Một số kỹ thuật giải hệ phương trình

MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
Loại 1: Trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hoặc y và có thể rút x theo y hoặc ngược lại.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau
Nhận xét x = 0 không thỏa mãn phương trình (2) nên ta có thể suy ra (3)
Thay (3) vào (1) ta được
Loại nghiệm x = 0, vậy phương trình có hai nghiệm (1; –1) và (–2; –5/2)
Loại 2: Một trong hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích có nhân tử là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau
Điều kiện: x ≥ 1 và y ≥ 0
(1) (x² – xy – 2y²) – (x + y) = 0 (x + y)(x – 2y) – (x + y) = 0
 (x + y)(x – 2y – 1) = 0 (3)
Vì x + y > 0 theo điều kiện trên nên (3) x = 2y + 1 (4)
Thay (4) vào (2) ta có: 
 (5) vì y + 1 > 0
(5) y = 2 suy ra x = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (5; 2)
Loại 3: Đưa một phương trình thành phương trình bậc hai đối với một ẩn và ẩn còn lại xem như tham số rồi dùng công thức nghiệm khi có thể.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau
Biến đổi phương trình (2) thành y² – 4(x + 2)y – 5x² + 16x + 16 = 0 với y là ẩn, x là tham số
Khi đó Δ’ = 4(x + 2)² – (–5x² + 16x + 16) = 9x²
Nhận xét Δ’ có dạng bình phương của một biểu thức bậc nhất theo x nên nghiệm của (2) có dạng
y = 2(x + 2) + 3x = 5x + 4 (a) hoặc y = 2(x + 2) – 3x = –x + 4 (b)
Thay (a) vào (1) ta có: (5x + 4)² = (5x + 4)(4 – x) x = –4/5 hoặc x = 0
Thay (b) vào (1) ta có: (4 – x)² = (5x + 4)(4 – x) x = 4 hoặc x = 0
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (–4/5; 0); (0; 4) và (4; 0)
* Lưu ý: ta cũng có thể đưa phương trình (2) về dạng tích giống như loại 2 nhưng nhân tử ở đây khó mà phán đoán ngay từ đầu nên dạng này thường dùng công thức nghiệm phương trình bậc hai để kiểm tra. Sau đó có thể chọn dùng cách giải phương trình bậc hai hoặc đưa về dạng tích cũng được.
	Mục đích chung trong cách giải của ba loại hệ phương trình trên là đưa một phương trình về dạng đơn giản và có thể dùng phương pháp thế ẩn này theo ẩn còn lại.
2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
	Đôi lúc ẩn phụ không xuất hiện ngay từ đầu mà cần biến đổi thích hợp như nhóm hạng tử, tách hạng tử, thêm bớt biểu thức phụ hoặc nhân chia cho một biểu thức khác không.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau
Ta thấy y = 0 không thỏa mãn phương trình (1) nên chia 2 vế các phương trình cho y ta được
 (*)
Đặt và b = y + x – 2 ta được
Từ đó ta có hệ phương trình sau
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1; 2) và (–2; 5)
3. Sử dụng phương pháp hàm số
	Dạng này thường có một phương trình có thể đưa về dạng f(u(x)) = f(v(y)) với f là hàm đơn điệu trên phạm vi xác định của hệ phương trình. Đôi khi cần cộng hay trừ hai phương trình thì mới xuất hiện phương trình nói trên. Khi đó có thể suy ra u(x) = v(y).
Loại 1: Hệ có phương trình có dạng f(u(x)) = f(v(y)) với f là hàm chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên miền xác định D của hệ phương trình.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau
Điều kiện y ≥ 0
Từ phương trình (2) suy ra x8 ≤ 1 và y4 ≤ 1 nên –1 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 1
Xét hàm số f(t) = t³ – 6t trên đoạn [–1; 1]
Đạo hàm f’(t) = 3t² – 6 < 0 với t thuộc đoạn [–1; 1]
Hay f(t) nghịch biến trên [–1; 1]
Do đó (1) (3) và x ≥ 0
Thay (3) vào (2) ta được 2x4 = 1 (4)
Giải (4) ta được 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Loại 2: Hệ có dạng đối xứng loại 2 và được biến đổi bằng cách trừ hai phương trình theo vế.
