïn caùc bieåu thöùc (Baøi 100 SBT 9 / T 19 )
A = +
B = +
Phaân tích baøi toaùn: Baøi toaùn vaãn laø ruùt goïn bieåu thöùc chöùa CBH. Tuy nhieân, moãi bieåu thöùc luùc naøy laïi coù phaàn phöùc taïp hôn, nhöng moãi bieåu thöùc thaønh phaàn trong hai bieåu thöùc ñaõ cho vaãn coù daïng nhö caùc bieåu thöùc ñaõ xeù ôû treân. Nhö vaäy, việc ruùt goïn A, B seõ khoâng khoù khaên .
Caùch giaûi :
a) A = + = 2- +
A = 2- + - 1
A = 1
Ta coù :
15 - 6 = 32 - 2.3 + ( )2 = (3 - )2
33 - 12 = 32 - 2.3 .2 + (2 )2 = (3 - 2 )2
=> B = +
B = ÷ 3 - ÷ + ÷ 3 - 2÷
B =
BAØI TOAÙN 1.2 : Chöùng minh
Baøi 15/ 5- SBT 9/ TI : b) - = - 2
d) - = 4
b) Ta coù : = =
=> -= - = ÷ - 2÷ - = - 2 -
= -2 ( ñpcm )
d) Ta coù : = = = ÷ 4 + ÷
=> - = ÷ 4 + ÷ - = 4 + - = 4 ( ñpcm )
Nhaän xeùt: Trong chöông trình toaùn 9 coù raát nhieàu baøi taäp daïng treân vaø caùch giaûi töông töï, chaún haï : Baøi taäp 21/ T6; Baøi 64/ T12; Baøi 98/ T18 -SBT 9 Vôùi caùch giaûi nhö treân ta coù theå töï ñaët ra caùc baøi toaùn töông töï ñeå cho caùc em hoïc sinh luyeän taäp
Khai thaùc tieáp baøi toaùn VD4.1: ÔÛ treân, baøi toaùn yeâu caàu ruùt goïn bieåu thöùc
ta haõy thay ñoåi moät chuùt, chaúng haïn: Ruùt goïn bieâûu thöùc
M =
Neáu aùp duïng caùch giaûi ôû treân, töùc laø phaûi bieán ñoåi BT thaønh bình phöông cuûa moät hieäu. Nhö theâù seõ gaëp khoù khaên, nhöng ñeå yù ta coù: =
= => M = = =
M = 1-
Giờ ta haõy xeùt baøi toaùn ôû moät möùc ñoä khaùc sau ñaây:
BAØI TOAÙN 1.3 : Ruùt goïn bieåu thöùc
P = - (Thi vaøo lôùp 10 Chuyeân Nguyeãn Du naêm 2000 – 2001 )
Phaân tích baøi toaùn: Baøi toaùn yeâu caàu ruùt goïn bieåu thöùc P gaàn gioáng vôùi hai bieåu thöùc A vaø B ñaõ xeùt ôû baøi toaùn 1.1 .Tuy nhieân, möùc ñoä coù phaàn phöùc taïp hôn. Vì moãi bieåu thöùc döôùi daáu laïi laø moät phaân thöùc vaø do ñoù, ta cuõng seõ phaûi bieán ñoåi caùc bieåu thöùc ñoù veà daïng luyõ thöøa baäc hai .
Caùch giaûi :
Ta coù : + 3 - 2 = (–1)2
+ 3 + 2= (+1)2
+ 17 - 12 = ( 3 - 2)2
+ 17 +12 = ( 3 + 2)2
=> P = - = -
= ÷ ÷ - ÷ ÷ = -
Truïc caên thöùc ta ñöôïc : P = 2
Khai thaùc baøi toaùn: Vôí vieäc aùp duïng caùch giaûi caùc baøi toaùn ôû treân, ta ñaõ tính ñöôïc giaù trò cuûa bieåu thöùc P khoâng maáy khoù khaên. Vaán ñeàø laø: Neáu maãu cuûa caùc bieåu thöùc khoâng theâû bieán ñoåiâ veà luyõ thöøa baäc hai thì sao ? Haõy xeùt tieáp baøi toaùn sau .
BAØI TOAÙN 1.4 : ( BT 72 / T14 – SBT 9/T1 ) Tính giaù trò bieåu thöùc
Q = + +
Phaân tích baøi toaùn: Baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa bieåu thöùc laø toång cuûa ba phaân thöùc, moãi phaân thöùc trong toång coù töû laø 1 vaø maãu laø toång cuûa hai CBH vaø caùc soá döôùi caên hôn keùm nhau moät ñôn vò. Bieåu thöùc cuõng laø moät daïng toaùn khaù quen thuoäc .
Caùch giaûi :
Truïc caên thöùc Töøng bieåu thöùc trong toång, ta coù :
Q = + + = (– ) + (– )+ (– )
Q = – = 2 – 1 = 1
( Aùp duïng coâng thöùc toång quaùt – = . BT 71 / T14 – SBT 9/T1 )
Khai thaùc baøi toaùn: Xeùt baøi toaùn toång quaùt hôn
BAØI TOAÙN 1.5 : Tính nhanh toång sau
R = + + + +
Caùch giaûi : R = + + + +
= (– ) + (– )+ (– ) + + –
R = – 1
Khai thaùc baøi toaùn: Ta laïi thay ñoåi moät chuùt döõ kieän cuûa baøi toaùn vaø xeùt thöû xem, chaúng haïn: Thay + bôûi + ; + bôûi + ; Hoaëc + bôûi + ; + bôûi + ; Khi ñoù ta seõ coù toång caùc phaân thöùc coù töû laø 1 vaø maãu cuûa moãi phaân thöùc trong toång laø toång cuûa hai caên thöùc maø caùc bieåu thöùc döôùi caên hôn keùm nhau hai ñôn vò ( hai soá chaün hoaëc hai soá leû lieàn nhFile đính kèm:
Sang kien kinh nghiem Mot so chu de tu chon Toan 9.doc
