Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
Phương pháp thường gặp để giải một phương trình (PT) lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác “Hợp lí” để đưa về PT quen thuộc đã biết cách giải như: PT cơ bản, PT bậc hai hoặc bậc cao đối với một hàm số lượng giác, PT đối xứng hoặc bậc nhất đối với sinx, cosx ... cốt lõi của vấn đề là cần nắm vững, sử dụng thành thạo các công thức lượng giác. 
Ta nói biến đổi “Hợp lí” vì các phép biến đổi lượng giác thường rất đa dạng và cho nhiều kết quả khác nhau. 
Thí dụ: Nếu cần biến đổi , thì tùy thuộc theo đề bài cụ thể, chúng ta sử dụng một trong các kết quả sau: , chẳng hạn:
* Với PT thì cần chọn để đưa về PT bậc hai đối với sin2x.
* Với PT cần lấy KQ để đưa về PT bậc hai với cos2x.
* Với PT cần lấy KQ để đưa về PT bậc nhất với sin4x, cos4x Việc phân loại bài tập dưới đây chỉ mang tính tương đối vì các bài toán PT lượng giác là khá phong phú về thể loại và phương pháp giải. 
§1. BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PT CƠ BẢN: 
a. Lưu ý
 *, 
* Nếu trong PT có chứa các biểu thức dạng thì dùng phép biến đổi sau:
, 
b. Bài tập
1/
2/
3/
4/
5/
cosx. cos7x = cos3x. cos5x
6/
7/
8/
9/
10/
11/
12/
13/
14/
15/
tg4x + 1 = 
16/
17/
18/
§2. BIẾN ĐỔI VỀ PT CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a. Lưu ý:
+ Ngoài các công thức cơ bản như công thức nhân đôi, hạ bậc, biến tổng thành tích, tích thành tổng ... cần lưu ý thêm một số đồng nhất sau: 
, 
+ Gặp PT đẳng cấp bậc 2 (bậc 3) với sinx, cosx thì sau khi thực hiện phép chia cho cos2x (hoặc cos3x) ta được PT bậc 2 (bậc 3) của tanx.
Lưu ý: PT đẳng cấp bậc hai có dạng a.sin2x + bsinx.cosx +c.cos2x + d = 0, còn PT đẳng cấp bậc 3 là PT có chứa các số hạng sin3x, cos3x, sinx, cosx, sin2x.cosx, cosx.sin2x.
b. Bài tập
1/
cos2x + cosx – 2 = 0
2/
3/
4/
5/
2sin3x + cos2x = sinx
6/
3(tgx + cotgx) = 2(2 + sin2x)
7/
sin4x + cos4x - sin2(2x) + 2 = 0
8/
2cos2x – 8cosx + 7 = 
9/
5(sinx + = cos2x + 3
10/
cotgx – tgx + 4sin2x = 
11/
sin4x + cos4x + cos( ).sin(3x - ) - = 0
12/
13/
14/
15/
16/
17/
cotgx = tgx + 
18/
19/
sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + 5/4.cos2x
20/
sin8x + cos8x =cos22x
21/
22/
23/
5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x
24/
25/
26/
27/
sin2x + sin23x – 3cos22x = 0
28/
3cos4x – 2cos23x = 1, sin23x = 4cos4x +3
29/
cos3x – 4cos2x + 3cosx- 4 = 0
30/
3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0
31/
cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2
32/
3- tgx (tgx + 2sinx) + 6cosx = 0
33/
sinx.cos2x + cos2x(tan2x – 1) + 2sin3x = 0
34/
35/
(2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0
36/
37/
3sin2x + 4sin2x + 4cos2x = 3
38/
4sinx + 6cosx = 
39/
sinx + cosx = 
40/
41/
2sin5x + 2sin3x.cos2x + cos2x – sinx = 0
42/
4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2x.cosx = 0
43/
cos3x + sinx - 3sin2x.cosx = 0
44/
cos3x - 4sin3x - 3cosx.sin2x + sinx =0
45/
cos3x - sin3x = sinx – cosx
46/
4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0
47/
2cos3x = sin3x
48/
sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x
49/
sinx + cosx - 4sin3x = 0
50/
sin2x(tgx+1) = 3sinx(cosx - sinx)+3
51/
tanx.sin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx)
52/
53/
.sin3(x+) = 2 sinx
54/
8.cos3(x+) = cos3x 
55/
6sinx - 2cos3x =
56/
6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
§3. PT THƯỜNG GẶP VÀ PT QUY VỀ PT THƯỜNG GẶP
Trong phần này ta xét các PT thường gặp dạng sau:
- PT bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c.
