Một số đề thi Toán vào lớp 10 - Chuyên Lê Hồng Phong tỉnh Nam Định

một số đề thi vào lớp 10 - chuyên lê hồng phong 
tỉnh nam định
 Chuyên Lê Hồng Phong năm 2002-2003
Câu 1 (2,5đ)
(1đ) Cho a,b>0 thoả mãn a2- b>0. Chứng minh: 
b) (1,5đ)Không sử dụng máy tính và bảng số. Chứng minh rằng: 
Câu 2 (1,5đ)
Giả sử x,y là các số dương thoả mãn x+y=
Tìm giá trị của x, y để biểu thức P = (x4+1)(y4+1) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Câu 3 (1,5đ)
Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (2,5đ)
Cho nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R)với BC=a; AC=b; AB=c. Lấy điểm I bất kỳ ở phía trong của ABC. Gọi x,y,z lần lượt là khoảng cách từ điểm I đến các cạnh BC; AC và AB của . Chứng minh rằng:
Câu 5 (2đ)
Cho tập hợp P gồm 10 điểm trong đó có 1 số cặp điểm được nối với nhau bằng đoạn thẳng. Số các đoạn thẳng có trong tập P nối từ điểm A đến các điểm khác gọi là bậc của điểm A. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được 2 điểm trong tập hợp P có cùng bậc.
Chuyên Lê Hồng Phong năm 1999-2000
Bài 1(1,5đ)
Với x,y,z thoả mãn 
Tính giá trị biểu thức:
 A= 
Bài 2 (2đ)
Tìm m để phương trình vô nghiệm
Bài 3 (1,5đ)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Bài 4 (2đ)
Trong các nghiệm của phương trình
(x2- y2+2)2 + 4x2y2 +6x2- y2 = 0
Hãy tìm tất cả các nghiệm (x;y) sao cho t=x2+y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5 (3đ)
Trên mỗi nửa đường tròn đường kính AB của đường tròn (O) lấy 1 điểm tương ứng C và D thoả mãn:
AC2+BD2 = AD2+BC2
Gọi K là trung điểm của BC. Hãy xác định vị trí các điểm C và D trên đường tròn (O) để đường thẳng DK đi qua trung điểm của AB.
Chuyên Lê Hồng Phong năm 1998-1999
Bài 1(2đ)
Cho hệ phương trình 
a. Chứng minh rằng:hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
b. Gọi (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình. Chứng minh với mọi giá trị của m luôn có: (x0)2+ (y0)2 = 1
Bài 2 (2,5đ)
Gọi u và v là các nghiệm của phương trình x2+px+1 =0
Gọi r và s là các nghiệm của phương trình x2+qx+1=0
p và q là các số nguyên
a. Chứng minh: A= (u-r)(v-r)(u+s)(v+s) là số nguyên
b.Tìm điều kiện của p và q để A chia hết cho 3
Bài 3(2đ)
Cho phương trình (ẩn x)
(x2+bx+c)2 + b(x2+bx+c) +c = 0 (*)
Nếu phương trình (*) vô nghiệm. Chứng minh rằng: c là số dương.
Bài 4(1,5đ)
Cho hình vuông ABCD với O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Một đường thẳng (d) thay đổi luôn đi qua điểm O, cắt các cạnh AD và BC tương ứng ở M và N. Qua M và N vẽ các đường thẳng Mx và Ny tương ứng song song với BD và AC. Các đường thẳng Mx và Ny cắt nhau tại I.
Chứng minh: đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng (d) luông đi qua 1 điểm cố định.
Bài 5(2đ)
Cho nhọn ABC có trực tâm là H. Phía trong ABC lấy điểm M bất kỳ. CMR:
MA.BC+ MB.AC+MC.AB HA.BC+HB.AC+HC.AB
Chuyên Lê Hồng Phong năm 2005-2006
Bài 1(1,5đ)
Biết a,b,c là các số thực thoả mãn a+b+c = 0 và abc0
a. Chứng minh: a2+b2-c2 = -2ab
b. Tính P = 
Câu 2 (1,5đ)
Tìm các số nguyên dương x;y;z sao cho 
13x+ 23y + 33z = 36
Câu 3(2đ)
a. CM: với thoả mãn:
b. Giải phương trình
Câu 4 (4đ)
Cho đều ABC. D và E là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC. Đường phân giác của cắt AE tại I và đường phân giác của cắt AD tại K. Gọi S; S1; S2; S3 lần lượt là diện tích của các ABC; DEI;DEK và DEA. GọiH là chân đường vuông góc kẻ từ Iđến DE. Chứng minh:
a) 
b) 
c) S1 + S2 S
Câu 5 (1đ)
Cho các số a,b,c thoả mãn:
; ; và a+b+c =3
Chứng minh:
Chuyên Lê Hồng Phong năm 2000-2001
Bài 1(1đ)
Giải phương trình: 
Bài 2 (1,5đ)
Tìm tất cả các giá trị của x không thoả mãn đẳng thức :
dù m lấy bất cứ giá trị nào?
Bài 3 (2,5đ)
Cho hệ phương trình
a) Tìm m để hệ có nghiệm (x0;y0)sao cho x0 đạt giá trị lớn nhất, tìm nghiệm ấy?
b) Giải hệ phương trình khi m=0
Bài 4 (3đ)
Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi P là điểm chính giữa của ; M là điểm chuyển động trên . Trên đoạn AM lấy điểm N sao cho AN=BM
a) CM: không đổi khi di chuyển trên . Tìm giá trị không đổi ấy?
b) Tìm tập hợp các điểm N khi M di chuyển trên .
Bài 5(1,5đ)
CMR: Với mỗi số nguyên dương n bao giờ cũng tồn tại hai số nguyên dương a và b thoả mãn: