Một số tính chất của đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM VĂN THƯ
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC
ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG
TRONG ĐẠI SỐ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60. 46. 40.
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH
THÁI NGUYÊN – 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Mục lục
Mở đầu 3
1 Khái niệm cơ bản về đa thức đối xứng 5
1.1 Đa thức đối xứng hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Tổng lũy thừa và công thức Waring . . . . . . . . . 6
1.1.3 Các định lý về đa thức đối xứng hai biến . . . . . . 9
1.2 Đa thức đối xứng ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Quỹ đạo của đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Các định lý của đa thức đối xứng ba biến . . . . . . 16
1.2.5 Đa thức phản đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Ứng dụng tính chất của đa thức đối xứng để giải một số
bài toán đại số 21
2.1 Một số bài tập tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Phương trình đối xứng và phương trình hồi quy . . . . . . . 27
2.4 Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn và ứng dụng . . . . 33
2.4.2 Hệ phương trình đối xứng ba ẩn . . . . . . . . . . . 37
2.5 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình đối xứng . . . . . 42
2.6 Chứng minh các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Đa thức đối xứng n biến và ứng dụng 58
3.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Biểu diễn các tổng lũy thừa qua các đa thức đối xứng cơ sở 60
3.3 Các định lý của đa thức đối xứng nhiều biến . . . . . . . . 63
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
3.4 Đa thức phản đối xứng nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Phương trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6 Chứng minh đẳng thức. Phân tích đa thức thành nhân tử . 72
Kết luận 79
Tài liệu tham khảo 80
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Mở đầu
Các bài toán đại số luôn chiếm một vị trí quan trọng đối với toán phổ
thông, cũng là lĩnh vực mà các nhà nghiên cứu sáng tạo ra rất đầy đủ
và hoàn thiện. Tính đối xứng trong đại số là một trong những phần quan
trọng của đại số sơ cấp, cũng là bài toán quen thuộc trong các tài liệu liên
quan đến đại số sơ cấp, các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Trong quá trình giải nhiều bài toán đại số hoặc ở dạng trực tiếp hoặc ở
dạng gián tiếp mới nhận ra đó là bài toán liên quan đến đa thức đối xứng,
nếu giải mỗi bài toán này một cách đơn lẻ sẽ gặp không ít khó khăn và
tính hiệu quả không cao khi giải các bài toán cùng loại. Việc nắm bắt được
đầy đủ khái niệm và các tính chất cơ bản của đa thức đối xứng, thông qua
đó áp dụng giải một số bài toán liên quan đến đa thức đối xứng là vấn đề
được nhiều người quan tâm.
Luận văn này giới thiệu các khái niệm, tính chất của đa thức đối xứng
và các ứng dụng cơ bản để giải các bài toán đại số thường gặp trong chương
trình toán sơ cấp. Luận văn "Một số tính chất của đa thức đối xứng và
ứng dụng trong đại số" gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung, kết
luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1. Các khái niện cơ bản về đa thức đối xứng.
Trong chương này tác giả trình bày các khái niệm, tính chất của đa thức
đối xứng hai biến, ba biến. Một đóng góp nhỏ có ý nghĩa trong chương
này là Hệ quả 1.1 của công thức Newton. Công thức này thường được sử
dụng trong các bài toán tính giá trị biểu thức.
Chương 2. Ứng dụng tính chất của đa thức đối xứng để giải một số bài
toán đại số.
Chương này tác giả trình bày các ứng dụng của đa thức đối xứng bằng
các ví dụ minh họa cụ thể. Các ứng dụng này rất phổ biến trong các tài
liệu về đại số trong chương trình toán phổ thông.
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Chương 3. Đa thức đối xứng n biến và ứng dụng.
Chương này tác giả trình bày các kiến thức của đa thức đối xứng n biến
và một số ứng dụng phổ biến thường gặp.
Luận văn nghiên cứu một phần rất nhỏ của đại số và đã thu được một số
kết quả nhất định. Tuy nhiên, luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu xót, nên
rất mong được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và độc giả
quan tâm đến nội dung luận văn để luận văn của tác giả được hoàn thiện
hơn.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hường dẫn của TS. Nguyễn Văn Minh. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới sự quan tâm của thầy, tới các thầy cô trong Ban
Giám hiệu, Phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học.
Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Yên Bái, Ban Giám
hiệu, các bạn đồng nghiệp tại trường THPT Hoàng Văn Thụ huyện Lục
Yên - Yên Bái và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả học tập và hoàn
thành bản luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 06 năm 2012.