- PT đối xứng bậc nhất với sinx, cosx: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx = c.
- PT gần đối xứng bậc nhất với sinx, cosx: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx = c.
- PT đẳng cấp bậc hai, bậc 3 với sinx, cosx (đã xét ở trên, phần PT chỉ chứa một hàm số lượng giác).
Dưới đây ta lưu ý cả các bài toán PT đối xứng bậc cao với sinx, cosx.
Bài tập 1 (PT đối xứng, gần đối xứng)
1/
4(sinx+cosx) +3sin2x-11=0
2/
sinx.cosx+2(sinx+cosx) = 2
3/
sinx - cosx + 7sin2x = 1
4/
sin2x + sin(x -) = 1
5/
(1-sinx.cosx)( sinx+cosx) = 
6/
1 + sin3x + cos3x = sin2x
7/
sin3x + cos3x = 
8/
(sinx+cosx)3+ sinx.cosx-1 = 0
9/
1+ tgx = 2sinx
10/
sinx.cosx = 6(sinx-cosx-1)
11/
12/
13/
sinx+cosx + = 
14/
cotgx - tgx = sinx + cosx
15/
sinx + cosx = 
16/
(1-sin2x)( sinx + cosx) = 2 cos2x - 1
Bài tập 2 (PT bậc nhất hoặc biến đổi về bậc nhất với sinx, cosx)
1/
sinx + cosx =1
2/
sin3x + cos3x = 
3/
sinx - cosx+=0
4/
cos7x -sin7x = -, x
5/
sin2x -cos2x = -
6/
5sin4x + 3cos4x = 6
7/
2cos2x + =1
8/
3sinx+1 = 4sin3x+cos3x
9/
3sin5x +cos15x = 1 + 4sin35x
10/
4cos2(x+) + sin2x =1
11/
12/
4sin3x.cos3x + 4cos3x.sin3x+=3
13/
14/
15/
T×m m ®Ó các ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : 
a) m.sin3x+(m+1)cos3x=5 
b) m.sin2x+()sin2x+3cos2x=4
16/
T×m gi¸ trÞ Max, Min cña hµm sè sau:
 a) y = , b) y = 
Lưu ý: Ngoài cách đặt ẩn phụ đối với PT đối xứng, gần đối xứng, PT đẳng cấp như đã xét ở trên, ta cần lưu ý thêm cách đặt ẩn phụ với các PT có chứa các đại lượng sin2x, cos2x, tan2x, cot2x. 
Với PT loại này ta có thể sử dụng công thức: “Nếu đặt thì tính được:, , để chuyển PT cần giải thành phương trình đại số ẩn t”.
Bài tập 3
1/
sin4x = tgx
2/
1 +3sin2x = 2tgx
3/
(1 – tgx)(1+sin2x) = 1 + tgx
4/
tgx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
5/
tgx + 2cotg2x = sin2x
6/
sin2x + cos2x + tgx = 2
§4. BIẾN ĐỔI VỀ PT TÍCH
a. Lưu ý:
Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặc các PT thường gặp (PT chỉ có một hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc nhất với sinx, cosx như đã trình bày ở trên) thì các bài toán sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về PT dạng tích là các bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh những năm gần đây. 
Để biến đổi về PT tích, chúng ta cần tạo ra các nhân tử chung, dưới đây là một số lưu ý:
Các biểu thức: 1 + sin2x; cos2x; 1 + tanx; 1 + cotx; cos3x + sin3x; cos4x - sin4x; cos3x – sin3x; tanx – cotx; có nhân tử chung là: sinx + cosx.
Các biểu thức: 1 - sin2x; cos2x; 1 - tanx; 1 - cotx; cos3x - sin3x; cos4x - sin4x; cos3x – sin3x; tanx – cotx; có nhân tử chung là: sinx - cosx.
Các biểu thức: sin3x ; sin2x; tan2x có nhân tử chung là 1- cosx hoặc 1 + cosx. 
Các biểu thức: cos3x ; cos2x; cot2x có nhân tử chung là 1- sinx hoặc 1 + sinx.
Các biểu thức: sin4x; sin3x; sin2x; tanx ... có nhân tử chung là sinx ...
