Một số phương pháp giải toán ViOlympic

PHƯƠNG PHÁP NHẬN DIỆN VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN :
TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA CHÚNG
I. Các dạng toán:
1. Dạng 1: Tìm hai số tự nhiên khi biết Tổng và Hiệu của chúng.
Công thức:
Số bé = ( Tổng - Hiệu ) : 2 Hoặc: Số lớn = ( Tổng + Hiệu ) : 2
Số lớn = Số bé + Hiệu Số bé = Số lớn - Hiệu. 
2. Dạng 2: Tìm hai số tự nhiên khi biết Tổng và giữa chúng có một số số tự nhiên khác.
Ví dụ 1: Hai số tự nhiên có tổng là 2009 và giữa chúng có tất cả 20 số tự nhiên khác. Tìm hai số đó.
* Nhận diện dạng toán:	Đây là bài toán dạng “ Tìm 2 số khi biết Tổng và hiệu của chúng”. Tuy nhiên cần lưu ý đến một số kiến thức đã học:
+ Tổng của 2 số chẵn sẽ là một số chẵn; tổng của 2 số lẻ cũng là một số chẵn và tổng của một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ. Bài này tổng của 2 số là 2009, như vậy một trong 2 số phải là số lẻ.
+ Để giải được bài toán, cần tìm hiệu của 2 số. Muốn tìm hiệu của 2 số, cần xác định giữa 2 số có tất cả 20 số tự nhiên khác, thì 2 số hơn (kém) nhau bao nhiêu đơn vị. Có thể xác định bằng cách vẽ tia số hoặc lập luận, để xác định quy tắc chung khi tìm hiệu của 2 số đối với dạng toán này.
+ Lập luận: Giữa chúng có 20 số tự nhiên khác, như vậy từ số bé đến số lớn cần tìm có 22 số ( có 21 khoảng cách, mỗi khoảng cách có giá trị là 1 đơn vị).
Vậy hiệu của hai số là: 21 x 1 = 21 = ( 20 + 1 ) x 1
+ Quy tắc chung: Đối với dạng toán này, hiệu của hai số là:
( Số lượng số tự nhiên ở giữa hai số cần tìm + 1) x 1
Bài giải
* Cách 1: Giữa chúng có 20 số tự nhiên khác, mỗi số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị, nên hiệu của số lớn và số bé là: 20 + 1 = 21
Số tự nhiên bé là:
( 2009 - 21 ) : 2 = 994
Số tự nhiên lớn là:
994 + 21 = 1015
Đáp số: 994 và 1015.
* Cách 2: Hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 2009 là:
	Số bé là: ( 2009 - 1 ) : 2 = 1004	
	 Số lớn là: 1004 + 1 = 1005
	Vì khoảng giữa có 20 số tự nhiên khác nên ta có:
	Số bé cần tìm là : 1004 – 10 = 994
	Số lớn cần tìm là : 1005 + 10 = 1015
	Đáp số: 994 và 1015
Đáp số: 994 và 1015
* Ví dụ 2: Hai số tự nhiên có tổng là 2010 và giữa chúng có tất cả 21 số tự nhiên khác. Tìm hai số đó.
* Cách hiểu: Giữa chúng có 20 số tự nhiên khác, như vậy từ số bé đến số lớn cần tìm có 23 số ( có 22 khoảng cách, mỗi khoảng cách có giá trị là 1 đơn vị).
Vậy hiệu của hai số là: 22 x 1 = 22 
* Cách giải: Tìm hai số khi biết Tổng và Hiệu của chúng.
* Lưu ý: Bài dạng này không giải theo cách 2 vì tổng 2 số tự nhiên liên tiếp luôn là một số lẻ.
3. Dạng 3: Tìm hai số tự nhiên biết giữa chúng có một số số chẵn ( hoặc số lẻ khác ).
* Ví dụ 3: Hai số tự nhiên có tổng là 2011 và giữa chúng có tất cả 9 số chẵn. Tìm hai số đó.
* Nhận diện dạng toán:	Đây là bài toán dạng “ Tìm 2 số khi biết Tổng và hiệu của chúng”. Tuy nhiên cần lưu ý :
+ Bài này tổng của 2 số là 2011, như vậy 2 số cần tìm phải là 1 số lẻ và 1 số chẵn ( Nếu số bé là số lẻ thì số lớn là số chẵn và ngược lại ).
