Một số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nam Định có đáp án

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
trường THPT chuyên Lê hồng phong
năn học 1999 – 2000
Môn toán (Đề chung)
Bài 1(2điểm)
Cho biểu thức: N = 
với a,b là 2 số dương khác nhau
 1)Rút gọn biểu thức N
 2)Tính giá trị của biểu thức N khi : a = và b = 
Bài 2(2,5 điểm)
Cho phương trình ẩn x: x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0
 1)Giải phương trình với m = 
 2)Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Bài 3 (1,5 điểm)
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) và parapol (p) có phương trình là 
 y = - 
1)Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng k và đi qua điểm A(2; - 3)
2)Chứng minh rằng bất cứ đường thẳng nào đi qua điểm A(2;-3) không song song với trục tung bao giờ cũng cắt parabol y = - tại 2 điểm phân biệt
Bài 4(4 điểm)
 Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn tại 2 điểm A, B .Từ điểm M nằm trên đường thẳng (d) và ở ngoài đường tròn (O,R) kể hai tiếp tuyến MP và MQ đến đường tròn , trong đó P và Q là các tiếp điểm.
 1)Gọi I là giao điểm của đường thẳng MO với đường tròn(O,R).Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ
 2)Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) để tứ giác MPOQ là hình vuông.
 3)Chứng minh rằng điểm M di chuyển trên đường thẳng (d) thì đường tròn nội tiếp tam giác MPQ chạy trên một đường thẳng cố định.
Đáp án 
Bài 1:
Câu 1: : N = = 
=
Câu 2: Ta có a = = 
v à b = = 
=> N = 
B ài 2:
C âu1: khi m = ,phương trình : x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0 trở thành:
x4 - 2x = 0 x2 (x2 - 2) = 0 
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là :
 x1 = 0 , x2 = x3 = - 
Câu 2: Đặt t = x2 , điều kiện t 0 .Phương trình đã cho trở thành:
t2 – 2mt + m2 – 3 = 0 (1)
Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
*)Phương trình (1) nhận t = 0 là nghiệm m2 – 3 = 0 m = 
+)Khi m = , phương trình (1) trở thành: t2 - t = 0 
 (thoả mãn)
v ậy m = ,là giá trị cần tìm
+)Khi m = - , phương trình (1) trở thành : t2 + 2t = 0
 (không thích hợp)
Vậy m = - không thoả mãn loaị 
Tãm l¹i ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm ph©n biÖt m = 
Bµi 3
C©u 1: Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k lµ:
y = k(x-2) – 3
C©u 2: Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ kh«ng song song víi trôc tung cã d¹ng:
y = k(x-2) – 3 ( k lµ 1 sè bÊt kú)
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña parabol (p) vµ ®­êng th¼ng (d) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:
-x2 = k(x-2) – 3 x2 + 2kx – 4k – 6 = 0 (*)
§­êng th¼ng (d) vµ parabol(p) c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt
 ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi k 
 > 0 víi mäi k
 k2 + 4k + 6 > 0 víi mäi k 
ThËt vËy = k2 + 4k + 6 = (k2 + 4k + 4) + 2 = (k + 2)2 + 2 > 0 víi mäi k 
®iÒu ph¶i chøng minh.
Bµi 4:
C©u 1:
+)V× MP vµ MQ lµ c¸c tiÕp tuyÕn cïng xuÊt ph¸t tõ ®iÓm M => tia MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc PMQ (1) 
+) Còng v× MP vµ MQ lµ c¸c tiÕp tuyÕn cïng xuÊt ph¸t tõ ®iÓm M 
gãc PMO = QMO => cung PI = cung IQ
Ta cã gãc MIP lµ gãc t¹o bëi mét d©y cung vµ tiÕp tuyÕn => S® gãc MPI = S® cung PI
L¹i cã S® gãc IPQ = S® cung QI => gãc MPI = gãc IPQ => PI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MPQ (2) 
Tõ (1) vµ (2) => I là giao điểm của hai đường phân giác tại đỉnh M và đỉnh P của tam giác MPQ => I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ (đpcm)
