Một số phương pháp Chứng minh thường gặp

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau :
Chỉ rõ chúng là những yếu tố tương ứng (cạnh, trung tuyến, đường cao, phân giác) trong các hình bằng nhau (tam giác, tứ giác).
Chỉ rõ chúng là các cạnh bên của tam giác cân, chúng là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền trong tam giác vuông
Chỉ rõ chúng là những cạnh đối trong một HBH, HCN, HV, hình thoi, các đường chéo của hình thang cân, HCN, HV.
Chỉ rõ chúng là những khoảng cách từ một điểm nằm trên đường phân giác của một góc đến hai cạnh của góc ấy.
Chỉ rõ chúng là những dây cung trương các dây bằng nhau hoặc là những tiếp tuyến vẽ từ một điểm đến một đường tròn
Chỉ rõ chúng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
Chứng minh các góc bằng nhau :
Chỉ rõ chúng là các góc tương ứng trong các tam giác, tứ giác bằng nhau (hoặc đồng dạng với nhau.
Chỉ rõ chúng là các góc đáy của một hình thang cân, tam giác cân, các góc đối của 1 HBH, Hình thoi.
Chúng cùng bằng hoặc cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba hoặc với những góc bằng nhau.
Chúng là các góc nhọn hoặc tù có các cạnh tương ứng vuông góc hoặc song song , chúng là các góc đối đỉnh, so le trong, so le ngoài, đồng vị. 
Chúng là các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Chúng có các tỉ số lượng giác bằng nhau(sin, cos, tg, cotg)
Chứng minh hai đoạn thẳng song song :
Tạo với một cát tuyến các góc so le trong(ngoài), đồng vị bằng nhau hoặc góc trong cùng phía bằng nhau.
Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba .
Đường trung bình của một tam giác, hình thang đối với cạnh đáy
Các cạnh đối của 1 HBH, HCN, HV, Hình thoi .
Hai đường thẳng định trên hai cạnh của một góc những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì song song nhau. 
Chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc :
Chỉ rõ chúng là những đường phân giác của hai góc kề bù.
Các cặp cạnh tương ứng còn lại của hai góc nhọn(hoặc tù)bằng nhau mà đã có một cặp cạnh vuông góc .
Chỉ rõ đường này song song với một đường thẳng vuông góc với đường kia.
Chỉ rõ chúng là đường chéo của hình vuông, hình thoi.
Chỉ rõ chúng là 2 cạnh của một góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, là tiếp tuyến của một đường tròn với bán kính đi qua tiếp điểm .
Sử dụng tính chất của tam giác vuông(tổng 2 góc nhọn bằng 1V) hoặc các cạnh của nó thỏa mãn tính chất của định lý Pitago.
Sử dụng tính chất của trực tâm trong một tam giác 
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Chứng minh rằng đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm của hai đường kia .
Chứng minh chúng là những đường đặc biệt trong tam giác (đường cao, trung tuyến, trung trực , phân giác )
Ba đường thẳng định ra trên 2 đường thẳng song song những đoạn tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy
Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng
Chứng minh góc AOB = 1800
Chứng minh AB đường kính của đường tròn tâm O (Dùng góc nội tiếp chắn nửa đương tròn)
Chứnh minh OA, OB cùng song song với một đường thẳng.
Sử dụng tính chất của góc đối đỉnh .
Chứng minh chúng có những tính chất chung để thuộc về một đường thẳng (đường trung bình trong tam giác , đường trung trực của một đoạn thẳng, đường phân giác của một góc..) .
Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 
Chứng minh tổng hai góc đối bằng 2V
Chứng minh 2 đỉnh C, D nhìn đáy AB dưới những góc bằng nhau( Trường hợp C, D nhìn AB dưới những góc vuông thì tứ giác ABCD nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB)
Kéo dài AB, CD cắt nhau tại P ta đi chứng minh PA.PB =PC .PD
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ CẠNH, GÓC, DIẾN TÍCH
Tính độ dài đọan thẳng:Ta dựa vào các định lý về đọan thẳng tỉ lệ, định lý Pitago các tỉ số lượng giác của góc nhọn 
Tính độ lớn các góc : Ta dựa vào tính chất tổng các góc trong tam giác, tứ giác , định lý về góc ngòai hoặc sử dụng các định lý liên quan đến góc nội tiếp và góc ở tâm , số đo của góc nội tiếp và cung bị chắn, góc có đỉnh nằm ở trong và ngòai đường tròn tính chất về 
Tính diện tích của các hình.
