Một số dạng bài tập thường gặp về số chính phương

 Tụn Nữ Bớch Võn
Số chớnh phương là bỡnh phương của một số nguyờn
Số chớnh phương chỉ cú thể tận cựng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9, khụng thể tận cựng bằng 2, 3, 7, 8
Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số chớnh phương chỉ chứa cỏc thừa số nguyờn tố với số mũ chẵn, khụng chứa cỏc thừa số nguyờn tố với số mũ lẻ.
Số ước số của một số chớnh phương là số lẻ. Đảo lại, một số cú số ước số lẻ thỡ số đú là số chớnh phương
Với kiến thức lớp 6, ta chứng minh được một số tớnh chất sau:
Thật vậy:
Tớnh chất 2: Giả sử N = k2 và k = ax by cz...(a, b, c... là số nguyờn tố) thỡ
 N = (ax by cz...)2 = a2x b2y c2z...
Suy ra: 
Số chớnh phương a M 2 ị a M 4
Số chớnh phương a M 3 ị a M 9
Số chớnh phương a M 5 ị a M 25 ; ...
Tớnh chất 3: N = axbycz... thỡ số ước số của nú bằng (x+1)(y+1)(z+1)...
- Nếu N là số chớnh phương thỡ x, y, z... chẵn nờn x+1, y+1, z+1... lẻ, do đú số ước số của N là số lẻ.
- Nếu số ước số của N là số lẻ thỡ (x+1) (y+1) (z+1)... lẻ nờn cỏc thừa số x+1, y+1, z+1... đều lẻ, suy ra x, y, z,... chẵn. 
 Đặt x = 2m, y = 2n, z = 2p (m, n, p ẻ N) thỡ N = a2mb2nc2p = (am bn cp)2 nờn N là số chớnh phương.
Bài tập 1: Cho 4 chữ số 0, 2, 3, 4. Tỡm số chớnh phương cú 4 chữ số gồm cả 
4 chữ số trờn
Giải:
 Gọi số chớnh phương cần tỡm là n2
Số chớnh phương khụng tận cựng bằng 2, bằng 3.
Nếu số chớnh phương tận cựng bằng 0 thỡ phải tận cựng bằng một số chẵn chữ số 0.
Do đú : n2 lập bởi 4 chữ số 0, 2, 3, 4 phải tận cựng bằng 4, suy ra: n2 
Số chớnh phương chia hết cho 2 thỡ phải chia hết cho 4, do đú n2 tận cựng bằng 04 hoặc 24.
Xột cỏc số 2304; 3204; 3024 ta cú : 2304 = 482
Vậy: Số phải tỡm là 2304.
Bài tập 2: Tỡm số tự nhiờn cú 2 chữ số biết rằng khi nhõn nú với 135 ta được
 một số chớnh phương
Giải:
Gọi số phải tỡm là A, ta cú 135A = a2 (a ẻ N) hay 33.5.A = a2. Số chớnh phương chỉ chứa cỏc thừa số nguyờn tố với số mũ chẵn nờn A = 3 . 5 . k2 (k ẻ N)
Với k = 1 thỡ A = 15
k = 2 thỡ A = 60
k ³ 3 thỡ A ³ 135, cú nhiều hơn 2 chữ số nờn loại.
Vậy: Số phải tỡm là 15 hoặc 60
Bài tập 3: Cỏc số sau cú chớnh phương khụng ?
a) A = 3 + 32 + 33 + ... + 32008
b) M = 112001 + 112002 + 112003 + 112004 + 112005 + 112006 + 112007
Giải:
a) Ta biết rằng số chớnh phương chia hết cho 3 thỡ phải chia hết cho 9.
A chia hết cho 3 nhưng chia cho 9 dư 3
(vỡ A = 3 + 32 (1 + 3+ 32 + ... + 32006) )
Do đú A khụng là số chớnh phương.
b) Ta coù cú tận cựng là 1 nờn mỗi số hạng của tổng đều tận cựng bằng 1
Do đúù M = + + + + + + cú tận cựng bằng 7 nờn khụng là số chớnh phương.
Bài tập 4: Tỡm số nguyờn tố (a > b > 0) sao cho - là số chớnh phương
Giải:
 - = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9 (a - b) = 32 (a - b)
Do - là số chớnh phương nờn a-b là số chớnh phương.
Mặt khỏc 1 Ê a - b Ê 8 nờn a - b ẻ {1; 4}
- Với a - b = 1 thỡ ẻ {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}
Loại cỏc hợp số 21 M 3, 32 M 2; 54 M 2; 65 M 5; 76 M 2; 87 M 3; 98 M 2 cũn 43 là số nguyờn tố.
- Với a - b = 4 thỡ ẻ {51; 62; 73; 84; 95}
Loại cỏc hợp số 51 M 3; 62 M 2; 84 M 2; 95 M 5, cũn 73 là số nguyờn tố.
Vậy = 43 hoặc 73. Khi đú - = 43 - 34 = 9 = 32
 hoặc - = 73 - 37 = 36 = 62
Bài tập 5: Tỡm tất cả cỏc số cú 4 chữ số sao cho mỗi số vừa là số chớnh phương vừa là một lập phương. 
Giải:
Gọi số chớnh phương phải tỡm là 
(a, b, c, d ẻ N, 0 Ê b, c, d Ê 9, 0 < a Ê 9)
Ta cú: = x2 = y3 	 (1)
Với x, y ẻN và 31< x < 100; 10Ê y Ê 21 (2)
Từ (1) ta suy ra y cũng là một số chớnh phương và từ (2) ta suy ra y = 16
Do đú : = 163 = 4096 = 642
Vậy số phải tỡm là 4096
Xin mời thử sức với cỏc bài toỏn sau:
1. Tỡm số chớnh phương cú 4 chữ số gồm cả 4 chữ số 2, 0, 3, 5
2. Cỏc tổng sau cú là số chớnh phương khụng ?
a) 1010 + 8
c) 1010 + 5
3. Chứng tỏ cỏc số sau khụng là số chớnh phương
a) 
b) 
c) 
4. Tỡm số nguyờn tố sao cho + là số chớnh phương.
5. Viết dóy số tự nhiờn từ 1 đến 101 làm thành số A
a) A cú là hợp số khụng?
b) A cú là số chớnh phương khụng?
c) A cú thể cú 35 ước số khụng?
Cũn nhiều bài tập về số chớnh phương rất thỳ vị dành cho học sinh lớp 7; 8; 9.
Hẹn gặp ở kỳ sau. Chỳc cỏc em học tốt!