Câu2: a) Phân tích:
Giả sử M là điểm trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MPOQ là hình vuông => cạnh của hình vuông là R 
MO = R 0,25®
M nằm trên đường tròn (O ; R)
M là giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (O ; R) 0,25®
 b) C¸ch dùng:
+ Dùng ®o¹n R 0,25đ
+ VÏ ®­êng trßn (O, R)
+ LÊy giao ®iÓm M cña ®­êng th¼ng (d) vµ ®­êng trßn (O, R)
=> M lµ ®iÓn ph¶i dùng 0,25đ
c) Chứng minh:
Vì MO = R > R => M naèm ngoaøi ñöôøng troøn (O,R)
Neân töø M keû ñöôïc hai tieáp tuyeán MP vaø MQ ñeán ñöôøng troøn 0,25ñ
+ AÙp duïng ñònh lyù Pitago trong tam giaùc vuoâng MPO ta coù 
MP2 = MO2 – OP2 = 2R2 – R2 = R2 => MP = R
Töông töï chöùng minh ñöôïc MQ = R => MPOQ laø töa giaùc coù 4 caïnh baèng nhau vaø coù 1 goùc vuoâng => MPOQ laø hình vuoâng 0,25ñ
d) Bieän luaän
Vì ñöôøng thaúng (d) vaø ñöôøng troøn (O, R) caét nhau taïi 2 ñieåm 
=> baøi toaùn coù hai nghieäm hình 0,25ñ
Caâu 3: (1ñ)
+Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MPQ laø ñöôøng troøn ñöôøng kính MO 0,25ñ
+Töø O keå ñöôøng thaúng vuoâng goùc ñeán ñöôøng thaúng (d) taïi K => goùc MKO = 1v
=> K naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính MO 0,25ñ
=> ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MPQ ñi qua 2 ñieåm coá ñònh O vaø K 0,25ñ
=> taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MPQ chaïy treân ñöôøng trung tröïc ()
cuûa ñoaïn OK 0,25ñ
 Đề thi tuyển sinh vào 10 PTTH
năm học 1999 – 2000
Môn toán
thời gian làm bài 150 phút
Bài 1(1,5 điểm)
Cho biểu thức : A = 
Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa
Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1,999
Bài 2(1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
Bài 3 (2 điểm)
Tìm giá trị của a để phương trình :
 (a2 – a – 3)x2 + (a + 2)x – 3a2 = 0
nhận x = 2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của phương trình?
Bài 4 (4 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A . trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh A và đỉnh B. Đường tròn đường kính BD cắt cạnh BC tại E. Đường thẳng AE cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là G. Đường thẳng CD cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là F . Gọi S là giao điểm của các đường thẳng AC và BF. Chứng minh:
Đường thẳng AC song song với đường thẳng FG
SA. SC = SB. SF
Tia ES là phân giác của góc AEF
Bài 5(1 điểm)
Giải phương trình : x2 + x + 12 = 36
Đáp Án
Bài 1:
Câu a) Ta có : A = = 0,25đ
Vì (x- 2)2 0 với mọi x => có nghĩa với mọi x 0,25đ
=> Biểu thức A có nghĩa 4 – 2x 0 x 2 0,25đ
Câu b) Ta có A = 0,25đ
 0,25đ
Khi x = 1,999 => x A = 0,5 0,25đ
Bài 2 (1,5 đ)
Đặt u = và v = .Hệ phương trình trên trở thành:
 0,25đ
Giải hệ phương trình trên được
 0,5đ
Với u = => x = 0,25đ
Với v = => y = 0,25đ
Vậy hệ có nghiệm là : 0,25đ
Bài 3: Phương trình đã cho nhận x1 = 2 là nghiệm 
 4(a2 – a – 3) + 2(a + 2) – 3a2 = 0 0,5đ
a2 – 2a – 8 = 0 0,25đ
 0,25đ
Khi đó nghiệm còn lại của phương trình là:
 x2 = 0,5đ
+) Nếu a = -2 , nghiệm còn lại của phương trình là
 x2 = -2 0,25đ
+) Nếu a = 4 , nghiệm còn lại của phương trình là
 x2 = - 0,25đ
Bài 4
Câu 1: Chứng minh AC // FG ( 1 đ)
Tứ giác ACED có : góc A = góc E = 1v 0,25đ
nên nội tiếp được trong một đường tròn
=> ^ACD = ^ AED hay ^ ACD = ^ DEG (1) 0,25đ
Mặt khác 4 điểm D,G, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD
nên tứ giác DGEF nội tiếp được đường tròn 
