Những bài toán hay lớp 8 và khó lớp 8

NHỮNG BÀI TOÁN HAY LỚP 8 VÀ KHÓ LỚP 8. 
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh AB. L là điểm chia đường chéo 
 AC theo tỉ số . Chứng minh LK LD. 
BÀI GIẢI
 Kẻ LM AB và LN AD. 
 Tứ giác AMLN có nên nó là hình chữ nhật.
 AC là phân giác của nên AL là phân giác của .
 Vậy tứ giác AMLN là hình vuông.
 Suy ra : AM = AN , kết hợp với AB = AD nên MB = ND.
 LM // BC suy ra . Do đó : hay AB = 4MB
 Lại có AB = 2KB nên KB = 2MB. Vậy MB = MK nên MK = DN
 Từ đó ΔLND = ΔLMK . Suy ra : nhưng nên 
 Vậy LK LD (đpcm).
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đáy 	BC và AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q. 	 
	Chứng minh MN là tia phân giác của góc .	 
BÀI GIẢI
	Gọi K là giao điểm của MQ và AD; H là giao điểm của 
	PM và AD; E là giao điểm của PQ và BC.
	Do MN là trục đối xứng của hình thang cân nên MN AD
	Ta cần chứng minh KN = NH
 NK // ME (hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQK )
 DN // BE (hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQD )
 Do đó: (1)
	 Chứng minh tương tự ta được: ( cùng bằng tỉ số ) (2)
	 Từ (1) & (2) kết hợp với giả thiết NA = ND suy ra : NK = NH.
	Tam giác HMK có NH = NK và MN HK nên ΔHMK cân tại M.
	 Do đó MN là tia phân giác của (đpcm)
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Trên tia đối 
	Của tia DC lấy điểm P . Gọi Q là giao điểm của PM và AC.
	Chứng minh rằng : 
BÀI GIẢI
	Gọi H là giao điểm của NQ và AD, K là giao điểm của NP và AD, E là
	giao điểm của PQ và BC.
	 (hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔAQM)
	 (hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔPCE)
	Mà AM = MD ( M là trung điểm AD)
	Nên . Do đó: (1)
	Lập luân tương tự: (2)
	 (3)
	Từ (1); (2) ; (3) suy ra: 
	Hình chữ nhật ABCD có M, N là trung điểm AD và BC nên MN AD
	ΔHNK có NM vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên ΔHNK cân ở N.
	Do đó NM là phân giác . Vậy (đpcm)
 Cách 2: Gọi O là giao điểm MN và AC, E là giao 
	điểm của QN và DC. 
 AM // CN và AM = CN (do AD// BC, AD = BC,
	và M , N là trung điểm AD; BC) nên tứ giác 
	AMCN là hình bình hành. Suy ra: OM = ON.
 ΔQPC có MO // PC nên 
	ΔQCE có NO // EC nên 
	Do đó: . Mà OM = ON nên PC = EC.
	ΔNPE có nên cân ở N 
	Mặt khác (do MN // CD)
	Do đó : (đpcm)
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng điểm F đối xứng 
 với C qua E. Đường thẳng d1 đi qua F song song với AD cắt AB tại I.Đường thẳng d2 
 đi qua F song song với AB cắt AD tại K. 
	Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng.
 BÀI GIẢI 
	Gọi O là giao điểm của AC và BD 
	 L là giao điểm của d1 và AC
	 Q là giao điểm của AF và KI
	 T là giao điểm của AF và BC
 Tam giác ACF có EO là đường nên EO // AT
 Tứ giác ADBT có AD// BT & BT// AD 
	Suy ra BT = BC ( cùng bằng AD)
	Do FI // BT và IL // BC ta suy ra:
	(cùng bằng ) , nhưng BT = BC
 Nên FI = IL
 Tam giác CLF có EI là đường trung bình nên IE//AC (1)
 	 Tứ giác AKFI có AK // FI & KF // AI nên nó là hình bình hành . suy ra Q là trung điểm 
 của AF. Từ đó EQ là đường trung bình của tam giác AFC nên QE // AC (2)
	Từ (1) và (2) suy ra ba điểm Q ; I ; E thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
 Điểm K thuộc đường thẳng QI nên ba điểm I ; K ; E thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm E nằm giữa A và C. Gọi Bx là tia nằm giữa hai tia BA và 
 BC. Các đường thẳng kẻ qua E song song BC và AB cắt tia Bx lần lượt tại N và M. 
 Chứng minh AN // CM.
 Hướng dẫn: Đã có BC // EN . Muốn MC // AN 
 cần chứng minh 
 Do đó cần chứng minh hai tam giác CMK & NEA
	 đồng dạng.
	BÀI GIẢI:
	Gọi H là giao điểm của NE và AB, K là giao điểm 	 
	của EM và BC. 
	Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác NHB có EM // HB ta được: 
 (1) . Tương tự HE // BC nên : (2)
	Từ (1) & (2) suy ra: . Do đó: (3)
	Nhưng ( do EN // BK & EK // AB) nên (4)
 	Từ (3) & (4) suy ra: , mà ( cùng bằng góc ABC)
	Vậy tam giác ANH & tam giác MKC đồng dạng. 
	Suy ra: ; kết hợp với NH // BC ta được CM //AN (đpcm)
---Hết---