Tác giả
Phạm Văn Thư
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Chương 1
Khái niệm cơ bản về đa thức đối
xứng
1.1 Đa thức đối xứng hai biến
1.1.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1 (Theo [2]). Một đơn thức f(x,y) của các biến độc lập x,
y (trường hợp chung nhất có thể là các số phức) được hiểu là hàm số có
dạng
f(x, y) = aklx
kyl,
trong đó akl 6= 0 là một số (hằng số), k, l là những số nguyên không âm.
Số akl được gọi là hệ số, còn k+l được gọi là bậc của đơn thức f(x,y) và
được kí hiệu là
deg[f(x, y)] = deg[axkyl] = k + l.
Các số k, l tương ứng được gọi là bậc của đơn thức đối với các biến x, y.
Như vậy, bậc của đơn thức hai biến bằng tổng các bậc của các đơn thức
theo từng biến.
Chẳng hạn: 3x4y2 và x2y là các đơn thức theo x, y với bậc tương ứng
bằng 6 và 3.
Định nghĩa 1.2 (Theo [2]). Hai đơn thức của các biến x, y được gọi là
đồng dạng (tương tự), nếu chúng chỉ có hệ số khác nhau. Như vậy, hai đơn
thức được gọi là đồng dạng, nếu chúng có dạng: Axkyl, Bxkyl(A 6= B).
Định nghĩa 1.3 (Theo [2]). Giả sử Axkyl và Bxmyn là hai đơn thức của
các biến x, y. Ta nói rằng đơn thức Axkyl trội hơn đơn thức Bxmyn theo
thứ tự của các biến x, y, nếu k > m, hoặc k = m và l > n.
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Chẳng hạn: Đơn thức 3x4y2 trội hơn đơn thức 3x2y7, còn đơn thức x4y5
trội hơn đơn thức x4y3.
Định nghĩa 1.4 (Theo [2]). Một hàm số P(x,y) được gọi là một đa thức
theo các biến số x, y, nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hữu
hạn các đơn thức. Như vậy, đa thức P(x,y) theo các biến số x, y là hàm số
có dạng
P (x, y) =
∑
k+l<m
aklx
kyl.
Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức.
Định nghĩa 1.5 (Theo [2]). Đa thức P(x,y) được gọi là đối xứng của hai
biến x, y, nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ của x và y, nghĩa là
P (x, y) = P (y, x)
Chẳng hạn:
P (x, y) = x3 − xy + y3, Q(x, y) = x2y + xy2
là các đa thức đối xứng của các biến x, y.
Định nghĩa 1.6 (Theo [2]). Các đa thức
σ1 = x+ y, σ2 = xy.
được gọi là các đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y.
Định nghĩa 1.7 (Theo [2]). Đa thức đối xứng P(x,y) được gọi là thuần
nhất bậc m, nếu:
P (tx, ty) = tmP (x, y),∀t 6= 0
1.1.2 Tổng lũy thừa và công thức Waring
Định nghĩa 1.8 (Theo [2]). Các đa thức sk = x
k + yk(k = 1, 2, ...) được
gọi là tổng lũy thừa bậc k của các biến x, y.
Định lý 1.1 (Theo [2]). Mỗi tổng lũy thừa sm = x
m + ym có thể biểu diễn
được dưới dạng một đa thức bậc m của σ1 và σ2
Chứng minh. Ta có
σ1sk−1 = (x+ y)(xk−1 + yk−1) = xk + yk +xy(xk−2 + yk−2) = sk +σ2sk−2.
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Như vậy
sk = σ1sk−1 − σ2sk−2. (1.1)
Công thức (1.1) được gọi là công thức Newton, nó cho phép tính sk theo
sk−1 và sk−2.
Với m=1, m=2, Định lý 1.1 đúng vì
s1 = x+ y = σ1,
s2 = x
2 + y2 = (x+ y)2 − 2xy = σ21 − 2σ2.
Giả sử định lý đã đúng cho m < k. Khi đó sk−1 và sk−2 lần lượt là các đa
thức bậc k-1, k-2 của σ1 và σ2. Theo công thức (1.1) ta suy ra sk là đa
thức bậc k của σ1 và σ2. Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng
minh.
Hệ quả 1.1. Với m > n, ta có
sm+n = sm.sn − σn2 .sm−n. (1.2)
Thật vậy,
sm+n = x
m+n + ym+n = (xm + ym)(xn + yn) − xnyn(xm−n + ym−n) =
sm.sn − σn2 .sm−n
Sử dụng công thức (1.1) và các biểu thức của s1, s2 ở chứng minh trên,
ta nhận được các biểu thức sau
s1 = x+ y = σ1,
s2 = σ
2
1 − 2σ2,
s3 = σ
3
1 − 3σ1σ2,
s4 = σ
4
1 − 4σ21σ2 + 2σ22,
s5 = σ
5
1 − 5σ31σ2 + 5σ1σ22.
