Một số kĩ thuật giải phương trình lượng giác

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 1 
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) 
Gửi tặng: www.Mathvn.com 
Bỉm sơn. 08.05.2011 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 2 
MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông 
Ví dụ như các công thức sau 
2 2sin cos 1x x  
2 2cos 2 2cos 1 1 2sinx x x    
sin 2 2sin cosx x x 
3sin 3 3sin 4sinx x x   
Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay 
không 
2 2sin 2 cos 2 1x x  
2 2cos 4 2cos 2 1 1 2sin 2x x x    
sin 4 2sin 2 cos 2x x x 
3sin 9 3sin 3 4sin 3x x x  Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau 
Với 0k  ta có 
2 2sin cos 1kx kx  
2 2cos 2 2cos 1 1 2sinkx kx kx    
sin 2 2sin coskx kx kx 
3sin 3 3sin 4sinkx kx kx  
1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung 
Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với 
các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn 
đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc 
xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào 
Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1 74.sin
3sin 4sin
2
x
x x


        
 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện hai cung 3
2
x  và 7
4
x  mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng một 
cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc 
đặc biệt 
Giải: 
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 3 
Ta có 3 3 3sin sin .cos cos .sin cos
2 2 2
x x x x       
 
     7 7 7 2sin sin cos cos .sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x           
 
Sử dụng công thức về các góc đặc biệt 
Ta có 3 3sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x                  
     
Hoặc 3sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x                          
 7 7 2sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x                      
     
Hoặc  7 2sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x                             
Chú ý: 
 
 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x


 

 
 và  
 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x
 
 
   

   
 
Điều kiện: 
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0 2
x
x x k k
x

    

 
Phương trình 1 1 4sin
sin cos 4
x
x x
      
 
 sin cos 2 2 sin .cos sin cosx x x x x x     
   sin cos 2 2 sin .cos 1 0x x x x    
tan 1sin cos 0
22 2 sin .cos 1 0 sin 2
2
xx x
x x x
         
4 4
2 2 ,
4 8
5 52 2
4 8
x k x k
x k x k k
x k x k
 
 
 
 
 
 
       
 
         
 
 
    
  
 
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 
4
x k    ;
8
x k    ; 5
8
x k   với k  
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 4 
Đs:  5, , ,
4 8 8
x k x k x k k             
Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos3 cos 2 – cos –1 0x x x  
Giải: 
Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức 
nhân ba và nhân đôi của hàm cos 
Phương trình 3 24cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x       
3 22cos cos 2cos 1 0x x x       22cos 1 cos 1 0x x    
  2
1cos
2cos 1 sin 0 2
sin 0
x
x x
x
     


 
2 2
;3
x k
k
x k



    


 
Đs:  2 2 ,
3
x k x k k       
Cách 2: 
Nhận xét: 
Ta có 3
2
x x x  và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các hạng tử bằng cách 
dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích 
   
 
2
2
cos3 cos – 1 cos 2 0 2sin 2 .sin 2sin 0
2sin 2cos 1 0
x x x x x x
x x
      
  
 tương tự như trên 
Chú ý: 
Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó 
Công thức nhân ba 3 3cos3 4cos 3cos , sin 3 3sin 4sinx x x x x x    
Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi 
Ta có 
   
   
2 2
2 2 3
cos3 cos 2 cos 2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin
2cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos
x x x x x x x x x x x
x x x x x x
      
     
Tương tự cho sin 3x 
Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 6 23cos 4 – 8cos 2cos 3 0x x x   
Giải: 
Nhận xét 1: 
Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 5 
 2 2 4 2cos 4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1x x x x x        
Cách 1: 
Phương trình 6 4 24cos 12cos 11cos 3 0x x x    (pt bậc 6 chẵn) 
Đặt 2cos , 0 1t x t   
Khi đó ta có 3 2
1
4 12 11 3 0 1
2
t
t t t
t

    
 

 bạn được giải tiếp được nghiệm , ,
4 2
x k k k     
Nhận xét 2: 
Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ 
cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi 
Cách 2: 
Phương trình 
   
3
2 21 cos 2 1 cos 23 cos 2 1 8 2 3 0 cos 2 2cos 2 3cos 2 2 0
2 2
cos 2 0
,4 2
cos 2 1
x xx x x x
x x k
k
x x k
 

               
   
       

Nhận xét 3: 
Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình 
tích 
Cách 3: 
0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3 222242  xxxxxxx 
2 2 2 2 26cos 2 2cos (2cos 1)cos 2 0 cos 2 3cos 2 cos (2cos 1) 0x x x x x x x x          
2 4 2
cos 2 0
4 2
3(2cos 1) 2cos cos 0
kx x
x x x
     

