Một số mẫu đề thi Đại học môn Toán

Đề số 1
A.Phần bắc buộc.
Câu I: 
Cho hàm số : y = 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tìm tất cả những điểm M trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Câu II.
Cho hàm số : .
1. Giải bất phương trình : với .
2. Tìm m để : với mọi .
Câu III:
1. Tính tích phân : 
2. Tính tích phân : 
Câu IV: 
1. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
2. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ( chữ số đầu tiên phải khác 0)?
B. Phần tự chọn. (Chọn một trong hai câu 5a hoặc 5b)
Câu Va:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm I(1,1,1) và đường thẳng (D) có phương trình:
: x – 2y + z – 9 = 0
 2y + z + 5 = 0
1. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của I lên đường thẳng (D).
2. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm tại I và cắt đường thẳng (D) tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
Câu Vb:
Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , SD = a.
1. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông. Tính diện tích tam giác SBC.
2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
đề số 2
Câu I: Cho hàm số y = x3 - a2x2 + 1
Tìm a để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = 5. Khảo sát hàm số với giá trị a vừa tìm được.
Đường thẳng y = 5 tiếp xúc với đồ thị hàm số trong câu 1 tại A và cắt đường cong tại một điểm B. Tìm hoành độ điểm B.
Tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu của họ đường cong khi a thay đổi.
Câu II: 
 1.Giải bất phương trình :
 2. Giải và biện luận phương trình theo a :
Câu III :
Giải phương trình lượng giác :
CMR điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là :
Câu IV : Cho 
 1.Tính I1
 2.Lập hệ thức giữa Invà In+1 . Tìm lim In
Câu V : Cho các đường thẳng :
 ( d1) : và (d2) :
 Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng vuông góc chung (d) của (d1) và ( d2).Tính toạ độ giao điểm H,K của (d) với (d1),(d2).
 đề số 3
Câu I : Cho hàm số 
KSHS khi a =1
CMR khi a thay đổi, giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị không đổi.Tìm a để tiềm cận xiên của đồ thị làm 2 trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 1.
Câu II :
Giải hệ phương trình:
 2.Giải phương trình :
Câu III:
 1.Giải phương trình:
 2.CMR: tam giác ABC cân khi và chỉ khi :
Câu IV: Tính các tích phân :
 1. 
 2. 
Câu V: ( thí sinh chon 1 trong 2 đề sau):
 1.Cho hai đường thẳng:
 và 
Viết phương trình mặt phẳng P và Q song song nhau lần lượt qua (d1) và (d2).
Tính khoảng cách giữa hai dường thẳng trên.
Viết phương trình đường thẳng (D) song song trục oz và cắt hai đường thẳng trên.
 2.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD=a.
Tính thể tích và diện tích toàn phần hính chóp theo a.
Tính cosin của góc nhị diện (SAB,SAD).
Đề số 4
Câu I:
 Cho hàm số ( C)
 1.Tim m để (Cm)có hai điểm cực trịnằm về hai phía của đường thẳng 
 x+2y-3 =0
 2.Tìm a để phương trình sau đây có nghiệm :
Câu II:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm K(1;1) cắt elip tại hai điểm P,Q sao cho KP =KQ.
Câu III:
 Tính tích phân : 
Câu IV: Cho n là số nguyên dương :
 1.CMR : 
 2.CMR :
Câu V:
 Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (p): 
 1.Tìm toạ độ giao điểm A của d với (p).Tính góc tạo bởi (d) và (p)/
 2.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A; phương trình đương thẳng này nằm trong (p)và hợp với (d) một góc là 300.
Câu VI:
 Giải hệ phương trình : 
CâuVII:
 Giải phương trình :
Đề số 5
Câu 1: (2 điểm)
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số : ( m là tham số )
1. Khảo sát hàm số (*) ứng với m = 1.
2. Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung.
Câu 2: (2 điểm ) 
1. GiảI hệ phương trình : 
2. Tìm nghiệm trên khoảng (0,p) của phương trình:
Câu 3: (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm , phương trình đường thẳng BC là : x - 2y - 4 = 0 và phương trinhg đường thẳng BG là : 7x - 4y - 8 = 0. Tìm toạ độ các điểm A, B, C.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
	a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC. Tìm toạ độ giao điểm của AC với mặt phẳng (P).
	b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu 4: (2 điểm)
1. Tính tích phân : I = 
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
Câu 5: (1 điểm)
Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 
đề số 6
Câu 1 : (2 điểm)
1. Khảo sát hàm số (C)
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-1, 0) và tiếp xúc với đồ thị (C) .
Câu 2 : ( 2 điểm)
1. Giải hệ phương trình : 
2. Giải phương trình : 
Câu 3: (3 điểm) 
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 12x - 4y + 36 = 0. Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường trong (C).
2. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4). 
	a) Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S.
	b) Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC.
Câu 4: ( 2 điểm)
1. Tính tích phân : I = 
2. Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 – 3x)2n , trong đó n là số nguyên dương thoả mãn : . 
Câu 5: ( 1 điểm) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0, ta có : 
	Đẳng thức xảy ra khi nào ?
đề số 7
Câu 1: (2 điểm) 
1. Khảo sát hàm số y = x4 - 6x2 + 5 (C )
2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : x4 - 6x2 - log2m = 0.