Việc tính các tổng lũy thừa sk theo công thức lặp (1.1) không được thuận
tiện vì phải biết trước các tổng sk và sk−1. Đôi khi ta cần có biểu thức sk
chỉ phụ thuộc vào σ1 và σ2. Công thức tương ứng được tìm ra năm 1779
bởi nhà toán học người Anh E.Waring.
Định lý 1.2 (Công thức Waring (Theo [2])). Tổng lũy thừa sk được biểu
diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở σ1 và σ2 theo công thức
1
k
sk =
[k/2]∑
m=0
(−1)m (k −m− 1)!
m! (k − 2m)! σ
k−2m
1 σ
m
2 , (1.3)
trong đó [k/2] kí hiệu là phần nguyên của k/2.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Chứng minh. Ta chứng minh công thức (1.3) bằng phương pháp quy nạp.
Với k=1, k=2 công thức tương ứng có dạng
s1 = σ1,
1
2
s2 =
1
2
σ21 − σ2.
Như vậy, với k=1, k=2 công thức (1.3) đúng. Giả sử công thức Waring đã
đúng cho s1, s2, ...., sk−1. Để chứng minh công thức đó đúng cho sk ta sử
dụng công thức (1.1). Ta có
1
k
sk =
1
k
[σ1sk−1 − σ2sk−2] =
=
k − 1
k
σ1.
∑
m=0
(−1)m (k −m− 2)!
m! (k − 2m− 1)! σ
k−2m−1
1 σ
m
2 −
−k − 1
k
σ2.
∑
n
(−1)n (k − n− 3)!
n! (k − 2n− 2)! σ
k−2n−2
1 σ
n
2 =
=
1
k
∑
m
(−1)m (k −m− 2)! (k − 1)
m! (k − 2m− 1)! σ
k−2m
1 σ
m
2 −
−1
k
∑
n
(−1)n (k − n− 3)! (k − 2)
n! (k − 2n− 2)! σ
k−2n−2
1 σ
n+1
2
Trong tổng thứ hai thay n+1 bởi m. Khi đó hai tổng có thể kết hợp thành
một như sau:
1
k
sk =
1
k
∑ (−1)m (k −m− 2)! (k − 1)
m! (k − 2m− 1)! σ
k−2m
1 σ
m
2 −
−1
k
∑
m
(−1)m−1 (k −m− 2)! (k − 2)
(m− 1)! (k − 2m)! σ
k−2m
1 σ
m
2 =
1
k
∑
m
(−1)m (k −m− 2)!
[
k − 1
m! (k − 2m− 1)! +
k − 2
(m− 1)! (k − 2m)!
]
σk−2m1 σ
m
2 .
Sử dụng công thức
1
(m− 1)! =
m
m!
,
1
(k − 2m− 1)! =
k − 2m
(k − 2m)! ,
ta có
(k − 1)(k − 2m)
m!(k − 2m)! +
(k − 2)m
m!(k − 2m)! =
k(k −m− 1)
m!(k − 2m)! .
Cuối cùng, vì
(k −m− 1).(k −m− 2)! = (k −m− 1)!
nên ta có công thức cần phải chứng minh:
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
1k
sk =
[k/2]∑
m=0
(−1)m (k −m− 1)!
m! (k − 2m)! σ
k−2m
1 σ
m
2 ,
Công thức Waring cho biểu thức của sn = x
n + yn theo
σ1 = x+ y, σ2 = xy sau đây
s1 = σ1;
s2 = σ
2
1 − 2σ2;
s3 = σ
3
1 − 3σ1σ2;
s4 = σ
4
1 − 4σ21σ2 + 2σ22;
s5 = σ
5
1 − 5σ31σ2 + 5σ1σ22;
s6 = σ
6
1 − 6σ41σ2 + 9σ21σ22 − 2σ32;
s7 = σ
7
1 − 7σ51σ2 + 14σ31σ22 − 7σ1σ32;
s8 = σ
8
1 − 8σ61σ2 + 20σ41σ22 − 16σ21σ32 + 2σ42;
s9 = σ
9
1 − 9σ71σ2 + 27σ51σ22 − 30σ21σ32 + 9σ1σ42;
s10 = σ
10
1 − 10σ81σ2 + 35σ61σ22 − 50σ41σ32 + 25σ21σ42 − 2σ52;
.......................................................................