   
Phương trình 
2
4 2
2
cos 1 sin 0
2cos 5cos 3 0 3cos ( )
2
x x x k
x x
x loai
     
     
 

Đs: , ,
4 2
x k k k     
Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình:  2sin 1 cos 2 sin 2 1 cosx x x x    
Giải: 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân 
đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế 
Phương trình 24sin .cos 2sin .cos 1 2cosx x x x x    
2sin .cos (1 2cos ) 1 2cosx x x x    
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 6 
(1 2cos )(sin 2 1) 0x x    
1cos
2
sin 2 1
x
x
 


2 2
3
4
x k
x k




   
 
  

Đs:  2 2 , ,
3 4
x k x k k        
Bài 5: Giải phương trình 33sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x   
Giải: 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương 
trình bậc nhất đối với sin và cos 
33sin 3 4sin 3 3 cos9 1 sin 9 3 cos9 1x x x x x       
2
1 3 1 1 18 9sin 9 cos9 sin 9
7 22 2 2 3 2
54 9
x k
x x x k
x k
 

 
           
    

 
Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình sin 5 1
5sin
x
x
 
Giải: 
Điều kiện: sin 0x  
Phương trình sin 5 5sin sin 5 5sinx x x x    
Nhận xét: 
Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x có hai hướng 
Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai 
sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin
4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1
x x x x x x
x x x x x x
    
   
2
3cos ( )
cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0 2
cos 2 1
x loai
x x x x
x
         


21 cos 2 0 2sin 0 sin 0 ( )x x x loai       
Vậy phương trình vô nghiệm 
Hướng 2: Phân tích cung 5 2 3x x x  , áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức 
nhân hai, nhân ba 
 
      23 2 2 3 2 2
sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin
3sin 4sin cos sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
    
      
5 3 3 2 212sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0x x x x x       vô nghiệm 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 7 
Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm  0;14x nghiệm đúng phương trình: cos3 – 4cos 2 3cos 4 0x x x   
Giải: 
Phương trình  3 24cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0x x x x       
3 2 2cos 2cos 0 cos (cos 2) 0x x x x      
cos 0
2
x x k      
Vì  0;14x nên 0 14
2
k    
Đs: 
3 5 7; ; ;
2 2 2 2
x x x x       
Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình sin 3 sin 5
3 5
x x
 
Giải: 
Phương trình      25sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos 4 cos sin 4x x x x x x x x x      
   
     
2 2
2 2
5sin 3 4sin 3sin cos 4 4cos cos 2
sin 0
5 3 4sin 3 cos 4 4cos cos 2 *
x x x x x x
x x k
x x x x

   
  

  
Phương trình      2* 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 cos 2 cos 2x x x x           
2
5 1cos 2
6 212cos 2 4cos 2 5 0
1cos 2
32
x x k
x x
x kx
 


     
      
     
  
Bài 9: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x   
Giải: 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 2 5x x x  ta nghĩ ngay tới việc áp dụng công thức biến đổi tổng 
thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý 
Phương trình 3 cos5 sin 5 sin sin 0x x x x     
3 1cos5 sin 5 sin
2 2
x x x   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 8 
12 3sin 5 sin
3
6 2
x k
x x k
x k
 

 
        
     

 
Đs:  , ,
18 3 6 2
x k x k k         
Chú ý: 
- Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos là sin cosa x b x c  học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu 
gặp phương trình sin cos 'sin 'cos , 0,1a x b x a kx b kx k    thì làm thế nào, cứ bình tĩnh nhé, ta coi như 
hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự 
- Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau 
Bài 10: (ĐH – B 2009) Giải phương trình:  3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x    
Giải: 
Phương trình 
 2sin 1 2sin cos .sin 2 3cos3 2cos4x x x x x x     
1 3sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4
2 2
x x x x x x      
cos 4 cos 3
6
x x     
 
4 3 2
6
x x k       
 
 
2
6
2
42 7
x k
k
x k


 
   
 
  

 
Hoặc: 
 1 3 1sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos 4 sin sin 3 )
2 4 4
x x x x x x x       
1 3 3 1sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 3
2 2 2 2
x x x x x x      
1 3sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4
2 2
x x x x x x      
Đs:  2 , 2 ,
42 7 6
kx x k k         
Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trình: 3
2coscos
2sinsin



xx
xx 
HD: 
Điều kiện: 
3
2202coscos  kxkxxx  
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 9 
xxxxxxxx sin
2
1cos
2
32sin
2
12cos
2
32cos3cos32sinsin  
3
2
9
2
6
cos
6
2cos  kxkxxx 




