Những bài toán bất đẳng thức cơ bản trong cosi

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI. 
Cho n nguyên và 2n ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
1
n
A x
x
= + 
Giải: 
1
1
1 1 1
... ( 1)
n
n
n n n n
x
n so
n
x x x x n
A n
n n n nx x n
+
+
  +
= + + + + ≥ + ≥ 
 


Dấu đẳng thức xảy ra khi 1
1 n
n
x
x n
n x
+= ⇔ = 
Giá trị nhỏ nhất của 
1
1
n n
n
A
n
+
+
= 
Cho n nguyên và 2n ≥ và 1nx k n+≥ > . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
1
n
A x
x
= + 
Giải: 
Với 1nx k n+≥ > 
1 2 3 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) 0 ... 0
n n n n n n
f x f k x k x k
x kx k x x k x k k− − − −
   
≥ ⇔ + − − ≥ ⇔ − + − + + + + ≥   
   
1 2 3 2 1
1 1 1 1 1
( ) 1 ... 0
n n n n
x k
xk x x k x k k− − − −
  
⇔ − − + + + + ≥  
  
1 2 3 2 1
( ) 1 1 1 1
... 0
n n n n
x k
xk
xk x x k x k k− − − −
  −
⇔ − + + + + ≥  
  
Ta có: 1 2
1 2 3 2 1 1 1 1
1 1 1 1
... n
n n n n n n n
n n
n xk
x x k x k k k n
+
− − − − − + −
+ + + + ≤ < = < 
Suy ra ( ) ( )f x f k≥ đúng với mọi 1nx k n+≥ > 
Giá trị nhỏ nhất của 
1
n
A k
k
= + khi x k= . 
Cách 2 : 
Nháp : 1
, 0
1 1
... ( 1) 1
n
n
n n
x
n so m
m
x x nx x n
A x n x
m m m m mx x
+
>
   
= + + + + − ≥ + + −   
   


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Ta chọn m sao cho: 1 11
n n
n
x k
m x kx
m x
+ +
 =

⇒ = =
=

Bài giải: 1
1 1 1 1 1
1
1 1
... ( 1) 1
n
n
n n n n n n n
x
n so
n
k
x x nx x n
A x n x
k k x k k x k
+
+ + + + +
+
   
= + + + + − ≥ + + −   
   


Vì 1nx k n+≥ > nên 1nn k +< suy ra: 
1
( 1) 1
1 ( )
n n n
n n
A k k f k
k k k+
 +
≥ + − = + = 
 
Cho hai số thực 0, 0x y≠ ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − . Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức : 
3 3
1 1
A
x y
= + 
Đề thi Đại học khối A năm 2006 
Giải: 
Xét ( ) ( )2 2 *x y xy x y xy+ = + − . 
Đặt 
1 1
,u v
x y
= = . 
Ta được ( )
2
2
2 2
2 2
1 1 1 1 1 3( )
( ) 3
4
u v
u v u v uv u v u v uv
x y xyx y
+
+ = + − ⇒ + = + − ⇒ + − + = ≤ . 
( )2 4( ) 0 0 4u v u v u v⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤ 
Khi đó : 
3 3 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 2 2
( )( ) ( )( ) 2x y x y x y xy x y x y xy x y xy
A
x y x y x y x y
+ + + − + + + +
= = = = 
2
2 2
1 1 2
( ) 16A u v
xyx y
⇒ = + + = + ≤ . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2u v= = hay 
1
2
x y= = . 
Cho , ,x y z là 3 số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
     
= + + + + +     
     
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
Đề thi Đại học khối B năm 2007 
Giải: 
     
= + + + + + = + + + + +     
     
2 2 21 1 1
2 2 2 2 2 2
x y z x y z x y z
P x y z
yz zx xy yz zx xy
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
( ) ( )   = + + + = + + + +   
   
2 2 2 2 2 21 1 1 1 11
2 2
P x y z x y z
xyz xyz xyz
2 2 23
3
2 2 2
1 1 9
9 .
2 2
P x y z
x y z
≥ = . 
Đẳng thức xảy ra khi = = = 1x y z . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
9
2
P 
Đề thi Đại học khối A năm 2009 
Cho , ,x y z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện =. . 1x y z .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( ) ( ) ( )+ + +
= + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
Đề thi Đại học khối A năm 2007 
Giải: 
≥ + + ≥ + +
+ + + + + +
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
x x xyz y y xyz z z xyz y yx x z z
P
y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y
Đặt: 