=> góc DEG = góc DFG (2) 0,25đ
Từ (1) và (2) => góc ACD = góc DFG
=> AC // FG (Vì có 2 góc so le trong bằng nhau) 0,25đ
Câu 2 : Chứng minh SA.SC = SB. SF (1,5đ)
Tứ giác ACBF có A = F = 1v => tứ giác ACBF nội tiếp đường tròn đường kính BC
=> FAC + FBC = 2v 0,25đ
Lại có FAC + SAF = 2v
=> SAF = FBC hay SAF = SBC 0,25đ
Xét 2 tam giác SAF và SBC có :
 S chung , SAF = SBC (cmt)
=> Hai tam giác SAF và SBC đ ồng d ạng 0,5 đ
 => 0,25 đ
 => SA.SC = SB.SF 0,25 đ
C âu 3: Chøng minh : Tia ES lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AEF (1,5 ®)
Ta cã gãc AED = gãc ACF (cmt) (1) 
V× tø gi¸c BEDF néi tiÕp ®­îc ®­êng trßn 
=> gãc DEF = gãc DBF (2)
V× tø gi¸c ACBF néi tiÕp ®­îc ®­êng trßn
=> gãc ACF = gãc ABF (3)
Tõ (1) , (2) vµ (3) => gãc AED = gãc DEF 0,5®
=> ED lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AEF 0,25®
MÆt kh¸c : CF vµ BA lµ c¸c ®­êng cao cña tam gi¸c SBC 
nªn D lµ trùc t©m cña tam gi¸c nµy => SD BC 0,25®
Mµ DE BC => 3 ®iÓm S.D,E th¼ng hµng 0,25®
=> tia ES lµ ph©n gi¸c cña gãc AEF 0,25®
Bµi 5 (1®):
Ta cã x2 + x + 12 = 36 
 (x2 + 2x + 1) – (x-1 - 12 + 36) = 0
(x + 1)2 – ( - 6)2  = 0 0,25ñ
(x + 1 - + 6 )( x + 1 + - 6 ) = 0 0,25ñ
a) Tröôøng hôïp : x + 1 - + 6 = 0 (a)
Ñaët t = ( ñieàu kieän t 0 ) , phöông trình (a) trôû thaønh
 t2 – t + 6 = 0 ( voâ nghieäm) 0,25ñ
b) Tröôøng hôïp : x + 1 + - 6 = 0 (b)
Ñaët t = ( ñieàu kieän t 0 ) , phöông trình (b) trôû thaønh
 t2 + t - 6 = 0 t = - 3 (loaïi) hoaëc t = 2 (thoaû maõn)
t = 2 => = 2 x + 1 = 4 x = 3 
Vaäy phöông trình coù moät nghieäm x = 3 0,25ñ
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10
TRÖÔØNG THPT CHUYEÂN LEÂ HOÀNG PHONG
naêm hoïc 2000 -2001
Moân toaùn(Ñeà chung)
Baøi 1 (2,5 ñieåm)
Cho bieåu thöùc :
 T = vôùi x > 0 vaø x 1
1) Ruùt goïn bieåu thöùc T
2) Chöùng minh raèng vôùi moïi x > 0 vaø x 1 luoân coù T < 
Baøi 2 ( 2,5 ñieåm)
Cho phöông trình : x2 – 2mx + m2 - = 0 (1)
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù nghieäm vaø caùc nghieäm cuûa phöông trình coù giaù trò tuyeät ñoái baèng nhau
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù nghieäm vaø caùc nghieäm aáy laø soá ño cuûa hai caïnh goùc vuoâng cuûa moät tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn baèng 3
Baøi 3(1 ñieåm)
 Treân heä truïc toaï ñoä Oxy cho parabol (P) coù phöông trình 
 y = x2 (P)
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng y = 3x + 12 vaø coù vôùi parabol (P) ñuùng moät ñieåm chung.
Baøi 4 (4 ñieåm)
Cho ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB = 2R. Moät ñieåm M chuyeån doäng treân ñöôøng troøn (O) ( M khaùc vôùi A vaø B). Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân ñöôøng kính AB.Veõ ñöôøng troøn (T) coù taâm laø M vaø baùn kính MH . Töøø A vaø B laàn löôït keå tieáp tuyeán AD vaø BC ñeán ñöôøng troøn (T) (D vaø C laø caùc tieáp ñieåm)
Chöùng minh raèng khi M di chuyeån treân ñöôøng troøn (O) thì AD + BC coù giaù trò khoâng ñoåi.
Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng CD laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O)
Chöùng minh raèng vôùi baát kyø vò trí naøo cuûa M treân ñöôøng troøn (O) luoân coù baát ñaúng thöùc AD.BC R2 . Xaùc ñònh vò trí cuûa M treân ñöôøng troøn (O) ñeå ñaúng thöùc xaûy ra
Treân ñöôøng trìn (O) laáy ñieåm N coá ñònh .Goïi I laø trung ñieåm cuûa MN vaø P laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa I treân MB . Khi M chuyeån ñoäng treân ñöôøng troøn (O) thì P chaïy treân ñöôøng naøo ?