 




  
Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trình:
4 4
4sin 2 cos 2 cos 4
tan tan
4 4
x x x
x x 


       
   
Giải: 
Nhận xét: 
Từ tổng hai cung 
4 4 2
x x           
   
 nên tan tan 1
4 4
x x         
   
 và cung 2x có thể đưa về cung 4x 
bằng công thức nhân đôi 
Điều kiện: 
cos 0
4 1cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0
4 4 2 2
cos 0
4
x
x x x x
x

  

    
                      
           
Phương trình 4 4 4 2 2 4 2 41sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 cos 4
2
x x x x x x x x         
 
 
 
2
2 4 4 2
2
cos 4 111 1 cos 4 cos 4 2cos 4 cos 4 1 0 12 sin 4
2
sin 2 0
sin 4 0 ,
cos 2 0 2
x
x x x x
x loai
x kx x k
x loai

 
        
  


      

Chú ý: 
- Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà 
quy đồng và biến đổi thìra không 
- Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình lượng giác có dạng phân thức 
như trên nếu không khôn khéo thì rất  phức tạp. 
- Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau 
(ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình: 4 4 7sin cos cot cot
8 3 6
x x x x          
   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 10 
Đs: ,
12 2
kx k     
Bài 12: (ĐHTL – 2001) Giải phương trình: 3 1 3sin sin
10 2 2 10 2
x x         
   
 Giải: 
Nhận xét: 
Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng nhưng đừng vội làm như thế 
khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung 3
10 2
x
 và 3
10 2
x
 có mối quan hệ với nhau như thế nào 
Thật vậy 3 3 9 3 3sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
x x x x   
                     
       
 từ đó ta đặt 3
10 2
xt   và sử 
dụng công thức nhân ba là ngon lành 
Phương trình    3 2 2
sin 01 1sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 0
2 2 1 sin 0
t
t t t t t t t
t

        
 
TH 1: 3sin 0 2 ,
5
t t k x k k        
TH 2: 2 1 cos 2 1 31 sin 0 1 0 cos 2 2 4 ,
2 2 6 5 6
tt t t k x k k                   
Chú ý: 
- Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau 3 3 32
10 2 5 10 2
x xt x t t            
- Với cách phân tích cung như trên ta có thể làm bài toán sau 
a. (BCVT – 1999) Giải phương trình: )
4
sin(2sin)
4
3sin(   xxx 
đặt 
4
t x   
Đs: 
4 2
kx     
b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trình: 38cos cos3
3
x x   
 
đặt 
3
t x   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 11 
Đs: 
6
2 ,
3
x k
x k k
x k





  

    

 

 
c. (PVBCTT – 1998) Giải phương trình: xx sin2)
4
(sin2 3   
đặt 
4
t x   
Đs: ,
4
x k k    
d. (QGHCM 1998) Giải phương trình: xx sin2)
4
(sin 3   
Bài tập tự giải: 
Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm )3;
2
( x của phương trình sau 
xxx sin21)
2
7cos(3)
2
52sin(   
Đs: 
13 5 17,2 , , ,
6 6 6
x     
Bài 2: (ĐHYTB – 1997) Giải phương trình 
2 32 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x                       
       
Đs: 
5 5 55 , 5 , 5 ,
4 12 3
x k x k x k k             
2. Biến đổi tích thành tích và ngược lại 
Bài 1: Giải phương trình : sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0x x x x x x      
Giải: 
Nhận xét: 
Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu ) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng 
hoặc hiệu các góc bằng nhau 
Phương trình      sin 6 sin sin 5 sin 2 sin 4 sin 3 0x x x x x x       
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 12 
 7 5 3 7 32sin cos cos cos 0 4sin cos 2cos 1 0
2 2 2 2 2 2
27sin 0
72
3 2cos 0 ;
2 3 3
2cos 1 0 2 2
3
x x x x x x x
kx x
x kx k Z
x x k

 


            
  

     

      
  
Bài 2: Giải phương trình : 3 3 2 3 2cos3 cos sin 3 sin
8
x x x x   
Giải: 
Nhận xét: 
Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà 
ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng 
Phương trình    2 21 1 2 3 2cos cos 4 cos 2 sin cos 2 cos 4
2 2 8
x x x x x x      
   
   
2 2 2 2 22 3 2 2 3 2cos 4 cos sin cos 2 cos sin cos 4 cos 2
4 4
24cos 4 2 1 cos 4 2 3 2 cos 4
2 16 2
x x x x x x x x
kx x x x k Z 
 
       
           
Cách khác: 
Sử dụng công thức nhân ba 
3 3 1 3 3 3 1 3cos3 cos sin 3 sin cos3 cos3 cos sin sin sin 3 cos 4
4 4 4 4 4 4
x x x x x x x x x x x            
   
Bài tập tự giải: 
Bài 1: (HVQHQT – 2000) Giải phương trình: cos cos3 2cos5 0x x x   
Đs: 
1,2
2
2
x k
x k




  

   
 với 1,2
1 17cos
8


 
Bài 2: (ĐHNT 1997) Giải phương trình: 9sin 6cos – 3sin 2 cos 2 8x x x x   
Đs: 2
2
x k   
Bài 3: (ĐHNTHCM – 2000) Giải phương trình: 1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x     
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 13 
Đs: 2
3
7,
6 6
x k
x k
x k x k



 
 

 

   


       

Bài 4: (ĐHYN – 2000) Giải phương trình: sin 4 tanx x 
Đs: 
2
x k
x k





   

 với 1 3cos
2

 
 
Bài 5: (ĐHYHN – 1996) Giải phương trình:  cos – sin cos sin cos cos 2x x x x x x 
Đs: 2
4
x k
x k




  

  

Bài 6: (ĐHHH – 2000) Giải phương trình:    22sin 1 3cos 4 2sin – 4 4cos 3x x x x    
Đs: 
2
6
7 2
6
2
x k
x k
kx





   

  


 

Bài 7: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: 3 3cos – sin sin – cosx x x x 
Đs: 
4
x k   
Bài 8: (ĐTTS – 1996) Giải phương trình: 3 3cos sin sin – cosx x x x  
Đs: 
2
x k   
Bài 9: (ĐHCSND – 2000) Giải phương trình: 3 3cos sin sin 2 sin cosx x x x x    
Đs: 
2
kx  
Bài 10: (HVQY – 2000) Giải phương trình: 2 3cos sin cos 0x x x   
Đs: 
2
2
4
x k
x k
 

 
 

   

 với 1cos 1
2
   
Bài 11: (HVNHHN – 2000) Giải phương trình: 3 2cos cos 2sin – 2 0x x x   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 14 
Đs: 
2
2
2
2
2
x k
x k
x k





  

   

 

Bài 12: (HVNHHCM – 2000) Giải phương trình: 2 3sin sin cos 0x x x   
Đs: 
2
2
4
x k
x k
 

 
 

   

 với 1cos 1
2
   
Bài 13: (DDHBCVTHCM – 1997) Giải phương trình: 2cos – 4sin cos 0x x x  
Đs: 2
x k
x k


 
  

 
 với 1tan
4
  
Bài 14: (HVKTQS – 1999) Giải phương trình: 3 32sin – sin 2cos – cos cos 2x x x x x  
Đs: 
2
4
4 2
2
x k
kx
x k


 
 
   

  

  

Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trình: 34cos 3 2 sin 2 8cosx x x  
Đs: 
2
2
4
3
4
x k
x k
x k






  

  


  

3. Sử dụng công thức hạ bậc 
Khi giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử 
dụng các công thức hạ bậc từ đó đưa về các phương trình cơ bản 
Bài 1: (ĐHAG – 2000) Giải phương trình 2 2 2 3sin sin 2 sin 3
2
x x x   
Giải: 
Nhận xét: 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 15 
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung 6 2 4
2
x x x  mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng 
công thức biến đổi tổng thành tích sau đó nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích 
cos 2 cos 4 cos 6 0 cos 4 (2cos 2 1) 0x x x x x       
cos 4 0
1 8 4 3cos 2
2
x
kx x k
x
  


       
  

Bài 2: (ĐH – B 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   
Giải: 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin, cos mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và kết hợp với công thức biến đổi tổng 
thành tích đưa về phương trình tích 
Phương trình 1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
2 2 2 2
x x x   
    
   cos12 cos10 cos8 cos 6 0x x x x     
2cos11 .cos 2cos 7 .cos 0x x x x   
 cos cos11 cos 7 0x x x   
cos .sin 9 .sin 2 0 sin 9 .sin 2 0x x x x x    
sin 9 0 9 9 ,
sin 2 0 2
2
x kx x k
k
x x k x k


 
   
        

 
Đs:  ; ,
9 2
x k x k k    
Chú ý: Có thể nhóm    cos12 cos8 cos10 cos 6 0x x x x    
Bài 3: (ĐH – D 2003) Giải phương trình: 2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
x xx    
 
Giải: 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và nhóm các hạng tử đưa về phương trình 
tích 
Điều kiện: cos 0x  
Phương trình 
21 cos tan
2 1 cos 0
2 2
x x
x
           
   2 2 2 31 sin tan 1 cos 0 1 sin sin cos cos 0x x x x x x x          
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 16 
(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0
sin cos 0
1 sin cos cos sin 0
x x x x x x
x x
x x x x
     
 
     
Khi sin cos 0 tan 1 ;
4
x x x x k k          
Khi 1 sin cos cos sin 0x x x x    
Đặt 
21cos sin sin cos
2
tt x x x x     
Ta được 2 2 1 0t t   1t   
2 3cos cos
4 2 4
x       
 
23 2 2
4 4 2
x k
x k
x k

 

 
       

  
So với điều kiện ta chỉ nhận 2x k    
Cách 2: 
2
2 2
2
1 sin 11 cos (1 cos ) (1 sin )sin (1 cos ) cos
2 2 2cos
xx x x x x x
x
              
2sin 1 2
(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0 cos 1 2
tan 1
4
x kx
x x x x x x k
x x k


 


  
          
     

Kết hợp với điều kiện ta được  kxkx 
4
2 
Chú ý: Vì cos 0 sin 1x x    nên ta loại ngay được 2
2
x k   
Đs:  2 , ,
4
x k x k k        
Bài 4: (ĐH – A 2005) Giải phương trình: 2 2cos 3 .cos 2 – cos 0x x x  
Giải: 
Cách 1: 
Phương trình 1 cos 6 1 cos 2.cos 2 0
2 2
x xx    
cos6 .cos 2 1 0x x    1 cos8 cos 4 1 0
2
x x    
22cos 4 1 cos 4 2 0x x     
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 17 
 
2
cos 4 1
2cos 4 cos 4 3 0 3cos 4 1
2
x
x x
x loai

    
    

 4 2
2
x k x k k     
Cách 2: 
 3 4 2cos 6 cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 .cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 1 0x x x x x x x           
Đs:  
2
kx k  
Cách 3: 
cos 6 cos 2 1x x  
cos 2 1 cos 6 1
cos 2 1 cos 6 1
x x
x x
  
      
Khi cos 2 1x  thì 
 3cos6 4cos 2 3cos 2x x x  =1 
Khi cos 2 1x   thì 
 3cos6 4cos 2 3cos 2 1x x x    
Vậy hệ trên tương đương sin 2 0x  cho ta nghiệm 
2
x k  
Chú ý: Một số kết quả thu được 1 sin ,cos 1x x   
sin 1 cos 1
sin .cos 1
sin 1 cos 1
a b
a b
a b
  
       
sin 1 sin 1
sin .sin 1
sin 1 sin 1
a b
a b
a b
  
       
cos 1 cos 1
cos .cos 1
cos 1 cos 1
a b
a b
a b
  
       
Tương tự cho trường hợp vế phải là 1 
sin 1 cos 1
sin .cos 1
sin 1 cos 1
a b
a b
a b
   
       
sin 1 sin 1
sin .sin 1
sin 1 sin 1
a b
a b
a b
   
       
cos 1 cos 1
cos .cos 1
cos 1 cos 1
a b
a b
a b
   
       
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 18 
Bài 5: (ĐHL – 1995) Giải phương trình 4 4cos sin 1
4
x x     
 
Giải: 
Phương trình 
2
2 1 cos 21 cos 2 2 1
2 2
x
x
               
 
 
2 2(1 cos 2 ) (1 sin 2 ) 1 cos 2 sin 2 1 2 cos 2 1
2
x x x x x               
 
1cos 2 ,
2 2 42
x x k x k k                
 
 
Bài 6: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 
 
1
1cos2
42
sin2cos32 2







 
x
xx 
Giải: 
Điều kiện: 
2
1cos x 
Phương trình 
0cos
2
3sin
2
120sincos31cos2
2
cos1cos)32( 

















  xxxxxxx  





 )12(
3
2
1cos
3
3
0
3
sin2 













  nx
x
kx
kxx 
Đs: ,
3
x k k    
Bài 7: (QGHN – 1998) Giải phương trình 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x  
Giải: 
Phương trình 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 cos 2 cos 4 1 cos 6 0
2 2 2
x x x x x x          
22cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0 4cos3 cos 2 cos 0x x x x x x x x x        
6 3
,
4 2
2
x k
x k k