+ Để giải được bài toán, cần tìm hiệu của 2 số. Muốn tìm hiệu của 2 số, cần xác định giữa 2 số có tất cả 9 số chẵn, thì 2 số hơn (kém) nhau bao nhiêu đơn vị. Có thể xác định bằng cách vẽ tia số như sau để xác định quy tắc chung khi tìm hiệu của 2 số đối với dạng toán này ( cũng có thể sử dụng PP lập luận như trên).
SC
SL
SC1
SC2
SC3
SC4
SC5
SC6
SC7
SC8
SC9
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
+ Lưu ý: Có 2 trường hợp có thể xảy ra là: Có thể số bé là số lẻ thì số lớn sẽ là số chẵn và ngược lại nếu số bé là số chẵn thì số lớn là số lẻ. Tuy nhiên ở trường hợp nào thì hiệu của 2 số vẫn không thay đổi, nên khi vẽ tia số ta giả sử số bé là số chẵn ( kí hiệu là SC), số lớn là số lẻ ( kí hiệu là SL); 9 số chẵn ở giữa được kí hiệu theo thứ tự là SC1; SC2; ....SC9.
+ Dựa vào tia số ta thấy hiệu của 2 số là: 2 x 9 + 1 = 19
+ Nhận xét rút ra quy tắc: Ta thấy mỗi số chẵn liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị, giữa 2 số cần tìm có 9 số chẵn nên bằng: 9 x 2. Từ số chẵn đến số lẻ kế tiếp thêm 1 đơn vị nên phải cộng thêm 1.
+ Nhận xét chung: Đối với dạng toán này để tìm hiệu của 2 số, cần vẽ tia số để xác định đúng. Trường hợp bài toán ra giữa chúng có nhiều số tự nhiên, số lẻ hoặc số chẵn gây khó khăn trong việc vẽ tia số, thì có thể xác định công thức chung cho dạng toán thông qua việc lập luận: tổng là một số lẻ ( 2011) nên hai số cần tìm phải là một số chẵn và một số lẻ. Giữa chúng có 9 số chẵn, như vậy dãy số ( từ số bé đến số lớn cần tìm có 10 số chẵn – có 9 khoảng cách – mỗi khoảng cách 2 đơn vị và 1 số lẻ - 1 đơn vị), nên hiệu cần tìm là:
9 x 2 + 1 = 19
Bài giải:
* Cách 1 ( Theo tia số hoặc lập luận như trên) :
Từ tia số trên ta có hiệu của 2 số là: 9 x 2 + 1 = 19
Số bé là: ( 2011 - 19 ) : 2 = 996
Số lớn là: 996 + 19 = 1015
Đáp số: 996 và 1015
* Cách 2: Hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 2011:
	Số lớn là: ( 2011 + 1 ) : 2 = 1006	
	Số bé là: 1006 - 1 = 1005
	Vì khoảng giữa có 9 số chẵn nên ta có:
	Số bé cần tìm là : 1005 – 9 = 996
	Số lớn cần tìm là : 1006 + 9 = 1015
Đáp số: 996 và 1015
* Ví dụ 4. Hai số tự nhiên có tổng là 2009 và giữa chúng có tất cả 5 số lẻ. Tìm hai số đó.
* Giải tương tự Ví dụ 3. Bài giải	
* Cách 1: Hiệu của hai số tự nhiên đó là:
5 x 2 + 1 = 11
Số tự nhiên bé cần tìm là:
( 2009 - 11 ) : 2 = 999
Số tự nhiên lớn cần tìm là:
999 + 11 = 1020
* Cách 2: Hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 2009 là:
	 ( 2009 - 1 ) : 2 = 1004	
	 	 1004 + 1 = 1005
	Vì khoảng giữa có 5 số lẻ nên ta có:
	Số bé cần tìm là : 1004 – 5 = 999
	Số lớn cần tìm là : 1005 + 5 = 1020
Đáp số: 996 và 1015.
4. Dạng 4: Tìm hai số chẵn ( hoặc hai số lẻ) biết giữa chúng có một số số chẵn ( hoặc một số số lẻ khác ).
Ví dụ 5. Tìm hai số chẵn có tổng là 210, biết giữa chúng có tất cả 18 số chẵn khác.
* Nhận diện dạng toán: Đây là bài toán dạng “ Tìm hai số khi biết Tổng và hiệu của chúng”; tuy nhiên, cần tìm hiệu của hai số là bao nhiêu?
