Một số kiến thức Toán 9 cần nhớ

Đoàn Quốc Việt 1 
1, Phương trình:  2 0 0ax bx c a     
 - Phương trình  có 2 nghiệm phân biệt 0   
 - Phương trình  có 2 nghiệm trái dấu 
0
0P
 
 

 - Phương trình  có 2 nghiệm cùng dấu 
0
0P
 
 

 - Phương trình  có 2 nghiệm cùng dương 
0
0
0
P
S
 

 
 
 - Phương trình  có 2 nghiệm cùng âm 
0
0
0
P
S
 

 
 
 - Phương trình  có 2 nghiệm đối nhau 
0
0
0
P
S
 

 
 
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 – 5x – m + 3 = 0  
 a. Tìm điều kiện để phương trình  có 2 nghiệm trái dấu. 
 b. Tìm điều kiện để phương trình  có 2 nghiệm cùng âm. 
Giải: 
  = b2 – 4ac = (-5)2 – 4.2.( – m + 3) = 25 + 8m – 24 = 8m + 1 
 Giả sử phương trình có 2 nghiệm 1x , 2x 
 Theo định lí Vi-ét ta có: 
1 2
1 2
5 2,5
2
3
2
bS x x
a
c mP x x
a
      

    

 a. Phương trình  có 2 nghiệm trái dấu 
18 1 00 8 1
8830 3 00 32
m m m
mmP m m
         
         
       
 Vậy m > 3 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. 
 b. Phương trình  có 2 nghiệm cùng âm 
 
8 1 00
30 0
2
0 2,5 0 
m
mP
v líS ô
  
    
    
   
 Vậy không có giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm. 
2, Hệ phương trình: 
' ' '
ax by c
a x b y c
 

 
Đoàn Quốc Việt 2 
 - Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
' '
a b
a b
  
 - Hệ phương trình vô nghiệm 
' ' '
a b c
a b c
   
 - Hệ phương trình có vô số nghiệm 
' ' '
a b c
a b c
   
3, Hằng đẳng thức: 
 2 2 2( ) 2a b a ab b    
 2 2 2( ) 2a b a ab b    
 3 3 3 2 2( ) 3 3a b a b a b ab     
 3 3 3 2 2( ) 3 3a b a b a b ab     
 2 2 ( )( )a b a b a b    
  2 2 2 2( ) 2 ( ) 2a b a b ab a b ab       
  3 3 2 2( )( )a b a b a ab b     
  3 3 2 2( )( )a b a b a ab b     
  2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc        
  2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc        
4, Tỉ số lượng giác: 
sin  ñoái
huyeàn
; cos  keà
huyeàn
; ñoáitag =
keà
; keàcotag =
ñoái
Cung 0o 15o 30o 45o 60o 75o 90o 105o 120o 135o 150o 
Sin 0 6 2
4
 
1
2
 2
2
 3
2
 6 2
4
 1 6 2
4
 3
2
 2
2
1
2
Cos 1 6 2
4
 3
2
 2
2
1
2
 6 2
4
 0 6 2
4
  
1
2
 2
2
 3
2
 
Tag 0 2 3 3
3
 1 3 2 3   2 3  3 -1 3
3
 
Cotag  1 2 3
2
 3 1 3
3
 2 3 0 2 3  3
3
 -1 3 
5, Giải phương trình:  2 0 0ax bx c a    
 a. Dùng công thức nghiệm: (Với a, c trái dấu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt) 
 Ta có: 2 4b ac   
 - Với 0  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: 1 2
bx
a
  
 ; 2 2
bx
a
  
 
 - Với 0  thì phương trình có 2 nghiệm kép là: 1 2 2
bx x
a

  
 - Với 0  thì phương trình vô nghiệm. 
 b. Dùng công thức nghiệm thu gọn: 
 Với  2 ' 'b b b  thì ta có: 2' 'b ac   
 - Với ' 0  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: 1
'bx
a
  
 ; 2
'bx
a
  
 
 - Với ' 0  thì phương trình có 2 nghiệm kép là: 1 2
'bx x
a

  
 - Với ' 0  thì phương trình vô nghiệm. 
Đoàn Quốc Việt 3 
 c. Hệ thức Vi-ét: 
 Với 1x và 2x là 2 nghiệm của phương trình thì: 
1 2
1 2
bS x x
a
cP x x
a
    