CÁC BÀI TẬP VỀ TỨ GIÁC
Bài 1 : Cho hình thang ABCD. Phân giác góc A cắt cạnh BC tại E
Chứng minh AB = BE
Phân giác góc B Cắt AE tại F . Chứng minh góc BFE = 90o
Gọi M là điểm giữa của AB .Chứng minh MF kéo dài cắt cạnh CD tại điểm giữa N của nó.
Bài 2 : Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M ở trong tam giác ta vẽ các nửa đường thẳng song song với BC cắt AB tại D . Song song với AC cắt BC tại E , song song với AB cắt AC tại F.Chứng minh rằng :
	a)Tứ giác BDME, CFME, ADMF là những hình thang cân
	b) Góc DME =EMF =FMD
	c) MA+MB+MC =chu vi tam giác DEF 
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo AC ta lấy 2 điểm E và F sao cho AE= EF= FC
	a)Chứng minh tứ giác BFDE là hình bình hành 
	b)BF kéo dài cắt CD tại M. Chứnh minh BF = 2FM
Bài 4 : Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . Gọi E và F là các điểm giữa của BG và CG 
	a)Chứng minh tứ giác ENMF là hình bình hành
	b)Nếu tam giác ABC cân thì tứ giác ENMF là hình gì ? Tại sao ?
Bài 5 : Cho hình thang ABCD vuông góc tại A . Đáy AD bằng 2 lần đáy BC . Đường chéo AC chia đôi góc A. Vẽ CE//AB. Chứng minh rằng :
	a)Tứ giác ABCE là hình vuông.
	b)Tứ giác BCDE là hình bình hành.
	c) Tam giác CAD vuông cân.
Bài 6 : Cho tam giác đều ABC. Gọi D, E, F là các điểm giữa của các cạnh AB, A BC . Qua A vẽ một đường thẳng song song với BC gặp EF kéo dài tại H . Chứng minh rằng :
	a)Tứ giác ABEH là hình bình hành .
	b )Tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
	c)Tứ giác BDFC là hình thang cân và AE là trục đối xứng của nó. 
Bài 7 : Cho tam giác ABC, gọi E, F là các điểm nằm giữa của hai cạnh BC và AC . kéo dài EF một đoạn FD = FE.
	a)Chứng minh tứ giác AECD là hình bình hành .
	b)Tam giác ABC phải có những điều kiện gì (về cạnh và góc)để tứ giác AECD là
Hình chữ nhật
Hình thoi
Hình vuông
Bài 8 : Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD và kéo dài CE một đọan EF = EC . Từ F kẻ FG^ AB và FH ^ AD. Chứng minh rằng.
	a)Tứ giác AGFH là hình chữ nhật 
	b)AF // BD
	c)Ba điểm H, G, E thẳng hàng
CÁC BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC, GÓC, ĐỌAN THẲNG , GÓC, SONG SONG, VUÔNG GÓC
Bài 1 : Trên các cạnh Ox, Oy của góc xOy lấy các điểm A, B sao cho OA =OB . Tia phân giác của góc xOy cắt AB tại C. Chứng minh rằng
C là trung điểm của AB 
AB vuông góc với OC.
Bài 2 : Cho tam giác ABC(Â <900) . Vẽ tia Ax ^ AC , trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AC (D và B nằm khác phía đối với A,C). Vẽ tia Ay ^ AB trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AB (E và C nằm khác phía đối với AB ). Chứng minh rằng 
	a)D BAD = D EAC.
	b) BD = EC
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên AB, E trên AC sao cho AD=AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng :
BE = CD
D KBD = D KCE
Bài 4 : Trên các cạnh AB, AC của tam giác cân ABC lấy hai điểm D, E sao cho BD = CE . Gọi I làa giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng :
	a) ID= IE
	b)AI là tia phân giác của góc A.
Bài 5 : Tam giác ABC có 3 góc nhọn , đường cao AH. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của HE. Gôi I và K là giao điểm của DE với AB và AC.Chứng minh HA là tia phân giác của góc IHK
Bài 6 : Các điểm D và E nằm trên các cạnh của tam giác ABC sao cho BD = CE . Các đường trunbg trực của BD và CE cắt nhau tại K . Chứng minh rằng DK = EC
Bài 7 : Về một phía của đọan thẳng BC vẽ tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy là 500 và tam giác đều EBC. Tính số đo góc CAE và ACD
Bài 8 : Cho đọan thẳng AB, d là đường trung trực của AB . Người ta lấy trên d hai điểm tùy ý. Nối A với B, C với D
	a) Chứng minh rằng CÂD = CD
	b)Gọi E = AC BD, F = AD BC. Chứng minh rằng AB // EF
Bài 9 : Cho đọan thẳng BC, về hai phía của BC vẽ các đọan thẳng BD và CA bằng nhau sao cho BA=CD. Chứng minh rằng CD // AB.
Bài 10 : Cho tam giác ABC. Xác định các điểm D và E sao cho C là trung điểm chung của AD và CE. Chứng minh rằng AB // DFE
Bài 11: Cho xÔy = 700 , A nằm trên Ox , BỴ Oy. Qua A vẽ đường thẳng song song với OB , qua B vẽ đường thẳng song song với OA chúng cắt nhau tại C. Tính số đo góc ACB
Bài 12 : Hai đọan thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đọan. Chứng minh DÂC+AB = 1800
Bài 13 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM vẽ đoạn AD vuông góc và bằng AB (D,C nằm khác phía đối với AC). Chứng minh rằng AM = DE
Gợi ý : Trên tia đối của tia MA lấy MK = AM. CMR AK = DÂE.
Bài 14 :Cho tam giác ABC có =1100 , =300 . Đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài đỉnh A cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh rằng AÊB = 
Bài 15 : Cho tam giác ABC ( > ). Đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài đỉnh A cắt đường thẳng BC tại E. Tính số đo góc AEB 
Bài 16 : Cho tam giác ABC có - = a đường phân giác AD Tính số đo các góc ADB và ADC
Bài 17 : Cho D ABC có nhọn có - = a . Vẽ d8ường cao AH và đường phân giác AD . Chứng minh rằng HÂD = 
Bài 18 : Cho hai đọan AB và CD cắt nhau tại E, các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng 
Bài 19: Trong D ABC có các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H, K là các trung điểm của GB và GC. Chứng minh rằng Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên AB, E trên AC sao cho AD=AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng :
D DGE = DHGK
GD =BG
Bài 20 : Cho D ABC, gọi Bx và Cy là các đường thẳng chứa các tia phân giác của góc ngoài đỉnh B và C . Vẽ AD ^ Bx, AE ^ Cy ( D thuộc Bx, E thuộc Cy ). Chứng minh rằng :
	a) DE //BC
	b) DE = (AB + AC + BC) . Gợi ý : Gọi M, N là giao điểm của AD và AE với BC 
Bài 21 : Cho D ABC(Â <90O) có D, E, F lần lượt là các trung điểm các cạnh BC, AC,và AB. Vẽ ra ngoài D ABC các đọan FK, EG sao cho FK ^ FA(FK=FA) và EG ^ EA(EG = EA)..Chứng minh 
D KFD = D DEG
 KD = DG
KD ^ DG 
Bài 22 : Cho D ABC có Â = 700 , AC > AB. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M, N, I lần lượt là các trung điểm của BC, DE và DC.
D MNI là tam giác gì ? Chứng minh.
Gọi F là giao điểm của MN và AC. Tính số đo góc MIC
Bài 23 : Cho tam giác ABC, AC >AB. Gọi D, E, F là trung điểm các cạnh BC, Ac, AB. Trên AC lấy đỉem M sao cho CM = (AB +AC). Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc EDF.
Bài 24 : Cho D ABC, từ trung điểm D của BC kẻ đường vu6ông góc với đường phân giác của góc A cắt AB, AC tại M, N .
Chứng minh rằng BM = CN.
Gọi AB = c, AC = b. Tính AM, BM theo b, c