Bài giải
* Cách 1: Dựa vào tia số để tìm ra quy tắc chung tìm hiệu hai số, hoặc lập luận như sau: Giữa chúng có 18 số chẵn khác, nên từ số bé đến số lớn có 20 số chẵn và có 19 khoảng cách, mỗi số chẵn cách nhau 2 đơn vị nên hiệu sẽ là : 
Hiệu của hai số là:
19 x 2 = 38
Số bé cần tìm là:
( 210 - 38 ) : 2 = 86
Số lớn cần tìm là:
86 + 38 = 124
* Cách 2: Hai số chẵn liên tiếp có tổng bằng 210 là:
 ( 210 - 2 ) : 2 = 104
 	 104 + 2 = 106
Số chẵn bé cần tìm là:
104 - 18 = 86
Số chẵn lớn cần tìm là:
210 - 86 = 124
Đáp số: 86 và 124.
* Ví dụ 6. Tìm hai số lẻ có tổng là 474, biết giữa chúng có tất cả 37 số lẻ khác.	
Bài giải
* Cách 1: Hiệu của hai số là:
( 37 + 1 ) x 2 = 76
Số lẻ bé cần tìm là:
( 474 - 76 ) : 2 = 199
Số lẻ lớn cần tìm là:
199 + 76 = 275
* Cách 2: Hai số lẻ ( hoặc chẵn ) liên tiếp có tổng bằng 474 là:
(474 - 2 ) : 2 = 236
Số lẻ bé cần tìm là:
236 - 37 = 199
Số lẻ lớn cần tìm là:
	238 + 37 = 275
Đáp số: 199 và 275.	 
5. Dạng 5: Tìm hai số chẵn ( hoặc hai số lẻ) biết giữa chúng có một số số lẻ ( hoặc một số số chẵn khác ).
* Đối với dạng toán này có thể hiểu theo tia số như sau:
SC
SC
SL1
SL2
SL3
SL4
SL5
SL6
SL7
SL8
SL9
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
* Ví dụ 7: Tìm hai số chẵn có tổng bằng 2010 biết giữa chúng có 9 số lẻ.
* Ta có công thức tìm hiệu 2 số: 
Hiệu của hai số là: 9 x 2 = 18, tức là bằng số lượng số lẻ ở giữa 2 số x 2.
* Giải:
Hiệu của hai số là: 9 x 2 = 18
Số chẵn bé cần tìm là: ( 2010 - 18 ) : 2 = 996
Số chẵn lớn cần tìm là: 996 + 18 = 1014.
Đáp số: 996 và 1014
SL
SL
SC1
SC2
SC3
SC4
SC5
SC6
SC7
SC8
SC9
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
* Ví dụ 8: Tìm hai số lẻ có tổng bằng 280 biết giữa chúng có 9 số chẵn.
* Ta có công thức tìm hiệu 2 số: 
Hiệu của hai số là: 9 x 2 = 18, tức là bằng số lượng số chẵn ở giữa 2 số x 2.
* Giải:
Hiệu của hai số là: 9 x 2 = 18
Số lẻ bé cần tìm là: ( 280 - 18 ) : 2 = 131
Số chẵn lớn cần tìm là: 131 + 18 = 149.
Đáp số: 131 và 149.
6. Dạng 6: Một số dạng toán “Tổng – Hiệu” với phân số:
* Lưu ý:
+ Khi cùng thêm ( hoặc cùng bớt) cả tử số và mẫu số đi một số đơn vị, thì Hiệu của chúng vẫn không thay đổi.
+ Khi thêm vào tử số A đơn vị và bớt mẫu số đi A đơn vị thì Tổng của chúng sẽ không thay đổi ( hoặc ngược lại).
+ Khi thêm vào tử số A đơn vị ta được phân số mới bằng 1, nghĩa là Mẫu số hơn tử số A đơn vị ( hoặc ngược lại).
+ Khi chuyển A đơn vị từ mẫu số lên tử số ta được phân số mới bằng 1, nghĩa là Mẫu số hơn Tử số: A x 2 đơn vị; còn gọi vui là “ cho mà bằng nhau thì hiệu của chúng là: cho x 2”
+ Khi chuyển A đơn vị từ mẫu số lên tử số mà Mẫu số vẫn hơn Tử số B đơn vị, nghĩa là Mẫu số hơn Tử số: A x 2 + B đơn vị; còn gọi vui là “cho mà vẫn hơn thì hiệu của chúng là: cho x 2 + hơn”
+ Khi chuyển A đơn vị từ mẫu số lên tử số mà Mẫu số lại ít hơn Tử số B đơn vị, nghĩa là Mẫu số hơn Tử số: A x 2 - B đơn vị; còn gọi vui là “cho mà lại thua, thì hiệu của chúng là: cho x 2 - thua”
7. Dạng 7: Một số dạng toán “Tổng – Hiệu” khác:
+ Cho biết chu vi hình chữ nhật là A và chiều dài hơn chiều rộng là B ( dạng Tổng “ẩn”, hiệu tường minh). Muốn tính cần tìm nửa chu vi ( tổng chiều dài và chiều rộng).
+ Cho biết Trung bình cộng hai số và hiệu của 2 số đó ( dạng Tổng “ẩn”, Hiệu tường minh). Muốn tìm 2 số cần tính tổng của chúng ( lấy TBC x 2 ). 
+ Cho biết 2 số có tổng bằng A và khi viết thêm chữ số B vào trước số bé ta được số lớn.
II. Một số bài tập.
1. Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 2011 và giữa chúng có 26 số tự nhiên khác.
2. Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 2012 và giũa chúng có 31 số tự nhiên khác.
3. Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 2011 và giữa chúng có 25 số lẻ.
4. Tìm hai số chẵn có tổng là 848, biết giữa chúng có tất cả 13 số chẵn khác.	
5. Tìm hai số lẻ có tổng là 406, biết giữa chúng có tất cả 11 số lẻ khác.	
6. Tìm hai số chẵn có tổng bằng 2010 biết giữa chúng có 21 số lẻ khác. 	
7. Tìm hai số lẻ có tổng bằng 2012 biết giữa chúng có 23 số chẵn khác.
8. Tìm hai số biết trung bình cộng của chúng bằng 48 và giữa chúng có 8 số lẻ.
9. Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 999 và giữa chúng có 25 số lẻ.
10. Tìm hai số lẻ biết tổng của chúng bằng 1142 và giữa chúng có tát cả 53 số lẻ khác.
11. Tìm hai số chẵn biết tổng của chúng bằng 810 và giữa chúng có tất cả 20 số chẵn khác.
12. Tìm một phân số, biết mẫu số hơn tử số 22 đơn vị và nếu thêm vào tử số 5 đơn vị, bớt mẫu số đi 7 đơn vị thì tổng của tử số và mẫu số là 56.
13. Tìm hai số biết trung bình cộng của chúng bằng 252 và số lớn hơn số bé 12 đơn vị.
14. Một hình chữ nhật có chu vi bằng 352 cm2. Biết nếu tăng chiều rộng thêm 5cm và giảm chiều dài đi 7cm thì được một hình vuông. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
15. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 258 và nếu viết thêm chữ số 2 vào trước số bé ta được số lớn.
16. Tìm một phân số, biết tổng của tử số và mẫu số bằng 120; nếu thêm vào tử số 15 đơn vị và giảm mẫu số đi 27 đơn vị ta được phân số mới có giá trị bằng 1.
17 (*). Hiện nay tổng số tuổi của ba mẹ con là 56 tuổi. Biết 16 năm nữa số tuổi của mẹ bằng tổng số tuổi của hai con. Tính tuổi mẹ hiện nay.
18 (*). Tổng của ba số là 1978. Số thứ nhất lớn hơn tổng của hai số kia là 58. Nếu bớt số thứ hai đi 36 đơn vị thì số thứ hai bằng số thứ ba. Tìm ba số đó.
* Lời kết: Các em thân mến!
Trước khi bắt tay vào làm các bài tập, các em nên nhớ phải đọc qua và hiểu được “bản chất” của việc tìm hiệu của hai số cần tìm thông qua tia số ( hoặc lập luận). Một điều cần lưu ý: Đừng quá chú tâm vào các công thức, cách lập luận dài dòng nêu trên, bởi đó chỉ là sự diễn giải một cách chi tiết nhằm giúp các em hiểu thật sâu một số dạng toán “Tổng – Hiệu”, ở các bài toán nêu trên hiểu là “Tổng” tường minh (đã cho biết) còn “Hiệu” đang “ẩn”, hoặc ngược lại “Hiệu” tường minh (đã cho biết) còn “Tổng” đang “ẩn đòi hỏi phải qua lập luận hoặc một bước tính mới tìm ra “Hiệu” hoặc “Tổng”. Tìm đúng “Hiệu” hoặc “Tổng” coi như việc giải bài toán là hết sức dễ dàng.
	Với toán học, việc học thuộc lòng các công thức, quy tắc, tính chất chỉ là giải pháp “tạm thời” và không ai có đủ trí thông minh để học thuộc hết tất cả.