 

1x và 2x 
 d. Nhẩm nghiệm: 
 - Nếu 0a b c   thì phương trình có nghiệm là: 1 1x  và 2
cx
a
 
 - Nếu 0a b c   thì phương trình có nghiệm là: 1 1x   
6, Một số công thức cần nhớ: (Đại số) 
 a. Với 0; 0a b  thì a b a b   (Dấu “=” xảy ra 0a  hoặc 0b  ) 
 b. Với 0a b  thì a b a b   (Dấu “=” xảy ra 0a  hoặc 0b  ) 
 c. Công thức căn phức tạp: 
2 2
2 2
A A B A A BA B       trong đó 0A  ; 0B  ; 2A B 
 d. Bất đẳng thức Cô-si: (Dấu “=” xảy ra a b  ) 
 - Dạng không có dấu căn: 
  
2( )
2
a b ab  
  2( ) 4a b ab  
  2 2 2a b ab  
 - Dạng có chứa dấu căn: 
  
2
a b ab  ( 0a  và 0b  ) 
  2a b ab  ( 0a  và 0b  ) 
  1 2
ab a b


 ( 0a  và 0b  ) 
 e. 
 0 0hay BA
A B
A B
 
  

 f. 
2
0B
A B
A B

  

 g. 
0
ha y 
B
A B
AA B B


 

 

 h. 2 2 hayX A X A X A     ; 2 2X A A X A     
 i. 2P X m m MinP m     ; 2' 'P m X m MaxP m     
7, Một số công thức cần nhớ: (Hình học) 
 a. Độ dài đường tròn: 2C R 
 b. Độ dài cung tròn: 
180
o
o
Rnl  
 c. Diện tích hình tròn: 2S R 
Đoàn Quốc Việt 4 
 d. Diện tích hình quạt tròn: 
2
360
o
o
R nS  
 e. Các công thức tính diện tích, thể tích: 
8, Góc và đường tròn: 
 - AOB : góc ở tâm chắn AB 
 - ACB : góc nội tiếp chắn AB 
 - EAB : góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AB 
 -   1
2
EAB ACB AOB  
 - 
 
2
sđ HmG sđH JDG In 
 - 
 
2
sđ AmG sđA JDG An 
 - 
 
2
sđ AmF sđE FDF An 
 -  
 
2
sđ JFCJKC BK mGG sđ B  
9, Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau, đường thẳng vuông góc: 
 a. Cho 2 đường thẳng    1 : 0d y ax b a   và    2 : ' ' ' 0d y a x b a   
 -  1d //  2d '; 'a a b b   
 -  1d cắt  2d 'a a  
 -  1d   2d '; 'a a b b   
 -    1 2d d . ' 1a a   
 b. Khi 0a  thì góc tạo góc tạo bởi đường thẳng y ax b  và trục Ox là góc nhọn. 
 Khi 0a  thì góc tạo góc tạo bởi đường thẳng y ax b  và trục Ox là góc tù. 
 c. Nếu  1d cắt  2d thì hoành độ giao điểm là nghiệm cua phương trình ' 'ax b a x b   . 
 d. Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y ax b  với trục Ox. Nếu 0a  thì tg a  . 
10, Các dạng phương trình đặc biệt: 
 a. Phương trình bậc 3:  3 2 0 0ax bx cx d a     (). 
Hình Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần Thể tích 
Hình trụ 2xqS Rh 22 2tpS Rh R   2V R h 
Hình nón xqS Rl 2tpS Rl R   2
1
3
V R h 
Hình cầu 24S R 3
4
3
V R 
Ghi chú: 
R – bán kính 
h – chiều cao 
l – đường sinh 
Đoàn Quốc Việt 5 
 Nếu biết một nghiệm 0x x thì phương trình () sẽ được đưa về dạng phương trình tích: 
2
0( )( )x x ax mx n   . 
 b. Phương trình hệ đối xứng bậc 4:  4 3 2 0 0ax bx cx bx a a      () 
  Phương pháp giải: 
 - Nhận xét 0x  không phải là nghiệm của phương trình (). 
 - Chia 2 vế của () cho 2x và nhóm các số hạng cách đều 2 số hạng đầu và cuối thành từng nhóm 
được phương trình (). 
 - Đặt ẩn phụ 1t x
x
  2 2 2
12t x
x
    rồi thế vào phương trình (). 
 - Giải phương trình trung gian này để tìm t rồi tìm ra x . 
  Về nghiệm số của phương trình: 
 Nếu 0x là nghiệm của phương trình () thì 
0
1
x
 cũng là nghiệm của nó. 
 c. Phương trình đối xứng bậc 5:  5 4 3 2 0 0ax bx cx cx bx a a       () 
 Phương trình () có nghiệm 1x   (Vì tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ). Vì thế () có thể 
biến đổi thành: 4 3 2( 1) ( ) ( ) ( ) 0x ax b a x c a b x b a x a            . 
 d. Phương trình hồi quy:  4 3 2 0 0ax bx cx mx n a      trong đó 
2n m
a b
   