ÑAÙP AÙN:
Baøi 1
Caâu 1: T = 
 = 0,5ñ	
 = 0,25ñ
 = 0,25ñ
 = 0,25ñ
 = 0,25ñ
 Caâu 2:
Xeùt - T = - = 0,25ñ
=> - T > 0 vì (- 1)2 > 0 0,25ñ
 vaø 3( > 0 vôùi moïi x > 0 vaø x 1 0,25ñ
=> T 0 ø vaø x 1 0,25ñ
Baøi 2
Caâu 1 (1ñ) : Giaû söû phöông trình coù 2 nghieäm x1 , x2 thoaû maõn 
=> x1 = x2 hoaëc x1 = - x2 0,25ñ
a) Neáu x1 = x2 => = 0 => = = 0 (voâ lyù) 0,25ñ
b) Neáu x1 = - x2 => x1 + x2 = 0 => 2m = 0 => m = 0 0,25ñ
=> phöông trình ñaõ cho trôû thaønh : x2 - = 0 x = 
=> phöông trình coù 2 nghieäm coù giaù trò tuyeät ñoái baèng nhau
=> m = 0 laø giaù trò caàn tìm 0,25ñ
Caâu 2(1,5ñ)
Giaû söû phöông trình coù 2 nghieäm x1 vaø x2 laø soá ño cuûa 2 caïnh goùc vuoâng cuûa moät tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn baèng 3
=> x1 > 0 ; x2 > 0 vaø x12 + x22 = 9 0,25ñ
Ta coù x12 + x22 = (x1 + x2 )2  - 2x1x2 = 4m2 – 2(m2 -) = 2m2 + 1 0,25ñ
=> vaø x12 + x22 = 9 2m2 + 1 = 9 m = 2 0,25ñ
+Vôùi m = 2 phöông trình ñaõ cho trôû thaønh :
 x2 - 4x + = 0
Phöông trình naøy coù 2 nghieäm laø:
x1 = 2 - ; x2 = 2 + (thoaû maõn)
=> m = 2 laø giaù trò caàn tìm 0,25ñ
+ Vôùi m = -2 phöông trình ñaõ cho trôû thaønh:
 x2 + 4x + = 0
Phöông trình naøy coù 2 nghieäm laø :
 x1 = - 2 - < 0 vaø x2 = - 2 + < 0 (loaïi)
=> m = -2 khoâng troaû maõn 0,25ñ
Toùm laïi: Phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm vaø 2 nghieäm naøy laø soá ño 2 caïnh 
cuûa goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn baèng 3 m = 2 0,25ñ
Baøi 3:
+)Goïi (d) laø ñöôøng thaúng phaûi tìm.Vì ñöôøng thaúng (d) // ñöôøng thaúng 
 y = 3x + 12 => phöông trình ñöôøng thaúng (d) coù daïng; y = 3x + m 0,25ñ
+)Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol y = x2 laø nghieäm cuûa phöôøng trình: x2 = 3x + m x2 – 3x – m = 0 (*) 0,25ñ
+)Ñöôøng thaúng (d) vaø parabol y = x2 coù ñuùng 1 ñieåm chung 
phöông trình (*) coù nghieäm duy nhaát
 = 0 9 + 4m = 0 m = - 0,25ñ
=> phöông trình ñöôøng thaúng (d) laø y = 3x - 0,25ñ
Baøi 4:
Caâu 1: (0,75ñ)
+) Vì AD vaø AH laø caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (M,MH) cuøng xuaát phaùt töø ñænh A
=> AD = AH (1) 0,25ñ
+) Vì BH vaø BC laø caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (M, MH) cuøng xuaát phaùt töø ñænh B
=> BC = BH (2) 0,25ñ
+) Töø (1) vaø(2) => AD + BC = AH + BH = AB = 2R = khoâng ñoåi
Caâu 2: (1,25ñ)
Tröôùc heát ta chöùng minh 3 ñieåm C, D , M thaúng haøng
Thaät vaäy: 
+ Vì AD vaø AH laø caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (M,MH) cuøng xuaát phaùt töø A 
=> goùc AMD = goùc AMB (3) 
+ Vì BH vaø BC laø caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (M, MH) cuøng xuaát phaùt töø B
=> goùc BMC = goùc BMH (4) 
Töø (3) vaø (4) => goùc AMD + goùc BMC = goùc AMH + goùc BMH
 = goùc AMB = 900 0,25ñ
=> (goùc AMD + goùc BMC) + (goùc AMH + goùc BMH) = 1800 0,25ñ
=> 3 ñieåm C, D, M thaúng haøng vaø M laø trung ñieåm cuûa CD 0,25ñ
b)Vì AD vaø BC laø caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (M,MH)
=> AD CD vaø BC CD => ABCD laø hình thang vuoâng
Maët khaùc : O laø trung ñieåm cuûa AB vaø M laø trung ñieåm cuûa CD 
OM laø ñöôøng trung bình cuûa hình thang ABCD
