Một số đề luyện thi đại học môn Toán

TRƯỜNG THPT HÀ VĂN MAO
ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2008
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
Tìm sao cho điểm nằm trên đồ thị (C). Chứng minh rằng, tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua điểm M.
Câu 2. (2 điểm)
Giải phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu 3. (3 điểm)
Cho hai điểm A(1; 2), M(– 1; 1) và hai đường thẳng: 
(d1): x – y + 1 = 0 và ( d2): 2x + y – 3 = 0.
Tìm điểm B thuộc đường thẳng d1, điểm C thuộc đường thẳng d2 sao cho DABC vuông tại A và M là trung điểm của BC.
Cho hai đường thẳng: và 
Chứng minh rằng là hai đường thẳng chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng D cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2x + y – 2z + 9 = 0.
Câu 4. (2 điểm)
Tính tích phân .
Chứng minh rằng: (n là số nguyên dương, là tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu 5. (1 điểm) Cho x, y z là các số dương và . Chứng minh rằng:
.
*********Hết*********
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1
Học sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Điểm nằm trên đồ thị (C) nên:
Do nên 
Khi đó, điểm M có tọa độ: 
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là:
 hay (d)
Tiếp tuyến (d) cắt tiệm cận đứng x = 1 tại: A(1; 12)
Tiếp tuyến (d) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm (x; y) hệ phương trình:
Ta thấy:
Suy ra, A, B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm)
Câu 2
Điều kiện: sinx ≠ 0.
Phương trình đã cho:
Điều kiện: .
Với điều kiên đó, phương trình đã cho tương đương với:
 là nghiệm của phương trình.
Câu 3
B thuộc đường thẳng d1 nên B(b; b+1); C thuộc đường thẳng d2 nên C(c; - 2c + 3).
Do vậy: và 
DABC vuông tại A khi 
*Với b = 1 thì B(1; 2) º A(1; 2) (loại)
*Với c = 0 thì C(0; 3), M là trung điểm BC nên:
Vậy, hai điểm cần tìm là: B(- 2; - 1), C(0; 3).
D1 đi qua điểm M1(2; - 2; 0) và có véc tơ chỉ phương 
D2 đi qua điểm M2(- 5; - 5; 0) và có véc tơ chỉ phương 
Ta có: 
Vậy: là hai đường thẳng chéo nhau.
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến 
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa D1 và vuông góc với mặt phẳng (P), (R) là mặt phẳng chứa D2 và vuông góc với mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (Q) khi đó đi qua M1 và có véc tơ pháp tuyến là , phương trình mặt phẳng (Q) là:
Mặt phẳng (R) khi đó đi qua M2 và có véc tơ pháp tuyến là , phương trình mặt phẳng (R) là:
Do là hai đường thẳng chéo nhau nên hai mặt phẳng (Q) và (R) không song song hoặc trùng nhau, hay mp(Q) và mp(R) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng D, và rõ ràng đường thẳng D cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (P). Phương trình đường thẳng D cần lập là: 
Câu 4.
Ta có 
*
*
* Xét: 
Đặt 
Khi x = 0 thì t = 0
Khi x = 3 thì 
Do đó: 
Vậy: 
Ta có, theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:
Đạo hàm theo biến x hai vế ta được:
Thay x = 1, ta lại có: 
 (điều phải chứng minh)
Câu 5
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, dễ dàng chứng minh được:
Vậy:
Đặt t = x + y + z, xét hàm số: với 
Có 
Do đó, khi thì 
Hay: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
------------Hết-----------