= − + + = +  
= + ⇒ = − + 
 
= +  = + −

1
( 2 4 )
2 9
1
2 ( 2 4 )
9
2 1
(4 2 )
9
x x a b c
a y y z z
b z z x x y y a b c
c x x y y
z z a b c
Khi đó: 
      − + + − + + −
≥ + + ≥ − + + + + + +             
2 2 4 2 4 4 2 2
6 4
9 9
a b c a b c a b c b a c c a b
P
a b c a c b a b c
. 
Hay ( )≥ − + + =2 6 4.3 3 2
9
P . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức của = 2P khi = = = 1a b c . 
Cho các số thực không âm ,x y thay đổi và thỏa mãn + = 1x y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức ( ) ( )= + + +2 24 3 4 3 25S x y y x xy . 
Đề thi Cao đẳng khối B năm 2009 
Giải: 
Nhận xét: vai trò giống nhau (đối xứng) của ,x y . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
( ) ( ) ( )= + + + = + + − + +3 3 2 2 2 2 2 212 16 34 12 16 34S x y x y xy x y x y xy x y xy 
Hay ( ) ( )   = + + − + + = − +   
   
2
2
2 2 1 19112 3 16 34 4
4 16
S x y x y xy x y xy xy 
Vì ,x y không âm và thỏa mãn + = 1x y suy ra 
 +
≤ ≤ = 
 
2
1
0
2 4
x y
xy 
 
⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ − + ≤ 
 
2
1 1 3 1 191 25
4 0 4
4 4 4 4 16 2
xy xy . 
Vậy giá trị lớn nhất của =
25
2
S khi = =
1
2
x y và giá trị nhỏ nhất của = 0S khi = =0, 1x y . 
Cho các số thực ,x y thay đổi và thỏa mãn ( )+ + ≥3 4 2x y xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( ) ( )= + + − + +4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y 
Đề thi Đại học khối B năm 2009 
Giải: 
( )
( )
( ) ( )
+ + ≥ 
⇒ + + + ≥ ⇒ + ≥
+ ≥ 
3
3 2
2
4 2
2 1
4
x y xy
x y x y x y
x y xy
 . 
( ) ( ) ( ) ( )= + + − + + = + + + + − + +4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 233 2 1 2 2 1
2
A x y x y x y x y x y x y x y 
( ) ( ) ( )= + + + − + +24 4 2 2 2 23 3 2 1
2 2
A x y x y x y 
Mà ( ) ( ) ( ) ( )+ = + − ≥ + − + ⇒ + ≥ +2 2 24 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 212
2
x y x y x y x y x y x y x y 
Khi đó ( ) ( ) ( )≥ + + + − + +2 22 2 2 2 2 23 3 2 1
4 2
A x y x y x y hay ( ) ( )≥ + − + +22 2 2 29 2 1
4
A x y x y 
Đặt ( ) += + ≥ ≥ ⇒ ≥ + ≥
22
2 2 2( ) 1 9 1, A – 2 1,
2 2 4 2
x y
t x y t t t t . 
Xét hàm số ( ) = +29 – 2 1
4
f t t t xác định và liên tục trên nửa khoảng 
 
+∞
 
1
;
2
. 
Ta có ( ) = ≥ − >9 9' – 2 1 0
2 4
f t t , ( )≥ ⇒1
2
t f t đồng biến trên nửa khoảng 
 
+∞
 
1
;
2
. 
Khi đó ( )
 
∈ +∞
 
 
= = = 
 1;
2
1 9
min min
2 16t
A f t f . Đẳng thức xảy ra khi =
1
2
t 
ĐIỂM RƠI TRONG BẤT DẲNG THỨC COSI 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Bài toán mở đầu : Cho , 0a b > và thỏa mãn 1a b+ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
1 1
21
P
aba b
= +
+ +
. 
Giải: 
Lời giải 1. Ta có: 
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
2 21 2 1 ( ) 1
P
aba b a ab b a b
= + ≥ = ≥ =
+ + + + + + +
Dấu " "= xảy ra 
2 2 21 2 ( ) 1 0
1 1
a b ab a b
a b a b
 + + = − + = 
⇔ ⇔ 
+ = + =  
. Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại minP . 
Lời giải 2. Ta có: 
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
6 3 3 31 6 1 ( ) 1 4
P
ab ab ab aba b a ab b a b ab
= + + ≥ + = +
+ + + + + + + +
Mặt khác
2
1
2 4
a b
ab
 +
≤ = 
 
. Vậy 
2 2
4 1 8
3
2 6
2 2
P
a b a b
≥ + ≥
   + +
+    
   
. 
Dấu " "= xảy ra 
2 21 3
1
2
1
a b ab
a b a b
a b
 + + =

⇔ = ⇔ = =
 + =
. 
Lời bình: lời giải 1. và lời giải 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
. Tại sao 
trong cùng một bài toán mà có đến hai đáp số ? Do đâu mà lời giải 2 tại sao lại tách 
1 1 1
2 6 3ab ab ab
= + ?. Đó 
chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. 
Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy 
ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên. 
Cho , 0a b > và thỏa mãn 1a b+ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
1 1
4P ab
aba b
= + +
+
. 
Giải: 
Do P là biểu thức đối xứng với ,a b , ta dự đoán minP đạt tại 
1
2
a b= = . 
Ta có: 
2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
4 2 4 . 7
2 4 4 2( )
4
2
P ab ab
ab ab ab aba b a b a b
 
= + + + + ≥ + + ≥ 
+ +   +
 
 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Dấu " "= xảy ra 
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b
 + =


⇔ = ⇔ = =

+ =
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7P = đạt tại 
1
2
a b= = . 
Thao khảo hai lời giải khác : 
Lời giải 1: 
( )2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 1 1
4 2 4 . 4 2 6
4 4 2 4 4 4
P ab ab
ab ab ab ab ab ab aba b a b
 
= + + + + ≥ + ≥ + + = + 
+   +
Dấu " "= xảy ra 
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b
 + =


⇔ = ⇔ = =

+ =
. Thay 
1
2
a b= = vào ta được 7P ≥ . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7P = đạt tại 
1
2
a b= = . 
Lời bình 1: 
Qua cách giải trên ta đã chọn đúng dấu đẳng thức xảy ra khi 
1
2
a b= = nên dẫn đến việc tách các số hạng và 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7P = đạt tại 
1
2
a b= = là đúng , nhưng bước cuối cùng ta đã làm sai , ví dụ 
( )21 a a a− + ≥ , đẳng thức xảy ra khi ( )21 min 1 ?.a a a a = ⇒ − + =   
Lời giải 2: 
( )2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 22
P ab ab ab
ab ab ab aba b a b ab a b
 
= + + + ≥ + + = + + 
+ + +  +
. 
 Mặt khác 
1 1
4 2 .4 2 2
2 2
ab ab
ab ab
+ ≥ = . Vậy ( )4 2 2 min 2 2 2P P≥ + ⇒ = + 
 Lời bình 2: 
Thoạt nhìn thấy bài toán đã giải đúng . Thực tế thì sao? . Việc tách 
1 1 1
2 2ab ab ab
= + để làm xuất hiện đẳng 
thức ( )22 2 2a b ab a b+ + = + . 
( ) 1min 2 2 2 4
2
1
a b
P ab
ab
a b
 =


= + ⇔ =

+ =
 . Hệ vô nghiệm. Đẳng thức không xảy ra , do đó không tồn tại minP . 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 
3
2
a b c+ + ≤ . Chứng minh rằng : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
1. 
1 1 1 15
2
a b c
a b c
+ + + + + ≥ . 
2. 2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 17
2
a b c
a b c
+ + + + + ≥ . 
3. 2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 17
2
a b c
b c a
+ + + ≥+ + . 
Giải: 
1. 
1 1 1 15
2
a b c
a b c
+ + + + + ≥ 
Ta có thể phạm sai lầm: 3 3
3 3
1 1 1 1 1
3 3 6 . 6a b c abc abc
a b c abc abc
+ + + + + ≥ + ≥ = 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1a b c= = = nhưng khi đó 33
2
a b c+ + = > ( trái giả thiết ) . 
Phân tích bài toán : 
Từ giả thiết , ,a b c dương thoả mãn 
3
2
a b c+ + ≤ , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 
bình nhân. 3 3
3 1
3
2 2
a b c abc abc≥ + + ≥ ⇒ ≤ . Đặt: 3
1
2
x abc= ≤ 
Khi đó : 3
3
1 1 1 1 1
3 3 3a b c abc x
a b c xabc
 