1.1.3 Các định lý về đa thức đối xứng hai biến
Định lý 1.3 (Theo [2]). Mọi đa thức đối xứng P(x,y) của các biến x, y đều
có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức p(σ1, σ2) theo các biến σ1 = x+ y
và σ2 = xy, nghĩa là
P (x, y) = p(σ1, σ2) (1.4)
Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp đơn thức, trong đó lũy thừa của
x và y cùng bậc, nghĩa là đơn thức dạng axkyk. Hiển nhiên là
axkyk = a(xy)k = aσk2 .
Tiếp theo, xét đơn thức dạng bxkyl(k 6= l). Vì đa thức là đối xứng, nên có
số hạng dạng bxlyk. Để xác định, ta giả sử k < l và xét tổng hai đơn thức
trên
b(xkyl + xlyk) = bxkyk(xl−k + yl−k) = bσk2sl−k.
Theo công thức Waring sl−k là một đa thức của các biến σ1, σ2, nên nhị
thức nói trên là một đa thức của σ1, σ2.
Vì mọi đa thức đối xứng là tổng của các số hạng dạng axkyk và
b(xkyl + xlyk), nên mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được ở dạng đa
thức theo các biến σ1 và σ2.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Định lý 1.4 (Tính duy nhất (Theo [2])). Nếu các đa thức ϕ(σ1, σ2) và
ψ(σ1, σ2) khi thay σ1 = x + y, σ2 = xy cho ta cùng một đa thức đối xứng
P(x,y), thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ϕ(σ1, σ2) ≡ ψ(σ1, σ2) .
Chứng minh. Đặt φ(σ1, σ2) = ϕ(σ1, σ2)− ψ(σ1, σ2). Khi đó theo giả thiết
ta có:
φ(x+ y, xy) = ϕ(x+ y, xy)− ψ(x+ y, xy) = P (x, y)− P (x, y) = 0.
Ta sẽ chứng tỏ rằng φ(σ1, σ2) ≡ 0. Dễ thấy rằng, sau khi mở ngoặc thì
biểu thức
f (x, y) := (x+ y)k(xy)l
là một đa thức của các biến x, y và có số hạng trội nhất theo thứ tự các
biến x, y là xk+lyl.
Giả sử φ(σ1, σ2) có dạng
φ (σ1, σ2) =
∑
k,l
Aklσ
k
1σ
l
2.
Để tìm số hạng trội nhất, ta chọn trong φ(σ1, σ2) các số hạng có k+l là
lớn nhất. Tiếp theo, trong các số hạng nói trên, chọn ra các số hạng với
giá trị lớn nhất của l. Ví dụ, nếu
φ(σ1, σ2) = 3σ
4
1σ2 − 4σ21σ32 + σ1σ42 − 6σ1σ22 + 11σ32 − 7σ1 + 5σ2 + 8
thì số hạng được chọn sẽ là σ1σ
4
2.
Như vậy, giả sử chọn được đơn thức Aσm1 σ
n
2 . Khi đó, nếu thay
σ1 = x+ y, σ2 = xy, thì số hạng trội nhất của φ sẽ là Ax
m+nyn. Thật vậy,
giả sử Bσk1σ
l
2 là đơn thức tùy ý khác với Ax
m+nyn. Khi đó theo cách chọn
có hoặc m+n > l+l, hoặc m+n = k+l, nhưng n > l. Trong cả hai trường
hợp thì Axm+nyn trội hơn Bxk+lyl.
Vậy chứng tỏ rằng Axm+nyn là đơn thức trội nhất của φ(x + y, xy), nên
φ(x+ y, xy) 6= 0,∀x, y nếu φ(σ1, σ2) 6= 0. Vậy, ta có φ(σ1, σ2) ≡ 0.
Ví dụ 1.1. Biểu diễn đa thức sau theo các đa thức đối xứng cơ sở
f (x, y) = x5+3x3y2−x3y3+2xy4−7x2y2+y5+3x2y3−5xy3−5x3y+2x4y
= −x3y3 − 7x2y2 + (x5 + y5)+ 3 (x3y2 + x2y3)+ 2 (xy4 + x4y)−
5
(
xy3 + x3y
)
=
= −x3y3−7x2y2+(x5 + y5)+3x2y2 (x+ y)+2xy (y3 + x3)−5xy (y2 + x2)
= −σ32 − 7σ22 + s5 + 3σ22σ1 + 2σ2s3 − 5σ2s2 =
= −σ32−7σ22+(σ51−5σ31σ2+5σ1σ22)+3σ1σ22+2σ2(σ31−3σ1σ2)−5σ2(σ21−2σ2)
= σ51 − 3σ31σ2 − 5σ21σ2 + 2σ1σ22 − σ32 + 3σ22.
