Nhiều cách giải cho một bài toán được đặc biệt hóa

 NHIỀU CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN ĐƯỢC ĐẶC BIỆT HÓA
Bài toán ban đầu. Cho tứ giác ABCD có AB=CD.M,N tương ứng là trung điểm của BC,DA. Giả sử đường thẳng MN cắt các đường thẳng AB,CD tương ứng tại P,Q. Chứng minh rằng BPMˆ=CQM.ˆ
Lời giải. Xét trường hợp P thuộc tia đối của các tia AB,NM;Q thuộc tia đối của các tia DC,NM và P nằm giữa N,Q(các trường hợp khác chứng minh tương tự).
Gọi I là trung điểm của AC. Từ giả thiết suy ra IM,IN tương ứng là đường trung bình của các tam giác ABC,ACD.
Suy ra IM//AB,IN//CD và IM=12AB=12CD=IN.
Do đó ΔIMN cân tại I. Suy ra IMNˆ=INMˆ.
Mặt khác ta có BPMˆ=IMNˆ (so le trong); CQMˆ=INMˆ (đồng vị).
Do đó BPMˆ=CQMˆ(đpcm)□
Nhận xét. Gọi E là giao điểm của AB và CD thì BECˆ=2CQMˆ.
Bây giờ, ta đặc biệt hóa bài toán trên bằng cách cho D nằm giữa A và C. Ta có bài toán sau.
Bài toán. Cho ΔABC có AC>AB. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD=AB. Gọi M,N tương ứng là trung điểm của BC,AD. Chứng minh rằng BACˆ=2CNMˆ.
Lời giải.
Cách 1. Gọi K là trung điểm của BD. Từ tính chất đường trung bình của tam giác ta suy ra BACˆ=DNKˆ;CNMˆ=NMKˆ=KNMˆ.
Do đó BACˆ=2CNMˆ(đpcm)
Cách 2. Ta có AB=2IM=CD;CD=CA−DA=2IA−2NA=2IN.
Suy ra IM=IN. Từ đó BACˆ=MICˆ=2CNMˆ(đpcm)
Cách 3. Gọi H là điểm đối xứng của A qua M.
Ta chứng minh được ΔCDH cân tại C. Từ đó BACˆ=1800−DCHˆ=2CDHˆ=2CNMˆ(đpcm)
Cách 4. Gọi L là điểm đối xứng của D qua M.
Ta chứng minh được ΔABL cân tại B. Từ đó CNMˆ=CALˆ=BLAˆ=BALˆ.
Suy ra đpcm.
Cách 5. Gọi R là điểm đối xứng của B qua N.
Ta chứng minh được ΔCDR cân tại D. Từ đó BACˆ=ADRˆ=2DCRˆ=2CNMˆ(đpcm)
Cách 6. Kí hiệu AB=c,BC=a,CA=b. Dựng AE//MN(E∈BC).
Theo định lí Thales ta có CMCE=CNCA.
Suy ra CE=CM.CACN=a2.bb−b−c2=abb+c;EB=a−abb+c=acb+c.
Do đó ECEB=bc=ACAB. Suy ra AE là phân giác của góc BAC.
Vậy BACˆ=2CAEˆ=2CNMˆ(đpcm)□