+ + + + + ≥ + = + 
 
. Dự đoán đẳng thức xảy ra khi 
1
2
x = 
Ta chọn 0α > sao cho: 2
1
12
1 4
x
x
x
x
α
α

=
⇒ = =
 =

. 
Bài giải: 
1 1 1 1 1 1 9 15
3 3 4 3 3.2 4 . 9 12
2 2
a b c x x x x x
a b c x x x
   
+ + + + + ≥ + ≥ + − ≥ − = − =   
   
Đẳng thức xảy ra khi 
1
2
a b c= = = . 
2. 2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 17
2
a b c
a b c
+ + + + + ≥ . 
Phân tích bài toán : 
Từ giả thiết , ,a b c dương thoả mãn 
3
2
a b c+ + ≤ , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 
bình nhân. 3 3
3 1
3
2 2
a b c abc abc≥ + + ≥ ⇒ ≤ . Đặt: 3
1
2
x abc= ≤ ,đẳng thức xảy ra khi 
1
2
x = . 
Xét 2
2
1
x
x
+ , chọn 0α > sao cho: 
4
2
2
1
12 16
1
x
xx
x
α
α

=
⇒ = =
 =

 . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, trong đó 16 số là 
2
1
16x
 và số 2x : 
15
16
17
2 2 2 217
2 2 2 2 32
17
1 1 1 1 17
16. 17
16 16
2
x
x x x x
x x x x
−
 
+ = + ≥ ⇒ + ≥ 
 
. 
15 15 15
17 17 17
2 2 2
2 32 2 32 2 32
17 17 17
1 17 1 17 1 17
; ;
2 2 2
a b c
a b c
a b c
− − −
⇒ + ≥ + ≥ + ≥ 
1
15 15 15 15 15 15 3
2 2 2 17 17 17 17 17 17
2 2 2 32 32
17 17
1 1 1 17 17
.3
2 2
a b c a b c a b c
a b c
− − − − − −   
⇒ + + + + + ≥ + + ≥      
   
( )
155
2 2 2 1717
2 2 2 32 32
17 17
1 1 1 3 17 3 17 3 17
.2
2
2 2
a b c abc
a b c
−
+ + + + + ≥ ≥ = . 
Đẳng thức xảy ra khi 
1
2
a b c= = = . 
Cách khác : 
Chọn : 
1 1 1
; , ; , ;u a v b w c
a b c
     
= = =     
     
  
Dùng bất đẳng thức vecto u v w u v w+ + ≥ + +
     
( )
2
2
2 2 2 23
2 2 2 23
1 1 1 1 1 1 1
3 ( )
( )
a b c a b c abc
a b ca b c abc
 
+ + + + + ≥ + + + + + ≥ + 
 
Tương tự trên , ta đặt ( )
2
2
3 1
3 4
a b c
x abc
 + +
= ≤ ≤ 
 
. 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 15 1 15
3 3 3 2 .
16 16 16 16
x
a b c x x
x x x x xa b c
+ + + + + ≥ + = + + ≥ + 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 15 1 15 3 17
3 3
2 16 2 4 2
a b c
xa b c
+ + + + + ≥ + ≥ + = . 
Đẳng thức xảy ra khi 
1
2
a b c= = = . 
3. 2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 17
2
a b c
b c a
+ + + ≥+ + . 
Tương tự trên . Xét 2
2
1
x
y
+ , chọn 0α > sao cho: 
2 22
2
1
12 16
1
x y
x yx
y
α
α

= =
⇒ = =
 =

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, trong đó 16 số là 
2
1
16y
 và số 2x : 
1 16
16
17 17
2 2 2 217
2 2 2 2 32
17
1 1 1 1 17
16. 17
16 16
2
x y
x x x x
y y y y
−
 