OM // AD 0,25ñ
LAÏi coù AD CD => OM CD 0,25ñ
Maø Om laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn (O) 
=> CD laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O) 0,25ñ
Caâu 3;(1ñ)
Ta coù : 4.AD.BC = (AD + BC)2- (AD – BC)2 0,25ñ
 (AD +BC)2 = 4R2 0,25ñ
=> AD.BC R2 0,25ñ
Ñaúng thöù xaûy ra AD = BC ABCD laø hình chöõ nhaät
ngoaïi tieáp nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB M laø trung 
ñieåm cuûa cuûa nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB 0,25ñ
Caâu 4 (1ñ)
Ta coù goùc AMB = 900 (Goùc noâòo tieát chaén nöûa ñöôøng troøn )
AM MB.Maët khaùc : IP MP (gt)
=> AM // IP hay IK //AM 
Xeùt ANM coù IK // AM , I laø trung ñieåm MN
 => IK laø ñöôøng trung bình 0,25ñ
=> K laø trung ñieåm cuûa AN maø A vaø N coá ñònh => K coá ñònh 0,25ñ
Ta coù goùc BPK = 900 vaø caùc ñieåm B, K coá ñònh 0,25ñ
=> Khi m chuyeån ñoäng treân ñöôøng troøn (O) thì P chaïy treân ñöôøng troøn 
ñöôøng kính BK 0,25ñ
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH
VAØO LÔÙP 10 – PTTH TÆNH NAM ÑÒNH
NAÊM HOÏC 2000- 2001
Baøi 1: (2ñieåm)
Cho A = ( Vôùi 1 
a . Ruùt goïn A
b. Vôùi 1 . Tìm a sao cho A = - a2 
Baøi 2: (2 ñieåm)
Treân heä truïc toaï ñoä Oxy cho caùc ñieåm : M(2 ; 1) vaø N(5; - ) vaø ñöôøng thaúng (d):
y = ax + b
 a) Tìm a vaø b ñeå ñöôøng thaúng (d) ñi qua M vaø N
 b) Xaùc ñònh toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vôùi 2 truïc Ox vaø Oy
Baøi 3: (2 ñieåm)
 Cho soá nguyeân döông goàm 2 chöõ soá .Tìm soá ñoù bieát raèng toång cuûa 2 chöõ soá baèng 1/8 soá ñaõ cho vaø neáu theâm 13 vaøo tích 2 chöõ soá seõ ñöôïc 1 soá môùi vieát theo thöù töï ngöôïc laïi vôùi soá ñaõ cho.
Baøi 4: ( 3 ñieåm)
 Cho tam giaùc PBC , PA laø ñöôøng cao. Ñöôøng troøn ñöôøng kính BC caét PB ,PC laàn löôït ôû M vaø N , NA caét ñöôøng troøn taïi ñieåm thöù hai laø E.
Chöùng minh 4 ñieåm : A, B, P, N cuøng thuoäc 1 ñöôøng troøn .Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn ñoù.
Chöùng minh : EMBC
Goïi F laø ñieåm ñoái xöùng cuûa N qua BC, chöùng minh AM.AF = AN . AE
Baøi 5(1 ñieåm): Giaû söû n laø 1 soá töï nhieân. Chöùng minh :
Ñaùp AÙn:
Baøi 1:
a) A = ( = 
 = ( = a – 1
b) Tìm 1 . Thoaû maõn ñaúng thöùc A = - a2 
 a = 
Baøi 2:
a) Vì ñöôøng thaúng (d) : y = ax + b ñi qua 2 ñieåm M vaø N neân laàn löôït thay x = 2, y = 1 vaø x = 5 , y = - vaøo phöông trình ñöôøng thaúng (d), ta coù heä phöông trình
Vaäy ñöôøng thaúng (d) : y = - x + 2
b) Xaùc ñònh taïo ñoäï giao giao ñieåm cuûa (d) vôùi 2 truïc toaï ñoä
+ Giao cuûa (d) vôùi truïc Oy: Cho x = 0 vaøo phöông trình y = - x + 2 ta tìm ñöôïc 
y = 2 => (d) caét truïc Oy taïi ñieåm (0; 2)
+ Giao cuûa (d) vôùi truïc Ox : Cho y = 0 ta coù: 0 = - x + 2 => x = 4
(d) caét truïc Ox taïi ñieåm (4;0)
Baøi 3
Goïi soá nguyeân döông coù hai chöõ soá laø ab 
(Ñieàu kieän : a , b N ; 1 ; 0 )
Toång hai chöõ soá cuûa noù la:ø a + b 
Theo baøi ra ta coù phöông trình : a+ b = ab hay : a+b = (10a+ b) (1)
Tích hai chöõ soá cuûa noù laø : a.b
Theo ñaàu baøi ta coù phöông trình: ab + 13 = ba hay : ab + 13 = 10b + a (2)
Töø (1) vaø (2) ta coù heä phöông trình:
