Một số đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8

Một số đề thi học sinh giỏi lớp 8
Đề 1:
Câu 1: a) Tìm x, y thoả mãn 2x2 + 2xy + y2 + 9 = 6x – | y+3 | 
Giải phương trình x2 - + 2x = 25 
Câu 2: Tìm các số tự nhiên m, n sao cho m+ n = m.n
Câu 3: Tính tổng: S = + + +  + 
Câu 4: Các số thực x, y thoả mãn đẳng thức 5x2 + 20 y2 = 25xy. Tính P4, với P=
Câu 5: Cho 3 điểm A, M, B thẳng hàng theo thứ tự ấy, độ dài AB = 2. Vẽ về một phía của AB hai hình vuông AMCD và MBEF.
Lấy điểm H thuộc cạnh CD của hình vuông AMCD, tia phân giác của góc AMH cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CH = MH
Đặt AM = x. Tính tổng diện tích hai hình vuông AMCD và MBEF theo x. Tìm vị trí điểm M để tổng diện tích đó nhỏ nhất.
Gọi P, Q là tâm của hai hình vuông AMCD và MBEF, gọi I là trung điểm của PQ. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển như thế nào?
Đề 2:
Câu 1: Giải phương trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 2x + 3 = 0
Câu 2: Tìm đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c nếu biết:
 a) f(-1) = 0 , f(0) = 1 , f(1) = 4
 b) f(x) chia hết cho (x – 2)2 và f(1) = 4
Câu 3: Tính tổng : S = + + +  + 
Câu 4: Tìm các số nguyên m, n thoả mãn m = 
Câu 5: Cho hình vuông ABCD.
Lấy điểm E thuộc cạnh AD và điểm F thuộc cạnh DC sao cho AE=DF. Chứng minh rằng BE = AF và BE AF
Gọi G là trung điểm AD, H là trung điểm DC, I là giao điêm của BG và AH. Chứng minh rằng BC = IC
Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm K, L, M, N sao cho AK = BL = CM = DN. Tứ giác KLMN là hình gì? Vì sao?
Đề 3:
Câu 1: a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a lớn hơn 1, số 4a4 + 1 không thể là số nguyên tố.
Rút gọn biểu thức: 
 + + 
Câu 2: Cho trước số m thoả mãn m2 1. Giải phương trình ẩn x sau:
 + = – 
Câu 3: Xét các số a, b, c thoả mãn các điều kiện: 
 abc = 1 , a + b + c = + + 
 Tính giá trị biểu thức : M = ( a29 – 1)(b3 – 1)( c2008 – 1)
Câu 4: Cho hình vuông ABCD cố định. Một điểm M di động trên cạnh BC (M khác B và C). Tia AM cắt tia DC tại N. Tia DM cắt tia AB tại I. Các đường thẳng BN và CI cắt nhau tại K.
Chứng minh rằng biểu thức : – có giá trị không đổi
Tính góc BKC
Đề 4:
Câu 1: 
Với x 0 , hãy rút gọn biểu thức P(x) = 
Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n 
Câu 2: Cho 4 số x, y, z, t thoả mãn điều kiện xyzt = 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z, t :
 + + + 
Câu 3: Xác định các hệ số a, b, c để đa thức x3 + ax2 + bx + c được phân tích thành ( x + a )( x + b )( x + c ).
Câu 4: Cho tam giác đều ABC có AB = a. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Một góc xOy = 60 0 quay quanh đỉnh có các cạnh Ox, Oy lần lượt cắt các cạnh AB và AC của tam giác ở M và N.
Chứng minh 4BM.CN = a2
Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng MN luôn không đổi khi góc xOy quay quanh O nhưng hai tia Ox và Oy vẫn cắt các cạnh AB và AC của tam giác.