+ = + ≥ ⇒ + ≥ 
 
. 
1 16 1 16 1 16
17 17 17 17 17 17
2 2 2
2 32 2 32 2 32
17 17 17
1 17 1 17 1 17
; ;
2 2 2
a b b c c a
a b c
b c a
− − −
⇒ + ≥ + ≥ + ≥ 
( )
1 16 1 16 1 16 155
2 2 2 17 17 17 17 17 17 1717
2 2 2 32 32 32
17 17 17
1 1 1 17 3 17 3 17 3 17
2
2
2 2 2
a b c a b b c c a abc
b c a
− − − − 
+ + + ≥ + + ≥ ≥ = 
 
 
+ +
 Đẳng thức xảy ra khi 
1
2
a b c= = = . 
Cho , , 0x y z > và thỏa mãn 
1 1 1
4
x y z
+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
Đề thi Đại học khối D năm 2007 
Giải: 
Cho các số không âm , , ,a b x y thỏa các điều kiện 
2005 2005
2005 2005
1
1
a b
x y
 + ≤

+ ≤
. Chứng minh rằng : 
1975 30 1975 30. . 1a x b y+ ≤ 
Toán tuổi thơ 2 – số 27 
Giải: 
Nhận xét : Các đa thức tham gia trong bài toán cùng bậc 2005 1975 30= + , đồng thời số mũ của các biến 
tương ứng bằng nhau. 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho 1975 số 2005a và 30 số 2005x 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
( ) ( ) ( ) ( )
2005 2005 1975 30
2005 2005 1975 302005
1975. 30.
. . 1
1975 30
a x
a x a x
+
≥ =
+
Tương tự 
( ) ( ) ( ) ( )
2005 2005 1975 30
2005 2005 1975 302005
1975. 30.
. . 2
1975 30
b y
b y b y
+
≥ =
+
Từ ( )1 và ( )2 suy ra ( ) ( ) ( ) ( )2005 2005 2005 2005 1975 30 1975 301975. 30. 2005. . . 3a b x y a x b y+ + + ≥ + 
Từ ( ) ( ) ( )
2005 2005
2005 2005 2005 2005
2005 2005
1
2005 1975. 30. 4
1
a b
a b x y
x y
 + ≤
⇒ ≥ + + +
+ ≤
Từ ( )3 và ( )4 suy ra ( )1975 30 1975 30 1975 30 1975 302005 2005. . . . . 1a x b y a x b y≥ + ⇒ + ≤ 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1975 30 1975 30,a x b y= = . 
Tổng quát : Cho các số không âm , , ,a b x y thỏa các điều kiện 
1
1
m n m n
m n m n
a b
x y
+ +
+ +
 + ≤

+ ≤
. Chứng minh rằng : 
. . 1m n m na x b y+ ≤ . 
Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 1.x y z+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
.
xy yz zx
A
z x y
= + + 
Giải: 
Ta có : ( )
2 2 2
2 2 2 22 .
xy yz zx
A y z x
z x y
     
= + + + + +     
     
Áp dụng bất đẳng thức: 2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + 
Ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 3( ) 3.A y z x y z x y z x≥ + + + + + = + + = 
Đẳng thức xảy ra 
1
.
3
xy yz xz
x y z
z x y
⇔ = = ⇒ = = = 
Vậy min 3A = đạt được khi 
1
3
x y z= = = . 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 2 2 2 1+ + =a b c . Chứng minh rằng : 
2 2 2 2 2 2
3 3
2
+ + ≥
+ + +
a b c
b c c a a b
. 
Phân tích bài toán : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 < ≤ ≤a b c thoả mãn điều kiện 2 2 2 1+ + =a b c , vậy ta có thể suy ra 
0 1< ≤ ≤ <a b c hay không?. Như vậy điều kiện , ,a b c không chính xác vì dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi 
2 2 2
1
0;
3
0
, ,
1
  ⇒   
< = =
∈
+ + =
a b c
a b c
a b c
. 
•Ta thấy mối liên hệ gì của bài toán ?. Dễ thấy 2 2 2 1+ + =a b c và 2 2 2 2 2 2, ,+ + +b c c a a b . Gợi ý ta đưa 
bài toán về dạng cần chứng minh :
2 2 2
3 3
21 1 1
+ + ≥
− − −
a b c
a b c
• Vì vai trò , ,a b c như nhau và 2 ý phân tích trên gợi ý ta đưa đến cách phân tích 
( )2 2 22 2 2
3 3
21 1 1
+ + ≥ + +
− − −
a b c
a b c
a b c
 và cần chứng minh 
2
2
2
2
2
2
3
21
3
21
3
21









≥
−
≥
−
≥
−
a
a
a
b
b
b
c
c
c
. 
•Ta thử đi tìm lời giải : 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
3 1 3 3 2 4 8
(1 ) (1 ) 2 (1 )
2 2 27 271 1 3 3
a
a a a a a a a a
a a
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ −
− −
Dễ thấy 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 (1 ) 2 (1 )(1 )
2 (1 ) (1 ) 2
a a a a a
a a a



− = − −
+ − + − =
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
2 2 2 2 2 232 2 (1 ) (1 ) 3 2 (1 )(1 )a a a a a a= + − + − ≥ − − 
2 2 2 2 2 232 82 (1 )(1 ) 2 (1 )
3 27
a a a a a⇒ ≥ − − ⇔ ≥ − 
Tương tự cho các trường hợp còn lại. 
Giải : 
Cho 3 số thực dương , ,a b c . Chứng minh rằng : 
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 1
2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ + +
Phân tích bài toán : 
•Đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng : 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
0
a b c
m a c nb k b a pc i b c ja
b c a c a b a b c
+ + + + + + + + + + + ≥
+ + +
. 
•Giả sử 0 a b c< ≤ ≤ . Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a b c= = . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Từ đó gợi mở hướng giải : 
( )
( )
3
33
a
m a c nb mna
b c a
+ + + ≥
+
. Đẳng thức xảy ra khi 
( )
( )
( )
( )
3
3
1
4
1
2
a mm a c nb a
b c a m a a na
a a a na b c


⇔ 
 
 
== + =
+ = + = ⇔
+ == =
Tương tự cho các trường hợp khác . 
Giải : 
( )
( )
3 1 1 3
2 4 2
a
b c a a
b c a
+ + + ≥
+
. Đẳng thức xảy ra khi: 
( )
( )
3 1 1
2 4
a
b c a
b c a
= = +
+
. 
( ) ( )
3 1 1 3
2 4 2
b
c b a b
c a b
+ + + ≥
+
. Đẳng thức xảy ra khi: 
( ) ( )
3 1 1
2 4
b
c b a
c a b
= = +
+
. 
( ) ( )
3 1 1 3
2 4 2
c
a b c c
a b c
+ + + ≥
+
. Đẳng thức xảy ra khi: 
( ) ( )
3 1 1
2 4
c
a b c
a b c
= = +
+
. 
Cộng vế theo vế ta được : 
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 1
2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ + +
. Dấu đẳng thức xảy ra khi : 
0a b c= = > 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 1a b c =+ + . Chứng minh rằng : 
.a 
7
1 1 1
2
a b c+ + + + + < 
.b 6a b b c c a+ + + + + ≤ . 
.c 33 3 3 18a b b c c a+ + + + + ≤ . 
.d
1 1 1
10a b c
a b c
+ + + + + ≥ 
Giải: 
.a 
7
1 1 1
2
a b c+ + + + + < 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1. 1 1
2 2
1 1 7
1 1. 1 1 1 1 1 3
2 2 2 2
1 1
1 1. 1 1
2 2
a a
a a
b b a b c
b b a b c
c c
c c
+ +
+ = + ≤ = +

+ + + +
+ = + ≤ = + ⇒ + + + + + ≤ + =

+ + 
+ = + ≤ = + 

Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 1 0 0 1a b c a b c a b c+ = + = + = ⇔ = = = ⇒ + + = ≠ 
Vậy 
7
1 1 1
2
a b c+ + + + + < 
.b 6a b b c c a+ + + + + ≤ . 
Phân tích bài toán : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 a b c< ≤ ≤ thoả mãn điều kiện 1a b c =+ + , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 
khi 
0 1
31
a b c
a b c
a b c