Câu 2 : ( 2 điểm)
1. Giải phương trình : 
2. GiảI phương trình : sinx.cos2x + cos2x.(tg2x - 1) + 2sin3x = 0
Câu 3: (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) : . Viết phương trình tiếp tuyến d của (E) biết d cắt 2 trục toạ độ Ox, Oy lần lượt tai A, B sao cho AO = 2BO.
2. Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng 
 d1: và d2 : (t là tham số)
	a) Xét vị trí tương đối của d1 và d2.
	b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x - y + z = 0 và độ dài đoạn MN = 
Câu 4: (2 điểm)
1. Tính tích phân : .
2. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phảI có ít nhất 3 nữ.
Câu 5 : ( 1 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn : a + b + c = . 
Chứng minh rằng : . Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đề số 8
Câu 1 : (2 điểm)
	Cho hàm số : (*)
1. Khảo sát hàm số (*), đồ thị (C )
2. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận của (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đI qua điểm I.
Câu 2: ( 2 điểm)
1. Giải bất phương trình : 
2. GiảI phương trình : 
Câu 3: (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường tròn : 
(C1) : x2 + y2 = 9 , 	(C2) : x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = 0
	Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn (C1) và (C2). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của đường tròn (C1) nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của đường tròn (C2).
2. Trong không gian Oxyz cho điểm M(5,2,-3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 1 = 0
	a) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) . Xác định toạ độ điểm M1 và tính độ dài đoạn MM1.
	b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đI qua M và chứa đường thẳng :
Câu 4: (2 điểm)
1. Tính tích phân : 
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phảI có hai chữ số 1 và 5 ?
Câu 5: ( 1 điểm) Chứng minh rằng nếu thì 
 Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đề số 9
Câu 1:( 2 điểm)
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = - x3 + (2m + 1)x2 - m - 1 (1)
1) Khảo sát hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx - m - 1.
Câu 2:(2 điểm)
	1) Giải bất phương trình : 
	2) Giải phương trình : 
Câu 3: (3 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường tròn :
	(C) : x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0
	Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x – y + 3 = 0 sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C).
	2) Trong không gian Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2, 0, 0), B(0, 4, 0) , O1(0, 0, 4) 
	a. Tìm toạ độ các điểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O1 .
	b. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với O1A và cắt OA, OA1 lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn KN.
Câu 4: ( 2 điểm)
	1) Tính tích phân : I = 
	2) Tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất. 
Câu 5: (1 điểm)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
đề số 10
Câu 1: (2 điểm)
	1) Khảo sát hàm số : 
	2) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2: ( 2 điểm) 
	1) Giải bất phương trình : 
	2) GiảI phương trình : sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0
Câu 3: (3 điểm)
	1) Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(0, 5); B(2, 3). Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và có bán kính .
	2) Trong kg với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0, 0, 0); B(2, 0, 0) ; D1(0, 2, 2).
	a. Xác định toạ độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 2 mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc với nhau.
	b. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N khác A) tới 2 mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của N.
Câu 4: (2 điểm)
	1) Tính tích phân : 
	2) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức : 
Câu 5: ( 1 điểm) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng : 
Đề số 11
Câu I 
	Cho hàm số: y = x4 – 2m2x2 + 1 (1) với m là tham số
1)Khảo sát hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Câu II:
1) Giải phương trình: 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx
2) GiảI bất phương trình: 
Câu III:
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d:
 và điểm A(-1 ; 1)
Viết phương trình đường tròn đI qua điểm A, qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1B1C1D1 có A trùng với gốc toạ độ O, B(1; 0; 0), D (0, 1, 0), A1 (0, 0, ).
	a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đI qua 3 điểm A1, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 trên mặt phẳng (P).
	b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q).
Câu IV:
1) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường 
2) Cho tập A gồm n phần tử, n 7. Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của tập A bằng 2 lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A.
Câu V:
Gọi (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình với m là tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 + y2 – 2x, khi m thay đổi.
đề số 13
Câu I : Xét hàm số : 
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số 
 2.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (1) biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng 3y – x + 6 = 0.
	3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình : x2 + (3 – a)x + 3 – 2a = 0 
Và so sánh các nghiệm với số - 3 và - 1.
Câu II: GiảI và biện luận phương trình sau :
	1. 
	2. (m – 1) sin2x – 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0
Câu III. Tìm diện tích miền giới hạn bởi các đường : y = x và y = sinh2x + x với 
Câu IV: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(- 1, 2, - 3), vuông góc với vecto =(6, -2, -3)
 Và cắt đường thẳng 
Câu V : Cho hình vuông ABCD cạnh a và tâm O. Ta vẽ từ A, B, C, D cùng một phía đối với nửa mặt phẳng (ABCD) 4 nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mp(ABCD). Trên Ax lấy A’ sao cho OA’ = a, trên Cz lấy C’ sao cho A’C’ = 2a. 
Tính CC’ theo a. Chứng minh tam giác C’A’O vuông và A’C’ vuông góc với mp(DA’B).
Trên By lấy B’ sao cho BB’ = x, trên Dt lấy D’ sao cho DD’ = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y, a sao cho A’, B’, C’, D’ cùng nằm trên một mặt phẳng và trong trường hợp đó chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
Tìm x để:
Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua D.
Hình bình hành A’B’C’D’ là hình thoi hoặc hình chữ nhật.