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình sau
Nhận xét nếu đổi chổ x và y cho nhau thì phương trình (1) biến thành phương trình (2) và ngược lại nên thuộc hệ phương trình đối xứng loại 2.
Trừ hai phương trình ta được 
 (3)
Xét hàm số f(t) = trên R
Đạo hàm f’(t) = 
Vì 
Nên f’(t) > 0 với mọi số thực t
Hay f(t) đồng biến trên R
Khi đó (3) f(x – 1) = f(y – 1) x = y (4)
Thay (4) vào (1) ta được (5)
Ta lại xét hàm số g(t) = trên R
Đạo hàm g’(t) = 
Vì Nên g’(t) < 0 với mọi số thực t
Hay hàm số g(t) nghịch biến trên R
mà g(0) = 0 nên phương trình (5) g(x – 1) = 0 x – 1 = 0 x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 1)
4. Sử dụng phương pháp đánh giá
	Trong phương pháp này thường sử dụng tính chất không âm của bình phương, căn thức và các bất đẳng thức cơ bản, đôi khi cũng có thể dùng hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình sau
Cộng phương trình (1) và (2) theo vế và rút gọn ta được
 (3)
Vì x² – 2x + 9 = (x – 1)² + 8 ≥ 8 và y² – 2y + 9 = (y – 1)² + 8 ≥ 8
Nên VT ≤ ≤ x² + y² = VP
Phương trình (3) x = y (4)
Thay (4) vào (1) ta có: 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0) và (1; 1)
Bài tập tự luyện
Giải hệ phương trình sau
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 
6. 	7. 
8. 	9. 
Một số lưu ý khi giải hệ phương trình:
	Cần nắm rõ điều kiện xác định của hệ phương trình và đôi khi cả điều kiện có nghiệm cũng rất quan trọng trong việc giải quyết bài toán.
	Thông thường, cần có những phép biến đổi nhất định mới tạo được các dạng hệ phương trình quen thuộc. Do đó học sinh cần rèn luyện qua nhiều dạng khác nhau, đồng thời cũng cố lại những kiến thức căn bản về phép biến đổi sử dụng hằng đẳng thức, phép phân tích thành nhân tử, quy tắc so sánh, tính chất hàm số và một số kiến thức khác đã học.
	Khi biến đổi và thế chỉ còn phương trình một ẩn không quen thuộc cũng không nên bỏ cuộc mà cần sử dụng một số phương pháp hàm số hoặc đánh giá để giải quyết tiếp. Đôi khi cần đoán trước nghiệm bằng máy tính.
Bài toán minh họa
Bài 1. (A 2008) Giải hệ phương trình sau
Phương trình (2) tương đương (x² + y)² + xy = –5/4
Phương trình (1) tương đương (x² + y) + xy + xy(x² + y) = –5/4
Nếu đặt u = x² + y và v = xy thì
phương trình (4) tương đương u = 0 hoặc u = –1/2
* u = 0 thì v = –5/4 ta có 
* u = –1/2 thì v = –3/2 ta có 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm và (1; –3/2)
Bài 2. (B 2009) Giải hệ phương trình sau
Dễ thấy y = 0 không thỏa mãn phương trình (2) nên chia hai vế phương trình (1) cho y và hai vế phương trình (2) cho y²
Đặt u = x + 1/y và v = x/y ta có 
Với u = 4 và v = 3: 
Với u = –5 và v = 12: trường hợp này không thỏa mãn điều kiện hệ phương trình có nghiệm là u² ≥ 4v nên loại trường hợp này.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (3; 1) và (1; 1/3)
Bài 3. Giải hệ phương trình sau
Đk: x ≥ 1 và y ≥ 0
Thế (2) vào (1) ta được: 	(4)
Xét hàm số f(x) = –x³ + x² – 2x + 9 với x ≥ 1
Đạo hàm f’(x) = –3x² + 2x – 2 = –x² + 2x(1 – x) – 2 < 0 với mọi x ≥ 1
Hàm số f(x) luôn nghịch biến trên [1; +∞)
Hàm số g(x) = luôn đồng biến trên [1; +∞)
Mà f(2) = g(2) = 1
Nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (4).