Töø (1/) => a = theá vaøo (2/) ta ñöôïc : .b + 13 = 10b + 7b2 – 27b + 26 = 0 
Coù : = 272 – 4.7.26 = 1 => = 1 => b1 = = 2 (thoaû maõn)
 b2 = = (loaïi)
Vôùi b = 2 => a = = 7. Ñoái chieáu vôùi ñieàu kieän ñaët ra ta coù a = 7 ; b = 2 thoaû maõn
Vaäy soá ñaõ cho laø 72
Baøi 4: 
a) Ta coù : goùc BNC = 1v (goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)
 => goùc BNP = 1v.Töù giaùc ABPN coù goùc BNP = goùc BAP = 1v cuøng nhìn PB neân 4 ñieåm A,B,P,N cuøng thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính BP
(Taâm cuûa ñöôøng troøn laø trung ñieåm cuûa BP , baùn kính BP/2)
b)Coù töù giaùc ABPN noäi tieáp => goùc BPA = goùc BNA (cuøng chaén cung AB)
MaËt khaùc : goùc BME = goùc BNA ( cuøng chaén cung BE)
=> goùc BPA = goùc BME 
Maø 2 goùc naøy ôû vò trí ñoàng vò => ME // AP. maø AP BC => EM BC
c)Ta coù F laø ñieåm ñoái xöùng cuûa N qua BC maø N (O) => F (O) (Tính chaát ñoái xöùng)
Tam giaùc AME caân (vì coù AB ME => HM = HE => AH vöøa laø ñöôøng cao vöøa laø trung tuyeán) neân AM = AE (1)
Tam giaùc NAF caân ( vì NF AC => KN = KF => AK vöøa laø ñöôøng cao cöøa laø trung tuyeán) . Neân AN = AF (2)
Töû (1) vaø (2) => AM.AF = AN . AE
Baøi 5:
Ta coù : 
= 
(Vì deã thaáy : 1 + < 1+1 = 2 )
Vaäy : (1)
AÙp duïng baát ñaúng thöùc (1) vôùi n = 1, 2, 3, ..n ta coù:
 ..
Coäng töøng veá cuûa caùc baát ñaúng thöùc treân ta coù:
 (1- < 2 (Bôûi vì 1- < 1 )
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10 THPT
NAÊM HOÏC 2001- 2002
MOÂN TOAÙN
Baøi 1: (1,5 ñieåm)
 Ruùt goïn bieåu thöùc :
 M = ( Vôùi a 0 vaø a 1
Baøi 2 (1,5 ñieåm)
Tìm hai soá x vaø y thoaû maõn caùc ñieàu keän
Baøi 3 (2 ñieåm)
 Hai ngöôøi cuøng laø chung moät coâng vieäc seõ hoaøn thaønh trong 4 ngaøy . Neáu moãi ngöôøi laøm rieâng ñeå hoaøn thaønh coâng vieäc thì thôøi gian ngöôøi thöù nhaát laø ít hôn ngöôøi thöù hai 6 giôø. Hoûi neáu laøm rieâng thì moãi ngöôøi phaûi laøm trong bao laâu seõ hoaøn thaønh coâng vieäc.
Baøi 4 (2 ñieåm)
Cho caùc haøm soá :
 y = x2 (P)
 y = 3x + m2 (d)
 ( x laø bieán soá , m laø tham soá cho tröôùc)
 1) Chöùng minh raèng vôùi baát kyø giaù trò naøo cuûa m , ñöôøng thaúng (d) luoân caét parabol(P) taïi 2 ñieåm phaân bieät.
 2) Goïi y1 vaø y2 laø tung ñoä caùc giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol(P).Tìm m ñeå coù ñaúng thöùc : y1 + y2 = 11y1.y2 
Baøi 5(3 ñieåm)
Cho tam giaùc ABC vuoâng ôû ñænh A.Treân caïnh AC laáy ñieåm M( Khaùc vôùi caùc ñieåm A vaø C).Veõ ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính MC.Goïi T laø giao ñieåm thöù hai cuûa caùc caïnh BC vôùi ñöôøng troøn (O).Noái BM keùo daøi caét ñöôøng troøn (O) taïi ñieåm thöù hai laø D . Ñöôøng thaúng AD caét ñöôøng troøn (O) taïi ñieåm thöù hai laø S.Chöùng minh:
Töù giaùc ABTM noäi tieáp ñöôïc trong moät ñöôøng troøn
Khi ñieåm M di chuyeån treân caïnh AC thì goùc ADM coù soá ño khoâng ñoåi
Ñöôøng thaúng AB song song vôùi ñöôøng thaúng ST
Ñaùp AÙn:
Baøi 1(1,5 ñieåm)
Ta coù 0,25ñ
 = 0,25ñ
 = 1 + + a 0,25ñ
=> = (1 + + a) + 0,25ñ
 = (1 + )2 0,25ñ
=> M = (1+ )2 . = 1 + 0,25ñ
Baøi 2 (1,5 ñieåm)
 Vì : 