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
1.2 Đa thức đối xứng ba biến
1.2.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.9 (Theo [2]). Một đơn thức ϕ(x, y, z) của các biến x, y, z
được hiểu là hàm số có dạng
ϕ(x, y, z) = aklmx
kylzm,
trong đó k, l,m ∈ N được gọi là bậc của các biến x, y, z;
số aklm ∈ R∗ = R\ {0} được gọi là hệ số của đơn thức, còn số k+l+m gọi
là bậc của đơn thức ϕ(x, y, z).
Định nghĩa 1.10 (Theo [2]). Một hàm số P(x,y,z) của các biến x, y, z
được gọi là một đa thức, nếu nó có thể được biểu diễn ở dạng tổng hữu hạn
các đơn thức:
P (x, y, z) =
∑
k+l+m≤n
aklmx
kylzm.
Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức.
Định nghĩa 1.11 (Theo [2]). Đa thức P(x,y,z) được gọi là đối xứng của
các biến x, y, z, nếu nó không thay đổi với mọi hoán vị của x, y, z, nghĩa
là
P (x, y, z) = P (x, z, y) = P (y, x, z) = P (y, z, x) = P (z, y, x) = P (z, x, y).
Chẳng hạn các đa thức dưới đây là những đa thức đối xứng theo các
biến x, y, z
x4 + y4 + z4 − 2x2y2 − 2x2z2 − 2y2z2;
(x+ y)(x+ z)(y + z);
(x− y)2(y − z)2(z − x)2.
Định nghĩa 1.12 (Theo [2]). Đa thức đối xứng P(x,y) được gọi là thuần
nhất bậc m, nếu:
P (tx, ty, tz) = tmP (x, y, z),∀t 6= 0
Định nghĩa 1.13 (Theo [2]). Các đa thức
σ1 = x+ y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz,
được gọi là các đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y, z.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
1.2.2 Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo
Định nghĩa 1.14 (Theo [2]). Các đa thức sk = x
k+yk+zk, (k = 0, 1, ...),
được gọi là tổng lũy thừa bậc k của các biến x, y, z.
Định lý 1.5 (Công thức Newton (Theo [2])). Với mọi k ∈ Z, ta có hệ
thức
sk = σ1sk−1 − σ2sk−2 + σ3sk−3 (1.5)
Chứng minh. Thật vậy, ta có
σ1sk−1 − σ2sk−2 + σ3sk−3 =
= (x+ y + z)(xk−1 + yk−1 + zk−1)−
−(xy + xz + yz)(xk−2 + yk−2 + zk−2) + xyz(xk−3 + yk−3 + zk−3) =
= (xk + yk + zk + xyk−1 + xk−1y + xzk−1 + xk−1z + yzk−1 + yk−1z)−
−(xk−1y + xyk−1 + xk−1z + xzk−1 + yk−1z + yzk−1+
+xyzk−2 + xyk−2z + xk−2yz) + (xk−2yz + xyk−2z + xyzk−2) =
= xk + yk + zk = sk.
Định lý 1.6 (Theo [2]). Mỗi tổng lũy thừa sk = x
k + yk + zk đều có thể
biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc n theo các biến σ1, σ2, σ3.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp. Ta có
s0 = 3, s1 = x+ y + z = σ1
s2 = x
2 + y2 + z2 = (x+ y + z)2 − 2(xy + yz + zx) = σ21 − 2σ2.
Như vậy, Định lý đúng với n = 0, n = 1, n = 2. Giả sử định lý đúng với
n = k − 1, n = k − 2, n = k − 3(k > 3). Khi đó, theo công thức Newton,
Định lý cũng đúng với n = k.
Công thức (1.5) cho phép biểu diễn các tổng lũy thừa sk theo các đa
thức đối xứng cơ sở σ1, σ2, σ3, nếu biết trước công thức biểu diễn của
sk−1, sk−2. Định lý sau cho ta công thức biểu diễn trực tiếp sk theo các đa
thức đối xứng cơ sở σ1, σ2, σ3.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Định lý 1.7 (Công thức Waring (Theo [2])). Tổng lũy thừa sk được biểu
diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở theo công thức
1
k
sk =
∑
l+2m+3n=k
(−1)k−l−m−n (l +m+ n− 1)!
l!m!n!