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (2; 1)
* Nhận xét: có thể thay việc sử dụng đạo hàm bằng cách nhóm và nhân liên hợp thích hợp.
Bài 4. (A 2010) Giải hệ phương trình
Điều kiện: x ≤ 3/4; y ≤ 5/2
Phương trình (1) tương đương (4x² + 1).2x = (3)
Xét hàm số f(t) = t³ + t
Đạo hàm f’(t) = 3t² + 1 > 0 với mọi t
Nên f(t) đồng biến trên R
Phương trình (3) tương đương hay x ≥ 0 và y = 5/2 – 2x²
Thay vào (2) ta có: 4x² + (3)
Xét hàm số g(x) = trên (0; 3/4)
Đạo hàm g’(x) = < 0 với 0 < x < 3/4
Nên g(x) nghịch biến trên (0; 3/4)
g(0) ≠ 7; g(3/4) ≠ 7 và g(1/2) = 7
Nên x = 1/2 là nghiệm duy nhất của (3)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1/2; 2)
Bài tập tự luyện
Giải hệ phương trình
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 
9. 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Dạng 1. Hệ phương trình quy về hệ bậc nhất hai ẩn
Bài tập: Giải hệ phương trình
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
Dạng 2. Hệ phương trình có một phương trình bậc hai hoặc bậc cao hơn và một phương trình bậc nhất.
Bài tập: Giải hệ phương trình
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 
Dạng 3. Hệ phương trình đối xứng loại I
	Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ có các phương trình không thay đổi khi hóa vị x và y cho nhau. Cho nên phương pháp thường dùng là biến đổi làm xuất hiện tổng và tích rồi đặt ẩn phụ nếu cần thiết. Ngoài ra nếu hệ có nghiệm (xo; yo) thì hệ cũng có nghiệm (yo; xo).
Bài tập: Giải hệ phương trình
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11*. 	12. 
13. 	14. 	15. 
16. 	17. 	18. 
19. 	20. 	21. 
Dạng 4. Hệ phương trình đối xứng loại II
	Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ mà khi hoán đổi x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình còn lại và ngược lại. Cách giải thường dùng là trừ hai phương trình cho nhau nhằm làm xuất hiện nhân tử (x – y).
Bài tập: giải hệ phương trình
1. 	2. 	3. 	4. 
5. 	6. 	7. 	8. 
9. 	10. 	11. 	12. 
Dạng 5. Hệ phương trình đẳng cấp
	Hệ gồm hai phương trình có dạng là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai. Cách giải thường là nhân một trong hai phương trình với một số thích hợp khác không, sau đó cộng trừ hai phương trình để thu được một phương trình đẳng cấp.
Bài tập: giải hệ phương trình
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐH CĐ
Giải hệ phương trình
1. (B 2002) 	2. (D 2002) 
3. (A 2003) 	4. (B 2003) 
5. (A 2004) 	6. (D 2005) 
7. (A 2006) 	8. (B 2008) 
9. (D 2008) 	10. (A 2009) .
11. (D 2009) 	12. (B 2010) 
13. (D 2010) 	14. (A 2010) 
15. (A 2011) 	16. (D 2012) 
17. (AA1 2012) 
18. (AA1 2013) 
19. (B 2013) 
CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Giải hệ phương trình
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 
6. 	7. 	8. 
9. 	10. 
11. 	12. 	13. 
14. 	15. 
16. 	17. 
18. 	19. 	20. 
21. 	22. 
23. 	24. 	25. 
26. 	27. 	28. 
29. 	30. 
31. 	32. 
33. 	34. 	35.