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 25 + 2.12 = 49
 x + y = 7 0,25ñ
a) Tröôøng hôïp : x + y = 7 
 Laïi coù xy = 12 => x, y laø caùc nghieäm cuûa phöông trình baäc hai:
 t2 – 7t + 12 = 0 0,25ñ
Phöông trình coù : = 49 – 48 = 1 ,neân phöông trình coù 2 nghieäm laø:
 t1 = 3 ; t2 = 4
=> 2 soá caàn tìm laø :
 hoaëc 0,25ñ
b)Tröôøng hôïp : x + y = - 7
Laïi coù xy = 12 => x, y laø nghieäm cuûa phöông trình baäc hai:
 t2 + 7t + 12 = 0 
Phöông trình coù : = 49 – 48 = 1 .Neân coù hai nghieäm laø : 
 t3 = -3 ; t4 = - 4
=> 2 soá caàn tìm laø: 
 hoaëc 0,25ñ
Toùm laïi coù 4 caëp soá thoaû maõn ñieàu kieän ñaõ cho laø:
 ; ; ; 0,25ñ
Baøi 3 (2 ñieåm)
Goïi thôøi gian ngöôøi thöù nhaát laøm moät mình ñeå hoaøn thaønh coâng vieäc laø x giôø
Ñieàu kieän: x > 0 
=> ngöôøi thöù hai laøm moät mình ñeå hoaøn thaønh coâng vieäc (x +6) giôø 0,25ñ
Trong moät giôø ngöôøi thöù nhaát laøm ñöôïc coâng vieäc 0,25ñ
Trong moät giôø ngöôøi thöù hai laøm ñöôïc coâng vieäc 0,25ñ
Vì trong 1 giôø neáu laøm chung caû hai ngöôøi laøm ñöôïc coâng vieäc neân coù phöông trình
 + = 0,25ñ
 4(x + 6) + 4x = x(x+ 6)
 x2 – 2x – 24 = 0 0,25ñ
Phöông trình naøy coù hai nghieäm laø x1 = 6 ; x2 = -4(loaïi) 0,25ñ
Vaäy thôøi gian ngöôøi thöù nhaát laøm moät mình ñeå hoaøn thaønh coâng vieäc 
laø 6 giôø 0,25ñ
Thôøi gian ngöôøi thöù hai laøm moät mình ñeå hoaøn thaønh coâng vieäc laø 
 6 + 6 – 12 giôø 0,25ñ
Baøi 4
Caâu 1 (1 ñieåm)
Hoaønh ñoï giao ñieåm cuûa parabol (P) vaø ñöôøng thaúng (d) laø nghieäm cuûa 
phöông trình : x2 = 3x + m2
 x2  - 3x - m2 = 0 (*) 0,25ñ
Phöông trình (*) coù : = 9 + 4m2 > 0 vôùi moïi m 0,25ñ
=> phöông trình (*) luoân coù hai nghieäm phaân bieät 0,25ñ
=> Ñöôøng thaúng (d) bao giôø cuõng caét parabol (P) taïi hai ñieåm phaân bieät 0,25ñ
Caâu 2 (1 ñieåm)
Goïi A vaø B laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø para bol (P) vaø toaï ñoä giao ñieåm cuûa chuùng laø:
 A(x1; y1) ; B(x2 ; y2)
AÙp duïng heä thöùc viet cho phöông trình (*) ta coù :
 0,25ñ
Ta coù y1 + y2 = ( 3x1 + m2) + (3x2 + m2 ) = 3(x1 + x2) + 2m2 
 = 2m2 + 9 (1)
vaø y1.y2 = x12.x22 = (x1.x2)2 = (-m2)2 = m4 (2)
Töø (1) vaø (2) ta coù :
 y1 + y2 = 11y1 .y2
 2m2  + 9 = 11 m4 (3)
 11m4 – 2m2 – 9 = 0 0,25ñ
Ñaët : t = m2 , ñieàu kieän t 0 ,phöôöng trình (3) trôû thaønh:
 11t2 – 2t – 9 = 0
Vì phöông trình coù a + b + c = 0, neân phöông trình coù 1 nghieäm laø t = 1
ngieäm coøn laïi laø t = - (loaïi)
Vôùi t = 1 => m2 = 1 => m = 1 0,25ñ
Vì phöông trình (*) coù nghieäm vôùi moïi m neân m = 1 thoaû maõn
=> ñöôøng thaúng (d) caét parabol (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät coù tung ñoä thoaû maõn 
 y1 + y2 = 11y1.y2 m = 1 0,25ñ
Baøi 5:
Caâu 1(1ñ)
Ta coù MTC = 1v (goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) 0,25ñ
Laïi coù : BAC =1v (gt)
=> Töù giaùc ABTM coù : A + T = 2v 0,25ñ
=> Töù giaùc ABTM noäi tieáp ñöôïc trong moät ñöôøng troøn 0,5ñ
Caâu 2 (1 ñieåm)
Ta coù MDC = 1v (goùc noäitieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)
Laïi coù BAC = 1v
=> caùc ñieåm A vaø D cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính BC 0,25ñ