σl1σ
m
2 σ
n
3 . (1.6)
Công thức (1.6) được chứng minh bằng phương pháp quy nạp với sự trợ
giúp của công thức (1.5). Nhờ công thức Waring chúng ta có thể tìm được
các công thức sau
Biểu thức của sn = x
n + yn + zn tính theo σ1, σ2, σ3.
s0 = 3;
s1 = σ1;
s2 = σ
2
1 − 2σ2;
s3 = σ
3
1 − 3σ1σ2 + 3σ3;
s4 = σ
4
1 − 4σ21σ2 + 2σ22 + 4σ1σ3;
s5 = σ
5
1 − 5σ31σ2 + 5σ1σ22 + 5σ21σ3 − 5σ2σ3;
s6 = σ
6
1 − 6σ41σ2 + 9σ21σ22 − 2σ32 + 6σ31σ3 − 12σ1σ2σ3 + 3σ23;
s7 = σ
7
1 − 7σ51σ2 + 14σ31σ22 − 7σ1σ32 + 7σ41σ3 − 21σ21σ2σ3 + 7σ1σ23 + 7σ22σ3;
s8 = σ
8
1 − 8σ61σ2 + 20σ41σ22 − 16σ21σ32 + 2σ42 + 8σ51σ3 − 32σ31σ2σ3+
+12σ21σ
2
3 + 24σ1σ
2
2σ3 − 8σ2σ23;
s9 = σ
9
1 − 9σ71σ2 + 27σ51σ22 − 30σ21σ32 + 9σ1σ42 + 9σ61σ3−−45σ41σ2σ3 + 54σ21σ22σ3 + 18σ31σ23 − 9σ32σ3 − 27σ1σ2σ23 + 3σ33;
s10 = σ
10
1 − 10σ81σ2 + 35σ61σ22 − 50σ41σ32 + 25σ21σ42 − 2σ52 + 10σ71σ3−−60σ51σ2σ3 + 100σ31σ22σ3 + 25σ41σ23 − 40σ1σ32σ3 − 60σ21σ2σ23 + 10σ1σ33 + 15σ22σ23;
.......................................................................
Định nghĩa 1.15 (Theo [2]). Các biểu thức
s−k = x−k + y−k + z−k =
1
xk
+
1
yk
+
1
zk
, (k = 1, 2, ...)
được gọi là tổng nghịch đảo của các biến x, y, z.
Do công thức (1.5) đúng với ∀k ∈ Z, nên nếu trong công thức đó thay
k bởi 3− k, ta được
s−k =
σ2
σ3
s1−k − σ1
σ3
s2−k +
1
σ3
s3−k (1.7)
Sử dụng công thức (1.7) có thể tìm được các biểu thức của các tổng nghịch
đảo theo các đa thức đối xứng cơ sở. Chẳng hạn:
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
s−1 =
σ2
σ3
s0 − σ1
σ3
s1 +
1
σ3
s2 =
σ2
σ3
.3− σ1
σ3
.σ1 +
1
σ3
(σ21 − 2σ2) =
σ2
σ3
;
s−2 =
σ2
σ3
s−1 − σ1
σ3
s0 +
1
σ3
s1 =
σ2
σ3
.
σ2
σ3
− σ1
σ3
.3 +
1
σ3
σ1 =
σ22 − 2σ1σ3
σ23
;
s−3 =
σ2
σ3
s−2 − σ1
σ3
s−1 +
1
σ3
s0 =
σ2
σ3
.
σ22 − 2σ1σ3
σ23
− σ1
σ3
.
σ2
σ3
+
1
σ3
.3 =
=
σ32 − 3σ1σ2σ3 + 3σ23
σ33
;
s−4 =
σ2
σ3
s−3 − σ1
σ3
s−2 +
1
σ3
s−1 =
=
σ2
σ3
.
σ32 − 3σ1σ2σ3 + 3σ23
σ33
− σ1
σ3
.
σ22 − 2σ1σ3
σ23
+
1
σ3
.
σ2
σ3
=
=
σ42 − 4σ1σ22σ3 + 4σ2σ23 + 2σ21σ23
σ43
1.2.3 Quỹ đạo của đơn thức
Định nghĩa 1.16 (Theo [2]). Đa thức đối xứng với số các số hạng tối
thiểu, một trong các số hạng của nó là đơn thức xkylzm được gọi là quỹ
đạo của đơn thức xkylzm và được kí hiệu là O(xkylzm).
Rõ ràng là để tìm quỹ đạo của đơn thức xkylzm cần phải bổ sung vào đơn
thức đó tất cả các hoán vị của x, y, z. Với k 6= l 6= m, ta có:
O(xkylzm) = xkylzm + xkymzl + xlykzm + xlymzk + xmykzl + xmylzk.