 
 () 
  Phương pháp giải: 
 - Nhận xét 0x  không phải là nghiệm của phương trình (). 
 - Chia 2 vế của () cho 2x và nhóm các số hạng cách đều 2 số hạng đầu và cuối thành từng nhóm 
được phương trình (). 
 - Đặt ẩn phụ 
2
2 2
2 2
2m m mt x t x
bx b b x
      rồi thế vào phương trình (). 
 - Giải phương trình trung gian này để tìm t rồi tìm ra x . 
 e. Phương trình trong đó a d b c   : ( )( )( )( )x a x b x c x d m     () 
  Phương pháp giải: 
 - Viết lại () dưới dạng   ( )( ) ( )( ) 0x a x d x b x c m      () 
 - Khai triển các tích và đặt ẩn phụ t là 1 trong 2 biểu thức vừa khai triển. 
 - Thế ẩn phụ vào phường trình (), giải phương trình, tìm giá trị của t . 
 - Thế giá trị của t vào biểu thức ẩn phụ để tìm giá trị của x . 
 f. Phương trình dạng: 4 4( ) ( )x a x b c    
  Phương pháp giải: 
 - Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của ( )x a và ( )x b 
 - Đặt ẩn phụ 
2
a bt x   
11, Các tam giác đặc biệt: 
 a. Tam giác vuông cân: 
Đoàn Quốc Việt 6 
 - ABC vuông cân tại A; AB AC a  
 - ABC đồng dạng với ABH đồng dạng với ACH 
 -    90oBAC AHC AHB   
 -     45oBAH ABH ACH CAH    
 - 2 2BC AB AC  ; 2 2 2a HB HC AH   
 - AH là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, tia 
phân giác của ABC 
 - 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 22 2 2
2 2 2 2
BC BH CH BH AH CH AHa BH CH AH          
 - 
2 2.
2 2ABC
AH BC AH AHS

  
  Chứng minh một tam giác vuông cân: 
 


2
2
2
2
2
2
45
45
o
o
ABC A
BC AB
BC AC
BCAB
ABC ABCAC
AB AC
ABC ABC
ABC
ACB
 

 
   
 
 
 
 
  
 
 


  
vuoâng taïi
vuoâng caân taïi 
 b. Tam giác đều: 
 - ABC đều; AB AC BC a   
 - AH là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, tia phân 
giác của ABC 
 - 
2
aCH HB  ; 3
2
aAH  
 - 
2 3
4ABC
aS  
  Chứng minh một tam giác đều: 



60
60
60
o
o
o
ABC
ABC
 

     
caân
ABC
ñeàu
ACB
CAB
 c. Nửa tam giác đều: 
 - ABH và ACH là nửa tam giác đều 
Đoàn Quốc Việt 7 
 - 3 3 3 3
2 2
AB ACAH BH CH    
 - 3
2 2 3
AB AC AHCH BH    
 - 2 32 2
3
AHAB AC CH BH    
  Chứng minh nửa tam giác đều: 
 ( , ) 60
2
3
2
o
AHC
ACH AHC CAH
AHC
AH HC
ACHC
 


 
  
 



vuoâng
la ønöûa tam giaùc ñeàu 
12, Một số kiến thức cơ bản về hình học cấp 2: 
 a. Trung tuyến của tam giác: 
 - Trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng, một đầu nối đỉnh của tam giác, 
đầu kia nối trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh trên. 
 - Ta có: ABC có AM là trung tuyến MB MC  
 Áp dụng vào tam giác vuông: 
 - Định lí thuận: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với 
cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền. 
 - Định lí đảo: Trong một tam giác, đường trung tuyến ứng với 1 cạnh 
bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó vuông. 
 b. Tia phân giác: 
- Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc đó vào chia góc đó làm 2 góc 
bằng nhau. 
- Phân giác của tam giác là đoạn thẳng, một đầu là đỉnh của tam giác, đầu kia 
là giao điểm của của tia phân giác xuất phát từ đỉnh đó đến cạnh đối diện. 
- Ta có: ABC có AM là đường phân giác BM AB
CM AC
  
c. Đường trung trực: 
 - Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với 
đoạn thẳng đó tại trung điểm. 
 - Định lí 1: Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng 
AB thì M cách đều 2 đầu của đoạn thẳng. 
 - Định lí 2: Tập hợp các điểm cách đều 2 đầu của đoạn thẳng AB là đường 
trung trực của AB . 
 - Ta có: MAB có MH vừa là đường cao, vừa là tiếp tuyến, vừa là phân 
giác, vừa là trung trực ( MAB cân tại M ) 
 d. Đường trung bình của tam giác: 
Đoàn Quốc Việt 8 
- Định lí 1: Trong một tam giác, nếu 1 đường thẳng đi qua trung điểm của 
một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh 
thứ 3. 
- Định lí 2: Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song 
với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh thứ 3. 
- Đoạn thẳng nối trung điểm của một tam giác gọi là đường trung bình của 
tam giác đó. 
 e. Tính chất 3 đường trung tuyến: 
 - Trong một tam giác, 3 đường trung tuyến cắt nhau tai 1 điểm, điểm 
đó gọi là trọng tâm của tam giác. 
 - Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2
3
 trung tuyến đó. 
 f. Tính chất đường phân giác: 
  Tính chất đường phân giác: 
 - Định lí thuận: Bất cứ điểm nào nắm trên đường phân giác của 1 
góc thì cùng cách đều 2 cạnh góc đó. 
 - Định lí đảo: Điểm nào cách đều 2 cạnh của 1 góc thì nằm trên phân 
giác của góc đó. 
 Tính chất 3 phân giác trong một tam giác: Trong một tam giác, 3 
đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách đều 3 cạnh của 
tam giác. Điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. 
  Tính chất phân giác trong 1 tam giác: Trong một tam giác, đường phân giác trong (ngoài) chia cạnh đối 
diện thành những đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề. 
 g. Tính chất 3 đường trung trực của tam giác: 
 - Trong một tam giác, 3 đường trung trực cắt nhau tại 1 điểm. 
Điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác. Điểm đó gọi là tâm đương 
tròn ngoại tiếp tam giác. 
Đoàn Quốc Việt 9 
 h. Tính chất 3 đường cao của tam giác: 
- Trong một tam giác, 3 đường cao cắt nhau tai 1 điểm, điểm đó gọi 
là trực tâm của tam giác. 
 i. Tiên đề Ơ-clit: Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng, ta vẽ được một và chỉ một đương thẳng song 
song với đường thẳng đã cho. 
 - Hệ quả 1: Cho 2 đường thẳng song song, nếu một đường thẳng nào cắt đường thẳng thứ nhất thì nó 
cũng cắt đường thẳng thứ 2. 
 - Hệ quả 2: Nếu 2 đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau. 
 k. Định lí Thales trong tam giác: 
 - Định lí 1: Nếu một đoạn thẳng song song với một cạnh của tam giác thì nó chia 2 cạnh còn lại của tam 
giác thành những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. 
 - Định lí 2: Nếu một đường thẳng chắn 2 cạnh của một tam giác và chia 2 cạnh đó thành những đoạn 
thẳng tương ứng tỉ lệ thì nó song với cạnh còn lai của tam giác. 
 