=> 4 ñieåm A, B, C , D cuøng thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính BC
=> Töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôïc tron moät ñöôøng troøn 0,25ñ
=> ADB = ACB ( cuøng chaén cung AB) (1) 0,25ñ
maø sñ ACB khoâng ñoåi => sñADB khoâng ñoåi (ñpcm) 0,25ñ
Caâu 3 (1 ñieåm)
Vì töù giaùc CMDS noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn (O)
=> MDA = MCS (cuøng buø vôùi goùc MDS) (2) 0,25ñ
Töø (1) vaø (2) => TMC = MCS (3)
=> MTC = MSC => CT = CS
=> CTS caân taïi ñænh C 0,25ñ
Töø (3) => CM laø phaân giaùc cuûaSCT neân CM laø ñöôøng cao
 => ST AC 0,25ñ
 Maø AB AC => ST // AB (ñpcm) 0,25ñ
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10 THPT
NAÊM HOÏC 2003 – 2004
MOÂN THI TOAÙN
Baøi 1:(2ñieåm)
Giaûi heä phöông trình : 
Baøi 2 :(2 ñieåm)
Cho bieåu thöùc P = vôùi x > 0 vaø x 1
a) Ruùt goïn bieåu thöùc P
b) Tính giaù trò cuûa P khi x = 
Baøi 3 :(2 ñieåm)
Cho ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình y = ax + b . Bieát raèng ñöôøng thaúng (d) caét truïc hoaønh taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng 1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng y = - 2x + 2003
a)Tìm a vaø b 
b) Tìm toaï ñoä caùc ñieåm chung (neáu coù ) cuûa (d) vaø parabol: y = - x2
Baøi 4: (3 ñieåm)
Cho ñöôøng troøn (O) coù taâm laø ñieåm O vaø 1 ñieåm A coá ñònh naèm ngoaøi ñöôøng troøn.Töø A keû caùc tieáp tuyeán AP vaø AQ vôùi ñöôøng troøn (O) , P vaø Q laø caùc tieáp ñieåm. Ñöôøng thaúng ñi qua O vaø vuoâng goùc vôùi OP caét ñöôøng thaúng AQ taïi M.
Chöùng minh raèng MO = MA 
Laáy ñieåm N treân cung lôùn PQ cuûa ñöôøng troøn (O) sao cho tieáp tuyeán taïi N cuûa ñöôøng troøn (O) caét caùc tia AQ vaø AQ töông öùng taïi B vaø C.
1 – Chöùng minh raèng AB + AC – BC khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm N.
2 – Chöùng minh raèng neáu töù giaùc BCQP noäi tieáp ñöôøng troøn thì PQ // BC.
Baøi 5.(1 ñieåm)
 Giaûi phöông trình : 
ÑAÙP AÙN:
Baøi 1 ( 2 ñieåm)
Ñieàu kieän : x 0 vaø x + y 0 0,25ñ
Ñaët = u , = v , heä phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: 0,25ñ
 0,25ñ
Giaûi heä ñöôïc u = , v = 0,5ñ
 Töø ñoù : 0,25ñ
 (Thoaû maõn ñieàu kieän) 0,25ñ
 0,25ñ
Baøi 2 (2 ñieåm)
a) (1,25ñ)
 Ta coù : P = 0,25ñ
 = 0,25ñ
 = 0,25ñ
 = 0,5ñ
b) (0,75ñ)
Vôùi x = ta coù : P = 0,25ñ
 P = 0,25ñ
 = 3 + 2 0,25ñ
Baøi 3.(2 ñieåm)
a) (1ñ)
Ñöôøng thaúng y = ax + b song song vôùi ñöôøng thaúng y = - 2x + 2003 neân chuùng coù cuøng heä soá goùc => a = -2. 0,5ñ
Ñöôøng thaúng (d) caét truïc hoaønh taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng 1 neân toaï ñoä ñieåm 
(1;0) thoaû maõn phöông trình cuûa (d):
 0 = a.1 + b 0,25ñ
Giaûi ra ta ñöôïc : a = -2 vaø b = 2 0,25ñ
b) (1 ñ)
Toaï ñoä ñieåm chung cuûa (d) vaø parabol y = - x2 laø nghieäm cuûa heä phöông trình:
 0,25ñ
 => - x2 = - 2x + 2 0,25ñ
 x2 - 4x + 4 = 0 
Giaûi phöông trình ta ñöôïc x = 2 0,25ñ
=> y = - 2
Vaäy ñöôøng thaúng (d) vaø parabol coù 1 ñieåm chung vôùi toaï ñoä (2; - 2) 0,25ñ
Baøi 4.(3 ñieåm)
a) (1ñ) Vì AP laø tieáp tuyeán taïi P cuûa (O) neân OP AP
Theo gt ta coù MO OP , neân MO // AP.
=> MOA = OAP ( S