Ví dụ 1.2 (Theo [5]). Ta có
O(x5y2z) = x5y2z + x5yz2 + x2y5z + x2yz5 + xy5z2 + xy2z5;
O(x3y) = O(x3yz0) = x3y + xy3 + x3z + xz3 + y3z + yz3.
Nếu trong đơn thức xkylzm có hai số mũ nào đó bằng nhau, chẳng hạn
k = l 6= m, thì
O(xkykzm) = xkykzm + xkymzk + xmykzk
Chẳng hạn: O(xyz5) = xyz5 + xy5z + x5yz,
O(xy) = xy + yz + zx,
O(x3y3) = x3y3 + x3z3 + y3z3.
Các trường hợp riêng của quỹ đạo:
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
O(x) = O(xy0z0) = x+ y + z = σ1,
O(xy) = O(xyz0) = xy + yz + zx = σ2,
O(xyz) = xyz = σ3, O(x
k) = O(xky0z0) = xk + yk + zk = sk, k ∈ N.
Định lý 1.8 (Theo [2]). Quỹ đạo của mọi đơn thức biểu diễn được dưới
dạng đa thức theo các đơn thức đối xứng cơ sở.
Chứng minh. Trước hết ta có O(xk) = sk, nên theo định lý (1.6), O(x
k)
biểu diễn được theo các đa thức đối xứng cơ sở.
Trường hợp quỹ đạo có dạng O(xkyl). Ta có công thức
O(xkyl) = O(xk)O(xl)−O(xk+l)(k 6= l). (1.8)
Thật vậy, ta có
O(xk)O(xl)−O(xk+l) = (xk+yk+zk)(xl+yl+zl)−(xk+l+yk+l+zk+l) =
= (xk+l + yk+l + zk+l) + (xkyl + xlyk + xkzl + xlzk + ykzl + ylzk)−
−(xk+l + yk+l + zk+l) =
= xkyl + xlyk + xkzl + xlzk + ykzl + ylzk = O(xkyl).
Nếu k = l thì công thức (1.8) được thay bởi công thức sau:
O(xkyk) =
1
2
[(O(xk))2 −O(x2k)]. (1.9)
Từ (1.8) và (1.9), suy ra các quỹ đạo O(xkyl) biểu diễn được dưới dạng
đa thức theo các biến σ1, σ2, σ3.
Cuối cùng, nếu đơn thức xkylzm phụ thuộc vào cả ba biến x, y, z, nghĩa
là k 6= l 6= m 6= 0, thì đơn thức xkylzm sẽ chia hết cho lũy thừa với số mũ
nào đó của xyz. Vì vậy trong đa thức O(xkylzm) có thể đưa lũy thừa với
số mũ nào đó của xyz = σ3 ra ngoài ngoặc, khi đó trong ngoặc chỉ là quỹ
đạo phụ thuộc vào số biến ít hơn ba. Do đó, quỹ đạo O(xkylzm) biểu diễn
được dưới dạng đa thức của σ1, σ2, σ3.
Bằng cách trên ta dễ dàng nhận được các công thức sau:
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Quỹ đạo O(xkyl) biểu diễn ở dạng đa thức theo σ1, σ2, σ3.
O(xy) = σ2;
O(x2y) = σ1σ2 − 3σ3;
O(x3y) = σ21σ2 − 2σ22 − σ1σ3;
O(x2y2) = σ22 − 2σ1σ3;
O(x4y) = σ31σ2 − 3σ1σ22 − σ21σ3 + 5σ2σ3;
O(x3y2) = σ1σ
2
2 − 2σ21σ3 − σ2σ3;
O(x5y) = σ41σ2 − 4σ21σ22 − σ3σ3 + 7σ1σ2σ3 + 2σ32 − 3σ23;
O(x4y2) = σ21σ
2
2 − 2σ32 − 2σ31σ3 + 4σ1σ2σ3 − 3σ23;
O(x3y3) = σ32 + 3σ
2
3 − 3σ1σ2σ3;
.......................................................................
Sử dụng các công thức biểu diễn của tổng nghịch đảo theo các đa thức cơ
sở, dễ dàng tìm được các quỹ đạo O(xkyk). Thật vậy, ta có
s−k =
1
xk
+
1
yk
+
1
zk
=
ykzk + xkzk + xkyk
xkykzk
=
O(xkyk)
σk3
.