< = =
⇒ = = =
+ + =
. Hằng số cần thêm là 
1
3
. 
• Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích ( )6a b b c c a a b c+ + + + + ≤ + + hay 
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 .
2 2 2 2
a b b c c a
S a b b c c a
 
 
 
 
 
+ + + + + + + + +
= + + + + + ≤ + + . 
•Ta thử đi tìm lời giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
( )
( )
1 1 2
3 3 3 23 3 3 . .
2 2 2 2 2 3
a b a b
a b a b
 
 
 
 
 
+ + + + +
= ≥ + = + 
Tương tự cho các trường hợp còn lại . 
Cách khác : 
Giả sử với mọi 0m > , ta luôn có : ( )1 1
2
a b m
a b a b m
m m
 
 
 
+ ++ = + ≤ . Vấn đề bây giờ ta 
dự đoán 0m > bao nhiêu là phù hợp?. 
Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi 
2
1 3
3
a b m
m
a b





+ =
⇔ =
= =
. 
Giải : 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
_
_
_
2
3 2 3 3 . . .
2 3 2 2
2
3 2 3 3 . . .
2 3 2 2
2
3 2 3 3 . . .
2 3 2 2
AM GM
AM GM
AM GM
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a













+ +
+ = + ≤
+ +
+ = + ≤
+ +
+ = + ≤
( ) 22 3.3 33 . .2 6
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + +
⇒ + + + + + ≤ = = (đpcm). 
Đẳng thức xảy ra khi 
1
3
a b c= = = . 
.c 33 3 3 18a b b c c a+ + + + + ≤ . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 a b c< ≤ ≤ thoả mãn điều kiện 1a b c =+ + , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 
khi 
2
3
0 1 2
3 31
2
3
a b
a b c
a b c b c
a b c
c a


 
 
 



+ =
< = =
⇒ = = = ⇒ + =
+ + =
+ =
. Hằng số cần thêm là 
2
3
• Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích ( )33 3 3 18a b b c c a a b c+ + + + + ≤ + + hay 
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 3
T
a b b c c a
a b b c c a= + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + ≤ 
. 
Giải : 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3
3
3
3
3
3
3
3
2 2
9 2 2 3 3. . .
4 3 3 3
2 2
9 2 2 3 3. . .
4 3 3 3
2 2
9 2 2 3 3. . .
4 3 3 3
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a













+ + +
+ = + ≤
+ + +
+ = + ≤
+ + +
+ = + ≤
( ) 33 33 3 3 2 49 9 6. . 18
4 3 4 3
a b c
T a b b c c a
+ + +
⇒ = + + + + + ≤ = = (đpcm). 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
1
3
a b c= = = . 
.d
1 1 1
10a b c
a b b
+ + + + + ≥ 
Phân tích bài toán : 
•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 a b c< ≤ ≤ thoả mãn điều kiện 1a b c =+ + , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 
khi 
0 1
31
a b c
a b c
a b c



< = =
⇒ = = =
+ + =
. 
• Từ điều cần chứng minh ,gợi ý ta đưa đến cách phân tích với mọi 0m > , ta luôn có : 
1
2ma m
a
+ ≥ . 
Đẳng thức xảy ra khi : 
1
9
1
3
ma
a
m
a
 =
⇔ =
 =

. 
•Vì thế mà ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
9 8T a b c a b c a b c
a b b a b b
= + + + + + = + + + + + − + + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Giải : 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
1
9 6
1
9 6
1
9 6
a
a
b
b
c
c
 + ≥

+ ≥

 + ≥
( ) ( ) ( )
1 1 1
9 8 3.6 8 10T a b c a b c a b c
a b b
⇒ = + + + + + − + + ≥ − + + = (đpcm). 
Đẳng thức xảy ra khi : 
1
3
a b c= = = . 
Bài tập tương tự 
Cho các số thực dương , ,x y z và thỏa mãn mx ny pz d+ + ≥ trong đó , , ,m n p d ∈ . Tìm giá trị lớn 
nhất biểu thức 2 2 2A ax by cz= + + 
Hướng dẫn : Thực hiện việc chọn điểm rơi : 2 2 2ax by cz β= = = 
Chứng minh rằng nếu 5xy yz zx+ + = thì 2 2 23 3 10x y z+ + ≥ 
Phân tích bài toán : 
•Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 2 2 23 ,3 , , , ,x y z xy yz zx cho ta điều gì ?, phải chăng những hằng đẳng 
thức có dạng : ( ) ( ) ( )2 22 20 ?.ax by ax by axby− ≥ ⇔ + ≥ 
• Phân tích : 
2 2 2ax ay axy+ ≥ .Đẳng thức xảy ra khi x y= 
2 2 2by cz bcyz+ ≥ .Đẳng thức xảy ra khi 2 2by cz= 
2 2 2cz bx cbzx+ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi 2 2cz bx= 
Bây giờ ta chọn , ,a b c sao cho : 
13
2 1 2
1
2
aa b
c b
a bc c

  =+ =  
= ⇔ = 
 
=  = 
Giải : 
2 2 2x y xy+ ≥ .Đẳng thức xảy ra khi x y= 
2 212 2
2
y z yz+ ≥ .Đẳng thức xảy ra khi 2 2
1
2
2
y z= 
2 21 2 2
2
z x zx+ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi 2 2
1
2
2
z x= 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Cộng vế theo vế ta được : ( )2 2 2 2 2 23 3 2 3 3 10x y z xy yz zx x y z⇒+ + ≥ + + + + ≥ (đpcm). 
Đẳng thức xảy ra khi : 
2 2
2 2
1
2 12
1 2
2
2
5
x y
y z x y
z
z x
xy yz zx
=

 = = = 
⇔  = =

 + + =
Cho 3 số thực dương , ,x y z thoả mãn 
47
12
x y z =+ + . Chứng minh rằng : 2 2 2
12
235
3 4 5x y z+ + ≥ 
Phân tích bài toán : 
•Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 2 2 23 ,4 ,5 , , ,x y z x y z cho ta điều gì ?, gợi ý : 2 2 2
12
235
3 4 5x y z+ + ≥ 
được biến đổi về dạng ( )2 2 2 ,3 4 5 0x m y n z p k m n p k const+ + + + + ≥ < ≤ ≤ ≤ = 
• Phân tích : 
23 2 3 , 0x m mx m+ ≥ > . Đẳng thức xảy ra khi 23x m= 
24 2 4 , 0y n ny n+ ≥ > . Đẳng thức xảy ra khi 24y n= 
25 2 5 , 0z p pz p+ ≥ > . Đẳng thức xảy ra khi 25z p= 
Bây giờ ta chọn , ,x y z sao cho : 
2
2
2
47
12
5
3
3 5
44
1
5
25
3 4 5 3
25
4
5
x
x m
y
y n
z
z p
m
m n p
n
p
x y z

   
 
 
 
 
= = 
 
 =
 


=
=
=
=
=
= ⇔
=
=
=
+ +
Giải : 
2 25 253 2 3.
3 3
x x+ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi 2 253
3
x = . 
2 25 254 2 4.
4 4
y y+ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi 2 254
4
y = . 
25 5 2 5.5z z+ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi 25 5z = . 
Cộng vế theo vế ta được ( )2 2 2
12 12
235 235
3 4 5 10x y z x y z − =+ + ≥ + + (đpcm). 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Đẳng thức xảy ra khi 
5
3
5
4
1
x
y
z








=
=
=
. 
Cho 3 số thực không âm , ,a b c . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( )3 31 1 1 1abc a b c+ ≤ + + + 
Giải : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33 33 31 1 1 1 1.1.1 1 1 1 abc a b c abc a b c+ ≤ + + + ⇔ + ≤ + + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33
1.1.1
1
1 1 1 1 1 1
abc
a b c a b c
⇔ + ≤
+ + + + + +
Đặt : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33
1.1.1
1 1 1 1 1 1
T
abc
a b c a b c
= +
+ + + + + +
1 1 1 1 1
3 1 1 1 3 1 1 1
a b c
T
a b c a b c
  
  
   
≤ + + + + +
+ + + + + +
1 1 1 1 1
.3 1
3 1 1 1 3
a b c
T
a b c
 
 
 
+ + +≤ + + = =
+ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi 0a b c= = ≥ . 
Tổng quát : 
Chứng minh rằng với mọi ( ), 0 1,i ia b i n> = thì ta luôn có : 
( ) ( )1