 Ngoài ra khi nhóm các số hạng của sin hoặc cosin của các góc với nhau, ta cũng cần để ý những góc sao cho tổng hoặc hiệu các góc đó bằng nhau để làm xuất hiện nhân tử chung.
b. Bài tập
1/
sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0
2/
cosx+cos2x+cos3x+cos4x = 0
3/
1+cosx+cos2x+cos3x=0
4/
cos2x - cos8x + cos6x = 1
5/
cos4x - sinx = sin7x- cos2x
6/
cos10x - cos8x - cos6x + 1 = 0
7/
sin2x = cos22x + cos23x
8/
sin23x - cos24x = sin25x - cos26x
9/
cos2x + cos22x+ cos23x + cos24x = 
10/
sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x
11/
cosx.cos4x + cos2x.cos3x = 0
12/
sin3x - sinx +sin2x = 0
13/
(2sinx-1)(2cos2x+2sinx+1) = 3 - 4cos2x
14/
4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
15/
sinx + sin3x + 4cos3x = 0
16/
1 +sinx + cosx + sin2x +cos2x = 0
17/
sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x
18/
cosx + cos3x + 2cos5x = 0
19/
2cos6x + sin4x + cos2x = 0
20/
2cos3x + cos2x+sinx = 0
21/
a) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
22/
a) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinx.cosx =0
b) cos2x + 3sin2x + 5sinx – 3cosx = 3
b) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
23/
(cosx-sinx)cosx.sinx = cosx.cos2x
24/
sin4x = tgx
25/
cos3x+sin3x=sin2x+sinx+cosx
26/
cos2x + sin3x + cosx = 0
27/
cos3x + cos2x +2sinx-2 = 0
28/
sinx + sin2x + cos3x = 0
29/
2sin3x-sinx = 2cos3x- cosx+cos2x
30/
4cos3x +3sin2x = 8cosx
31/
32/
2= +
33/
34/
35/
3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx
36/
tg4x + tg2x = 4.sin2x
37/
cos5x +sin7x+1/2(cos3x+sin5x)sin2x=sinx+cosx
38/
sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x
39/
1+sinx+cos3x = cosx+sin2x+cos2x
40/
(2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx
§5. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1/
2/
4sin23x.sin2x = 5 + sin3x
3/
sinx + cosx = (2 – sin3x)
4/
sin5x + cos5x + cos2x + sin2x = 1 + .
5/
a) cos2x + cos4x + cos6x = 3, b) cosx + cos = 2
6/
7/
8/
9/
5cos(2x +) = 4sin(- x) – 9
10/
(cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1/
sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2
2/
sin2x + sin22x + sin23x = 2
3/
4/
3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2
5/
1 + sinx + cosx = 
6/
3sin4x + 5cos4x – 3 = 0
7/
sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx
8/
9/
10/
11/
12/
13/
14/
15/
16/
3tg3x – tgx + = 0
17/
18/
19/
cotx + sinx
20/
2sin22x + sin7x – 1 = sinx
21/
22/
23/
cos23x.cos2x - cos2x = 0
24/
sinx.cos2x + cos2x(tan2x -1) + 2sin3x = 0
25/
cos3x+sin3x + 2sin2x = 1
26/
27/
(1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
28/
sin(x – ) + sin (x + ) = 2sin2012x
29/
3cos3x + 4sinx + = 6
30/
31/
32/
33/
34/
35/
36/
2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
37/
38/
39/
40/
41/
4(sin4x + cos4x ) + cos4x + sin2x = 0
42/
(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
43/
sin2x – cos2x + 3sinx - cosx – 1 = 0
44/
3 – 4sin22x = 2cos2x(1 + 2sinx)
45/
46/
47/
tanx + cotx = 4cos22x
48/
49/
50/
51/
52/
53/
54/
2cosx.cos2x.cos3x + 5 = 7cos2x
55/
2(cosx.cos2x.cos3x - sinx.sin2x.sin3x) =1
56/
tan2x - tan2x.sin3x = 1- cos3x
57/
1 – tanx.tan2x = cos3x
58/
59/
 + 2tan2x + cos2x = 0
60/
sin2x + = 2cos2x
61/
2sin2(x - ) = 2sin2x - tanx
62/
sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = 2
63/
64/
65/
66/
67/
68/
69/
70/
71/
72/
sin3x – 3sin2x – cos2x + 3sinx + 3cosx -2 = 0
73/
sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = 1 + cos4x
74/
75/
8sin5x – cos4x.sinx + 4cos2x – 3sinx = 0
76/
77/
78/
79/
80/
81/
82/
83/
tan2x – tanx.tan3x = 2
84/
85/
86/
87/
cotgx - 1 = 
88/
89/
90/
91/
sin5x + sin9x + 2sin2x - 1 = 0
92/
(2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
93/
94/
95/
96/
97/
98/
99/
100/
101/
102/