Suy ra
O(xkyk) = σk3s−k;
O(x2y2) = σ23s−2 = σ
2
2 − 2σ1σ3;
O(x3y3) = σ33s−3 = σ
3
2 − 3σ1σ2σ3 + 3σ23;
O(x4y4) = σ43s−4 = σ
4
2 − 4σ1σ22σ3 + 4σ2σ23 + 2σ21σ23;
1.2.4 Các định lý của đa thức đối xứng ba biến
Định lý 1.9 (Theo [2]). Mọi đa thức đối xứng ba biến x, y, z đều có thể
biểu diễn dưới dạng đa thức theo các biến σ1 = x+y+z, σ2 = xy+yz+zx,
σ3 = xyz.
Chứng minh. Giả sử f(x, y, z) là đa thức đối xứng và axkylzm là một
trong các số hạng của f(x, y, z). Do tính đối xứng, cùng với số hạng trên,
f(x, y, z) chứa quỹ đạo O(xkylzm) với thừa số chung là a. Như vậy ta có
f(x, y, z) = a.O(xkylzm) + f1(x, y, z), (1.10)
trong đó f1(x, y, z) là đa thức đối xứng nào đó với ít số hạng hơn. Đối với
f1(x, y, z) ta lại có công thức tương tự nhờ công thức (1.9). Theo một số
hữu hạn bước nói trên, ta có thể phân tích đa thức f(x, y, z) thành tổng
các quỹ đạo. Theo định lý (1.8), mỗi quỹ đạo lại là một đa thức theo các
đa thức đối xứng cơ sở, do đó mọi đa thức đối xứng có thể biểu diễn được
ở dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ sở.
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Định lý 1.10 (Định lý duy nhất (Theo [2])). Nếu các đa thức ϕ(σ1, σ2, σ3)
và ψ(σ1, σ2, σ3) khi σ1 = x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz cho ta
cùng một đa thức đối xứng P(x,y,z), thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là
ϕ(σ1, σ2, σ3) ≡ ψ(σ1, σ2, σ3) .
Chứng minh. Để thuận tiện ta đặt
t1 = σ1, t2 = σ2, t3 = σ3; x1 = x, x2 = y, x3 = z.
φ(t1, t2, t3) = ϕ(t1, t2, t3)− ψ(t1, t2, t3).
Theo giả thiết ta có
φ(σ1, σ2, σ3) = P (x1, x2, x3)− P (x1, x2, x3) = 0.
∀σ1 = x1 + x2 + x3, σ2 = x1x2 + x1x3 + x2x3, σ3 = x1x2x3
Ta chứng minh φ là đa thức không, nghĩa là đồng nhất bằng không. Đặt
Q(x1, x2, x3) = φ(x1 +x2 +x3, x1x2 +x1x3 +x2x3, x1x2x3) = φ(σ1, σ2, σ3).
Rõ ràng Q(x1, x2, x3) là đa thức đối xứng. Ta viết lại φ(t1, t2, t3) ở dạng
φ(t1, t2, t3) = φ0(t1, t2) + φ1(t1, t2)t3 + φ2(t1, t2)t
2
3 + ...+ φm(t1, t2)t
m
3
và kí hiệu τ1, τ2 là những đa thức đối xứng cơ sở của các biến x1, x2. Dễ
thấy rằng
σk(x1, x2, 0) = τk(x1, x2) (k=1, 2), σ3(x1, x2, 0) = τ3(x1, x2) = 0.
Theo điều kiện của bài toán ta có
Q(x1, x2, x3) = φ0(σ1, σ2)+φ1(σ1, σ2)σ3+φ2(σ1, σ2)σ
2
3+...+φm(σ1, σ2)σ
m
3 =
0, ∀x1, x2, x3.
Khi đó thì
R(x1, x2) := Q(x1, x2, 0) = φ0(τ1, τ2) = 0,∀x1, x2.
Vì R(x1, x2) là đa thức đối xứng hai biến, nên theo định lý tính duy nhất
của đa thức đối xứng hai biến (1.4) suy ra φ0 đồng nhất bằng không. Như
vậy ta có
Q(x1, x2, x3) = σ3[φ1(σ1, σ2) + φ2(σ1, σ2)σ3 + ...+ φm(σ1, σ2)σ
m−1
3 ] = 0,
∀x1, x2, x3.
vì σ3 6= 0, nên đa thức
Q(x1, x2, x3) = φ1(σ1, σ2) + φ2(σ1, σ2)σ3 + ...+ φm(σ1, σ2)σ
m−1
3 = 0,
∀x1, x2, x3.
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Lập luận tương tự như trên suy ra φ1 đồng nhất bằng không. Tương tự có
φ2, φ3, ..., φm là những đa thức không. Vậy φ là đa thức không.
Để biểu diễn một đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứ